河南省濮阳市2025届高三下学期一模数学试卷（解析版）

这是一份河南省濮阳市2025届高三下学期一模数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，所以，，
故选：D.
3. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.
故选：B.
4. 我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ）
A. 60B. 72C. 76D. 80
【答案】C
【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为，
由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为.
故选：C.
5. 在中，，，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设中角所对的边分别为，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，
故选：D.
6. 已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知得，直线的方程为，
设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即，
所以，又，
所以，即，
设直线的斜率与直线的斜率之比值为，
则，又，所以．
故选:D.
7. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可知，正三棱锥，满足，
可得平面，得底面正的边长为，设正的中心为，
由，即，
得，又，
点在内部（含边界）运动，且，
所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，
如图，作于，圆与交点为，则，
，
所以，则，所以，
则点的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为，
则弧长为，
即点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为.
故选：A.
8. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】由得在上单调递减，
当时，，
当时，要递减，且，
对于A，当时，，不合题意，故A错误；
对于B，当时，，不合题意，故B错误；
对于C，当时，，符合题意，故C正确；
对于D，当时，，不合题意，故D错误；
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若随机变量满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
【答案】BCD
【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；
对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；
对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确
故选：BCD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，由知，
知，所以，即，
，此时，选项B错误.
故选：ACD.
11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A. 是“学步”函数
B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是
C. 若是“学步”函数，且时，，则时，
D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
【答案】BCD
【解析】对于A，是定义在R上的连续函数，
且，
不存在，使得，故A错误；
对于B，函数（为非零常数）是定义在R上的连续函数，且，
当时，对于任意的实数x恒成立，
若对任意实数x恒成立，则，解得：，
故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；
对于C，若是的“学步”函数，则，
即，
因为时，，
当，，，
又因为，即，即，
所以，故C正确；
对于D，由题意得：，
令得：，所以与异号，即，
由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，
同理可得：在区间上均至少有一个零点，
所以在上至少有1012个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.
【答案】3
【解析】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：
则，
故.
又两向量的夹角为锐角，
故，
则该平行四边形的面积为.
故答案为：3.
13. 椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______．
【答案】或
【解析】
设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，
则，
由椭圆的定义得，
所以，因为，所以，
又，所以为椭圆的短轴端点．
设为椭圆的中心，因为，
所以，又在Rt中，，
所以，所以，
故答案为：.
14. 用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________．
【答案】 1
【解析】因为的最小正周期为，所以，
若，则的最大值是，最小值是，
则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为，
所以，是锐角，所以．
故答案为；.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，，因为为弧的中点，
则，为正三角形，于是，
因为平面，，则有平面，
又平面，于是，而，
平面，因此平面，又平面，
所以．
（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
16. 假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：
（1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；
（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.
解：（1）记“传送信号0”， “传送信号1”， “接收信号0”.
可知，，，，
由贝叶斯公式得所求的概率为：
，
即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为.
（2）在一次传送中，接收到0的概率为，
每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，
所以.
17. 已知椭圆C：离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．
（1）求点M的坐标．
（2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值．
（1）解：，
解得，所以椭圆方程，
又，所以右焦点，
当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上，
且直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，
消去得：，
则，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
令，解得，故点的坐标为.
（2）证明：如图，
由题意可得直线的方程为，即，
设，由题可知，
所以，故直线与垂直，
联立，消去得：，
则，，
所以.
同理，，
所以，
故为定值.
18. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
（1）试求，的值；
（2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
（3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
解：（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，.
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）根据（2）得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故.
19. 已知函数.
（1）函数与的图象关于对称，求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求的值；
（3）求证：，.
（1）解：依题意，设图象上任意一点坐标，
则其关于对称的点在图象上，
则，
则，
故；
（2）解：令，，
则在恒成立，又，
且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，；
（3）证明：由（2）可知：，则，即，
则.
又由（2）可知：在上恒成立，
则上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，得证.