新高考数学二轮复习能力提升练习09 导数中的极值点偏移问题（2份，原卷版+解析版）

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极值点偏移基本定义
对于函数在区间内只有一个极值点，函数与直线交于点，两点，即，且.
(1)若，则称函数在区间上极值点偏移.
(2)若，则称函数在区间上极值点向左偏移，简称极值点左偏.
(3)若，则称函数在区间上极值点向右偏移，简称极值点右偏.
如上图所示，为函数的极值点，处对应的曲线的切线的斜率为
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有；
当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，；
当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，和处对应的函数值相等，我们可以作关于的对称点，则，且，故，即，故我们可以构造函数，只需要判断函数的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足，我们就可以得到。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。
二、答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
三、其他方法
1.比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3.指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
【典例2】已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
(2)，（），
时，递增，时，，递减，
时，，
存在使得，则，令，，
，令，
则，在上单调递增，，，
，，.
【题型训练1-刷真题】
1.（2022届高考全国卷甲理22题）已知函数．
（1）若,求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点,则．
2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【题型训练2-刷模拟】
1.对称构造
一、解答题
1．已知函数，a为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：
2．已知函数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当时，若，求证：
3．已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
4．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.
5．已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
2.比值代换
一、解答题
1．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，求证：．
2．已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
3．已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
4．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.
3.含指数、对数式
一、解答题
1．已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
2．已知函数，.
（1）若函数是上的增函数求的取值范围；
（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
3.已知函数与直线交于两点．
求证：
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．