新高考数学二轮复习能力提升练习08 洛必达法则的应用（2份，原卷版+解析版）

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一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(3)，则：.
3.法则3（型）：若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
(3)，则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理型。
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：
（3）、型的转化：幂指函数类
二、题型精讲精练
【典例1】 设函数。
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令,则，令，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故，综上，知a的取值范围为
【典例2】若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：当时，原不等式等价于.
记，则.
且时，，所以.因此在上单调递减（也就是x趋于0时，f（x）最大）
，.所以
【典例3】（1）0∙∞型
技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可将无穷通分，进而化为型
【典例5】（3）∞0型
转化方法同上，
技巧：可利用对数性质℮lna=a，将函数化为以为℮底数的指数函数，转化为对指数求极限。转化方法如下：，这样就化为了0∙∞型
【题型训练】
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
2.设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.
3.函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围.
4.设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.
5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
6.已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围