高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布随堂练习题

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1、伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；
2、定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验；
3、特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。
二、二项分布
1、二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，.
注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是
与.
2、确定一个二项分布模型的步骤
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
（3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则
3、二项分布的增减性与最大值
记，则当时，，pk递增；当时，，递减.
故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；
若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.
三、超几何分布
定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布..
题型一 n重伯努利试验
【例1】（2022·高二课时练习）重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【解析】只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，
将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，
故重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；故选：C
【变式1-1】（2022·高二课时练习）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；
②是相互独立事件；
④是独立重复试验；
所以只有④符合题意，故选：D.
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是（ ）
A．若事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为
B．集合A内的元素个数不确定
C．用X表示事件B：“得到”发生的次数，p为事件B发生的概率，则
D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验
【答案】B
【解析】对于A，事件A“试验成功”的概率为，
则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为，故A正确；
对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成合A，
所以集合A内的元素个数为，所以B不正确；
对于C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为：
，故C正确；
对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确.故选：B.
【变式1-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1个小组是“成功组”的概率为,
则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为.故选：B．
题型二 服从二项分布的概率最值
【例2】（2022春·山东淄博·高二统考期末）若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5 B．5或6 C．10 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以，
由组合数的性质可知当时取得最大值，
即取得最大值，所以；故选：D
【变式2-1】（2022春·山东枣庄·高二统考期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为 ，若最大，
则 ，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.故选：C.
【变式2-2】（2022春·广东云浮·高二统考期末）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，故选：B
【变式2-3】（2022·高二单元测试）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，
设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，，
当时，由，
得，化简得，解得，
又，∴，
∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.故选：C.
题型三 求二项分布的分布列
【例3】（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.故选：C.
【变式3-1】（2022春·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期末）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：
（1）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
（2）若规定分数在为“良好”，为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）0.1；（2）分布列见解析，期望为0.9.
【解析】（1）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件
∴，
故该学生不及格的概率为0.1.
（2）设“样本中“良好”或“优秀”为事件B,则
依题意可知：
,，
，
所以,X的分布列为
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.
（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，
事件为“第3次取到黑球”，；
（2）设事件为“取一次球，取到白球”，
则，这3次取球结果互不影响，
则，所以，
其分布列为：
.
【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.
（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；
（2）设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.
设此数列为，则易知，，所以.
解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场.
则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，
其概率为.
所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.
（2）随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，
，，
，，
所以的分布列为
所以.
题型四 求超几何分布的概率
【例4】（2023·全国·高二专题练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．故选：D．
【变式4-1】（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得
∵，，，
∴，
，故选：B.
【变式4-2】（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法，
表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法
表示选取的4件产品全是次品的选法.
所以故选:D.
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，，，
∴．故选：A
题型五 求超几何分布的分布列
【例5】（2023·全国·高二专题练习）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
（1）若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
（2）现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，
抽中购买的是男装的概率分别为，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，
则的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故的分布列为：
∴.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知样本中竞赛成绩在的男生有人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取人进行调查，记抽取的男生人数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望
【解析】（1）平均数为.
（2）由题意知：样本中竞赛成绩在的共有人，其中有男生人，
则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为
数学期望.
【变式5-2】（2021春·天津蓟州·高二校考期末）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则，所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的数学期望为（人）
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；
【解析】（1）由概率和为1得：，
解得：；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在
，，，，，三组内的学生人数分别为：人，
人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，
从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，，，
则的分布列为
所以用时/秒
[5，10]
(10，15]
(15，20]
(20，25]
男性人数
15
22
14
9
女性人数
5
11
17
7
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
0
1
2
3
2200
3000
3900
4900
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50
0
1
2
竞赛成绩
频率
0
1
2
3
4
0
1
2
3