福建省福州市2024-2025学年高三上册第一次月考数学学情检测试题

这是一份福建省福州市2024-2025学年高三上册第一次月考数学学情检测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数图象的对称轴方程为，则（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A 6B. 12C. 24D. 32
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知二项式（且，，）展开式中第项为15，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
11. 一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论正确的是（ ）
A. 若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体
B. 等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直
C. 三组对棱长度分别为，，等面四面体外接球的表面积为
D. 过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列为等差数列，，则______．
13. 某金属晶体原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则______．

14. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的最大值，并判断此时的形状；
（2）若，，求的面积．
16. 如图，已知在多面体ABCDEF中，，，平面，平面，

（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
17. 某学校在2023—2024年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了2个动作项目组，其中项目组一中有3个规定动作，项目组二中有2个自选动作，比赛规则：每位运动员从2个项目组的5个动作中选择3个参赛，最后得分越多者，排名越靠前．评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得0分，若完成得10分．对于项目组二中的动作，若没有完成得0分，若只完成1个得20分，若完成2个得50分．已知运动员甲完成项目组一中每个动作的概率均为，完成项目组二中每个动作的概率均为，且每个动作是否能完成相互独立．
（1）若运动员甲选择项目组一中的3个动作参赛，设甲的最后得分为，求的分布列与数学期望；
（2）以最后得分的数学期望为依据，判断运动员甲应选择怎样的方案参赛，请说明你的理由．
18. 已知O为坐标原点，P，Q是双曲线上的两个动点．
（1）若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且，，求双曲线E的渐近线方程；
（2）若，，成等比数列，，证明直线PQ与定圆相切．
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）给定且，对于两个大于1的正实数，，若存在实数m满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间D上的“优化分解函数”．若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．