2024-2025学年人教版九年级上册数学综合测试题

这是一份2024-2025学年人教版九年级上册数学综合测试题，共17页。试卷主要包含了若关于x的一元二次方程x，对于二次函数y＝3等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣9＝0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝7C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝19
3．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2或2D．﹣3或1
4．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（2，1） C．对称轴是直线x＝﹣2 D．与x轴有两个交点
5．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则估计袋中红球的个数为（ ）
A．20B．15C．10D．5
6．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．33°C．30°D．27°

（6题图） （7题图） （8题图） （9题图）
8．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°
9．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A．6sB．4sC．3sD．2s
10．如图，⊙O中，AB=AC，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2+23πB．2+3+23πC．4+23πD．2+43π

（10题图） （14题图） （15题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点的横纵坐标是x的方程x2+bx+c＝0的两根，则b+c＝ ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4＝0有一个根为0，则m的值等于 ．
13．用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2．
其中正确判断的序号是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（16分）解方程：
（1）x2﹣16＝0； （2）x2+3x＝1；
（3）x（5x+4）＝5x+4； （4）3x2﹣6x+1＝0．
17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
（4）在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标
18．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为3万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为5.42万元，求可变成本平均每年增长的百分率；
（3）若可变成本平均每年的增长的百分率保持不变，通过计算，判断该养殖户第5年的养殖成本会不会超过6万元？
19．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB＝75°，
①若⊙O的半径为2，求BD的长；
②试问CD：BC的值是否为定值？若是，直接写出这个比值；若不是，请说明理由．
20．（8分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有14来自七年级，有14来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
21．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC＝90°．
（1）求该二次函数解析式；
（2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连接AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
22．（9分）某商店销售一种台灯，若按每个12元的价格销售，每周可卖出50个，若按每个15元的价格销售，每周可卖出35个，已知每周销售量y（个）与价格x（元/个）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）这种台灯的进价是10元/个，当价格定为多少时，才能使每周的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）如图（1），AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；
（3）若把直线EF向上平行移动，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：从左到右第一个图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个和第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
选：C．
2．解：∵x2+4x＝9，
∴x2+4x+4＝9+4，即（x+2）2＝13，
选：C．
3．解：因为方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，
即方程x2+（1+a）x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（1+a）2﹣4×1×0＝0，
解得，a＝﹣1，
所以实数a的值为﹣1．
选：A．
4．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2+1，
∴该函数图象开口向上，选项A不符合题意；
顶点的坐标为（2，1），选项B正确，符合题意；
对称轴是直线x＝2，选项C错误，不符合题意；
∵y＝3（x﹣2）2+1≥1，
∴该函数与x轴无交点，选项D错误，不符合题意；
选：B．
5．解：∵随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，
∴从中摸出一个红球的概率为0.2，
∴估计袋中红球的个数为50×0.2＝10，
选：C．
6．解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF＝90°+40°＝130°，OA＝OF，
∴∠OFA＝（180°﹣130°）÷2＝25°．
选：C．
7．解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
选：A．
8．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=2AB＝42，∠B＝45°，
∵点O为BC的中点，
∴OB＝22，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴△ODB为等腰直角三角形，
∴OD=22OB=22×22=2，∠BOD＝45°，
∴∠MND=12∠BOD＝22.5°．
选：A．
9．解：由小球高度h与运动时间t的关系式h＝30t﹣5t2．
令h＝0，﹣5t2+30t＝0
解得：t1＝0，t2＝6
△t＝6，小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
选：A．
10．解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴A、O、D共线，
∵∠ACB＝75°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD=32OB=3，
∴AD＝2+3，
∴S△ABC=12BC•AD＝2+3，S△BOC=12BC•OD=3，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2+3+60π×22360-3=2+23π，
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2），
∴x1＝﹣3，x2＝2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两根，
∴﹣b＝﹣3+2，则b＝1．
c＝（﹣3）×2，即c＝﹣6．
则b+c＝1﹣6＝﹣5．
答案为：﹣5．
12．解：因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4＝0有一个根为0，
所以m2﹣5m+4＝0，
则（m﹣1）（m﹣4）＝0，
解得m1＝1，m2＝4．
又因为m﹣1≠0，
即m≠1，
所以m＝4．
答案为：4．
13．解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr=120π×10180，
解得r=103cm．
选：103．
14．解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，
根据题意得：12x=19，
解得x=29，
∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°．
答案为：80．
15．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，此小题结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，此小题结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，此小题结论正确；
答案为：①③④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）x2﹣16＝0，
移项后得：x2＝16，
开平方得：x＝±4，
即x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x2+3x＝1，
x2+3x﹣1＝0，
Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x=-3±132，
即x1=-3+132，x2=-3-132；
（3）x（5x+4）＝5x+4，
（5x+4）（x﹣1）＝0，
即5x+4＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=-45，x2=1；
（4）3x2﹣6x+1＝0，
方程化为x2-2x=-13，
配方得：x2-2x+1=1-13，
即(x-1)2=23，
开方得：x-1=63，
即x1=1+63，x2=1-63．
17．解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），
如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
（2）如图：
（3）由两点间的距离公式可知：BC=32+22=13，
∴点C旋转到C2点的路径长=90⋅π⋅13180=132π；
（4）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（1，﹣1），
设直线AB′解析式为y＝kx+b，
则k+b=-12k+b=4，
解得：k=5b=-6，
则直线AB′解析式为y＝5x﹣6，
当y＝0时，5x﹣6＝0，
解得：x＝1.2，
则点P坐标为（1.2，0），
答案为：（1.2，0 ）．
18．解：（1）由题意，得
第3年的可变成本为：2（1+x）2万元，
答案为：2（1+x）2；
（2）由题意，得
3+2（1+x）2＝5.42，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%；
（3）第5年的可变成本为：（5.42﹣3）×（1+10%）2＝2.9282（万元），
第5年的养殖成本为：3+2.9282＝5.9282＜6，
所以该养殖户第5年的养殖成本不会超过6万元．
19．（1）证明：∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝45°，△OCD为等腰直角三角形，
∴∠OCD＝45°，
∴∠OCA＝∠OCD+∠ACD＝90°，
∴OC⊥AC，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，
∴∠DCB＝30°，
∵△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=2OC＝22，∠DBC=12∠COD＝45°，
作DH⊥BC于H，如图，
在Rt△CDH中，∵∠DCH＝30°，
∴DH=12CD=12×22=2，
在Rt△BDH中，∵∠DBH＝45°，
∴BD=2DH=2×2=2；
②CD：BC的值是定值．
设⊙O的半径r，则CD=2r，
在Rt△CDH中，∵∠DCH＝30°，
∴DH=12CD=22r，
CH=3DH=62r，
在Rt△BDH中，∵∠DBH＝45°，
∴BH＝DH=22r，
∴BC＝BH+CH=6+22r，
∴CDBC=2r6+22r=23+1=3-1．
20．解：（1）调查的总人数为10÷25%＝40（人），
所以一等奖的人数为40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），
条形统计图为：
（2）画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率=412=13．
21．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠AOC＝90°，
∴由射影定理可得出：OA2＝OB•OC，
由题意知：OA＝4，OC＝8，
∴42＝OB•8，
∴OB＝2，
∴B（﹣2，0），
将A、B、C三点坐标代入即得：
c=44a-2b+c=064a+8b+c=0，
解得：a=-14b=32c=4，
∴抛物线解析式为：y=-14x2+32x+4；
（2）设N（n，0），则BN＝n+2，BC＝10，
∵NE∥AC，
∴△BNE∽△BAC，
∴S△BENS△BAC=（BNBC）2，
∵S△BAC=12×10×4＝20，
∴S△BEN20=（n+210）2，
S△BEN=15（n+2）2，
∵S△BAN=12×（n+2）×4＝2n+4，
∴S△ANE＝（2n+4）-15（n+2）2=-15（n﹣3）2+5，
∵a=-15，
∴当n＝3时，最大值S△ANE＝5，
此时N的坐标为：（3，0）；
（3）当S＝16时，m＝4或m＝4﹣42．
理由：
设直线AC对应的函数解析式为：y＝kx+b，
则b=48k+b=0，
解得：k=-12b=4，
∴直线AC对应的函数解析式为：y=-12x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，-14m2+32m+4），则Q（m，-12m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ＝（-14m2+32m+4）﹣（-12m+4）=-14m2+2m，
S＝S△APQ+S△CPQ=12×8×（-14m2+2m）＝﹣（m﹣4）2+16，
∴0＜S≤16；
②当﹣2≤m＜0时，
PQ＝（-12m+4）﹣（-14m2+32m+4）=14m2﹣2m，
S＝S△CPQ﹣S△APQ=12×8×（14m2﹣2m）＝（m﹣4）2﹣16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，﹣2≤m＜0中m只有一个值；
当S＝16时，16＝﹣（m﹣4）2+16，
解得：m1＝m2＝4，
16＝（m﹣4）2﹣16，
解得：m3＝4﹣42，m4＝4+42＞8（不合题意舍去），
m＝4或m＝4﹣42．
则当S＝16时，相应的点P有且只有两个．
22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
50=12k+b35=15k+b，
解得：k=-5b=110．
y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+110；
（2）∵y＝﹣5x+110，
∴W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣5x+110）
＝﹣5x2+160x﹣1100
＝﹣5（x﹣16）2+180，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝16时，W最大＝180，
∴售价定为16元/件时，每周的最大利润W＝180元．
23．
（1）证明：连接OC，如图（1），
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠BAC．
（2）解：连接OC，如图（3），
∵AD切⊙O于A，
∴OA⊥AD，
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴四边形OADC是矩形，
∵OA＝OC，
∴矩形OADC是正方形，
∴AD＝OA，
∵AB＝2OA＝10，
∴AD＝OA＝5．
（3）解：存在∠BAG＝∠DAC，
理由是：连接BC，如图（2），
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BCG，
∵圆周角∠BAG和∠BCG都对弧BG，
∴∠BCG＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠DAC．