河北省石家庄二中实验学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

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石家庄二中教育集团2022-2023学年度高一年级上学期期中考试
数学试题
（时间：120分钟，分值150分）
一、选择题（1-8题为单选题，每题5分，9-12题为多选题，部分选对2分，有选错的得0分，每题5分）
1. 设集合M={x|x＜4}，集合，则下列关系中正确的是（　　）
A. M∪N=M B. M∪∁RN=M C. N∪∁RM=R D. M∩N=M
【答案】A
【解析】
【详解】集合，集合，则，A正确；或，∴，B错误；，∴或，C错误；，D错误，故选A.
2. 集合，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用充分必要条件的定义判断出结果．
【详解】∵，
∴若，则，
∵推不出，但推出．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充要条件的定义判断条件问题．
3. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】命题“，”否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
4. 下列四个式子中，y是x函数的是（ ）
A. =x B. y=
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，依次判断选项，即可.
【详解】对于A选项，，定义域为，
定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，
所以不是函数，A项错误；
对于B选项，，
定义域为无解，
所以不是函数，B项错误；
对于C选项，定义域为，
对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，
所以是函数，C项正确；
对于D选项，
当时，有两个值0，1与之对应，
所以不是函数，D项错误．
故选：C.
5. 函数的图像（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．
【详解】由题可得函数的定义域为，
当，，函数单调递减，此时，排除AC；
当，，函数单调递增，此时，排除B.
故选：D．
6. 若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可判断A，利用不等式的性质可判断BC，利用作差法可判断D.
【详解】当时，，故A错误；
因为，所以，，
∴，故B正确；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，
所以，故D错误.
故选：B．
7. 已知定义域为的奇函数，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】为的奇函数，可得、求出，利用导数判断出单调性，由单调性和奇偶性解不等式可得答案.
【详解】为的奇函数，
所以，解得，所以定义域为，
由为奇函数得，
即，
得，所以，
，所以在上单调递增，
所以等价于,
得：，解得：.
故选：D.
8. ，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出两个函数在上的值域，然后由条件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解.
【详解】函数，
因为，所以在的值域为，
函数在的值域为，
因为对任意的，存在，使，
所以，
所以，解得．
故选：A．

9. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “是无理数”是“是无理数”的充要条件
C. “a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
D. “且”是“且”的充分必要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，举出反例得到充分性不成立；B选项，推导出充分性和必要性均成立；C选项，先证明出充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，C正确；D选项，举出反例得到必要性不成立，D错误.
【详解】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误；
B选项，，若“是无理数”则“是无理数”，充分性成立，
若是无理数，则是无理数，必要性成立，
故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，B正确；
C选项，a，b都是偶数，设，则为偶数，充分性成立，
当时，为偶数，但a，b都是奇数，必要性不成立，
故“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，C正确；
D选项，当，时，满足且，但不满足且，故必要性不成立，D错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B.  图象关于点成中心对称
C.  的最大值为
D. 幂函数在上为减函数，则的值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，B正确；
对于C，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；
对于D，因为函数为幂函数，
所以，
解得，D正确.
故选：BD.
11. 下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）
A. 若，则的最大值为
B. 函数的最小值为2
C. 已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为
D. 若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A，利用基本不等式求得最大值为，故该选项正确；
对于选项B，，再利用基本不等式求得函数最小值为3，故该选项错误；
对于选项C，，再利用基本不等式求得最小值为3+2，故该选项正确；
对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，则3x+y＝2x，再利用基本不等式求得最小值是4，故该选项错误．
【详解】解：对于选项A，若0＜x，则，所以，当且仅当3x＝1﹣3x，即x时等号成立，所以最大值为，故该选项正确；
对于选项B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y21＝3，当且仅当x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故该选项错误；
对于选项C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以3≥23＝23，当且仅当，即x，y＝2等号成立，故最小值为3+2，故该选项正确；
对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，因为x＞0，y＞0，可得0＜x，
则3x+y＝2x2，当且仅当2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4，故该选项错误．
故选：AC．
12. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数 B. 不等式的解集为
C. 当时， D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．
【详解】作出函数的图象，如图实线部分．
由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；
，再计算得，解集为，B错；
时，即为，即，成立
时，即为，即，成立，
时，即为，即，成立，
时，，，由在上递增，得成立．
C正确；
由B选项知时，，成立，
时，，，不等式，，不成立．D错误．
故选：AC．

二、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知集合A={x|y=}，B=，则(∁RA)∩B=________.
【答案】{x|-1 【解析】
【分析】求得函数定义域解得集合，利用指数函数单调性求得不等式解集从而求得集合，再求集合的补集和交集即可.
【详解】因为A={x|y=}={x|x≥0}，
所以∁RA={x|x<0}.
又B=={x|-1 所以(∁RA)∩B={x|-1 故答案为：{x|-1 【点睛】本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域的求解，以及利用指数函数单调性解不等式，属综合基础题.
14. 函数的单调增区间为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案.
【详解】由得，
因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
15. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围．
【详解】根据题意，函数在上是增函数，
则有，解得：，
即实数的取值范围为；
故答案为．
【点睛】本题考查分段函数的单调性，若分段的函数在定义域内为增函数，则每一段都为增函数且左边那段函数的最大值小于等于相邻右边那段函数的最小值．
16. 已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，
等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.
,,
的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.
,点A是直线与函数()的交点，
是、在轴右侧的交点.
由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.
直线必须且只需在点之间，
由，解得,
由解得,
∴实数的取值范围，
故答案为：.

三、解答题（共6题，共70分）
17. 已知集合．
（1）求
（2）若,求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合交并补定义计算即可；
（2）分和讨论即可.
【小问1详解】
由题知.
所以.
.
小问2详解】
若,则,即,符合题意，
若,则,解得.
综上,的取值范围为.
18. 设p：实数x满足（其中），q：实数x满足
（1）若，且p和q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到p为真和q为真时实数x的取值范围，求出交集，得到答案；
（2）设，可得到⫋，分与两种情况，得到不等关系，求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，解得，即p为真时实数x的取值范围是．
由，得，即q为真时实数x的取值范围是．
若p真且q真，所以实数x的取值范围是．
【小问2详解】
p是q的必要不充分条件，设，则⫋，
又，
由得，
当时，，有且等号不同时成立，解得，
当时，，显然，不合题意．
所以实数a的取值范围是．
19. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上有最小值2，求实数t的值．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意得c＝3，又由一元二次不等式的解知，1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式．
（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t≤1、1＜t＜2、t≥2情况下求符合条件的t值即可．
【小问1详解】
由3，得c＝3，又1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴，．解得a＝1，b＝4，
∴．
【小问2详解】
＝，x∈．开口向上且对称轴为x＝t，
1、当t≤1时，在[1,2]上为增函数，＝＝2t+4＝2，解得t＝1，符合题意；
2、当1＜t＜2时，在[1,t]上为减函数，在[t,2]上为增函数，，解得t＝±1，其中t＝1舍去；
3、当t≥2时，在[1,2]上为减函数，＝＝74t＝2，解得，不符合题意．
综上，t＝1或t＝1．
20. 某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
【答案】（1）
（2）年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；
（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
．
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，，
年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．
21. 已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求f(x)的解析式；
（2）证明：f(x)在(1，+∞)上减函数；
（3）求不等式f(1+3x2)+f(2x-x2-5)>0的解集.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数定义列关系，求参数即得解析式；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）先移项，再利用奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】解：（1）∵函数为定义在上的奇函数，
∴，，即，
解得，∴；
（2）证明：设，且，
则，
∵，，，，
∴，即∴在上是减函数；
（3）由，得
.∵是奇函数，∴.
又∵，，且在上为减函数，
∴，即，解得，
∴不等式的解集是.
【点睛】已知奇偶性求解析式时，可以通过特殊值代入列关系求参数，但是证明奇偶性时必须对定义域内的任一x,证明.利用奇偶性和单调性解不等式的关键是脱去，列关系即可.
22. 设常数，函数.
（1）当时，判断并证明函数在的单调性；
（2）当时，若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；
（2）将问题转化为方程有两个不等的实根，然后通过换元转化为方程有两个不相等的正实根，进而可列式求解.
【小问1详解】
函数在上单调递减，证明如下：
当时，，
任取，则，
因为，所以，故，即，
故函数上单调递减．
【小问2详解】
因为，当时，函数在上单调递增．
由题意可得，所以是方程的两个不等的实根，
即方程有两个不等的实根，
令，则方程有两个不相等的正实根，
故，解得.
即实数的取值范围为.