河南省三门峡市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷（选择题共 58 分）
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 下列各角中，与 735°终边相同的角是（ ）
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的集合求解.
【详解】 ，所以 与 的终边相同.
故选：B
2. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集和补集的概念求解出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
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因为 ，所以 ，
故选：A.
3. 已知命题 ，则命题 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解命题 中不等式的解集，再根据充分不必要条件的概念，判断各个选项与命题 解集的关
系.
【详解】解不等式 ，得到解集为 .
对于 A 选项 ，命题 解集 是 的真子集.
所以 是命题 成立的必要不充分条件，A 选项不符合.
对于 B 选项 ，命题 的解集 是 的真子集.
所以 是命题 成立的必要不充分条件，B 选项不符合.
对于 C 选项 ，命题 的解集 是 的真子集.
所以 是命题 成立的必要不充分条件，C 选项不符合.
对于 D 选项 ，因为 是 的真子集.
所以 是命题 成立的充分不必要条件，D 选项符合.
故选：D.
4. 函数 零点存在的区间为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 详 解 】 函 数 在 上 单 调 递 增 ， ，
的零点所在区间为 ，故选 C.
5. 设非负实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 的最大值是 B. 的最大值是 1
C. 的最小值是 4 D. 的最小值是 4
【答案】D
【解析】
【分析】对于 ABD：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于 B：根据题设条件反推即可.
【详解】因为非负实数 满足 ，
对于选项 A：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值是 ，故 A 错误；
对于选项 B：因为 为非负实数，
当 时， ， 的最大值不是 1，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 ，故 C 错误；
对于选项 D：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值是 ，故 D 正确；
故选：D.
6. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
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C D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断 B、D，再根据函数在 上的单调性排除 C.
【详解】函数 ，令 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，故排除 B、D；
当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故排除 C.
故选：A
7. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于 的表达式，再换元利用二倍角公式求出 的
值.
【详解】由 可得 .
因为 ，变形为 .得到 .
两边同时平方得，即 .
设 ，则 ，即 .解得 或 .
当 时， ，得到 ，.
当 时， ，得到 ， 由于 ，这种情况舍去.
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故选：D.
8. 已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，由 的单调性与奇偶性，把不等式
转化为 求解．
【详解】令 ，定义域为 ，
在 上单调递增；
在 单调递增且 ， 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增．
，
故 为奇函数， 在 上单调递增，
关于 的不等式 可化为 ，
即 ，
则 ，解得 ，
∴关于 的不等式 的解集为 ．
故选：B．
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二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用对数式与指数式的互化可判断 A 选项；利用对数的运算性质可判断 B 选项；利用对数函数的
单调性可判断 C 选项；利用作商法结合指数函数的单调性可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若 ，则 ，解得 ，A 对；
对于 B 选项，若 ，因为 ， ，
所以， 与 不一定相等，B 错；
对于 C 选项， ，则对数函数 为增函数，所以， ，C 错；
对于 D 选项，若 ，则 ，即 ，可得 ，D 对.
故选：AD.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 是奇函数
B. 函数 的零点是
C. 在 上单调递增
D. 的最大值是
【答案】ABD
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【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断 A 选项；解方程 可判断 B 选项；利用复合函数法
可判断 C 选项；利用函数的单调性求出函数 的最大值，可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，对任意的 ， ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，所以，函数 为奇函数，A 对；
对于 B 选项，因为 ，令 ，可得 ，
所以，函数 的零点是 ，B 对；
对于 C 选项，当 时， ，
因为内层函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
外层函数 在 上为减函数，
所以，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，C 错；
对于 D 选项，当 时， ；当 时， 且 ，
要考虑函数 的最大值，只需考查函数 在 上的最大值.
由 C 选项可知，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
则 ，D 对.
故选：ABD.
11. 若函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递增
B. 的图象关于点 对称
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C. ， 为定值
D. 函数 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先将函数利用三角恒等变换化成余弦型函数 ，将 看成整体，结合余弦
函数的图象，即可判断 A,B；对于 C，只需利用对数运算性质和诱导公式即可推出；对于 D，一般通过计算
推理 的值是否为 0 即可判断.
【详解】因
.
对于 A，当 时，设 ，
因函数 在 上单调递增，故 在 上单调递增，即 A 正确；
对于 B，因 时， ，故 的图象关于点 不对称，
故 的图象关于点 不对称，即 B 错误；
对于 C， ，
定值，故 C 正确；
对于 D，令 ，由
，故函数 的图象关于点 对称，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数在对称性和单调性上的应用，属于难题.一般思
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路为将已知式化简正弦型函数或者余弦型函数，将角看成整体角，利用正弦函数或余弦函数图象的单调性、
对称性等特征一一判断即得.
第 II 卷（非选择题共 92 分）
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若幂函数 经过点 ，则 __________.
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再代入求出函数值.
【详解】幂函数 经过点 ，则 ，解得 ， ，
所以 .
故答案为：
13. 若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可得出 ，由此可求得 的值
.
【详解】因为 ，则 ，
所以， ，
因此， .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 ， ，且函数 在 上单调，则实
数 值______．
【答案】 ##0.5
【解析】
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【分析】由 ，可知 时， 取得最大值，且函数 在 上单调，即
，即可求解实数 的值．
【详解】由 ，可知 时， 取得最大值，
即 ， 可得： 且 在 上是单调函数，
，即 可得： ．当 时，可得 ，故得实数 的值为 ．
故答案为： ．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的函数解析式求值即可；
（2）根据实数 和 分类讨论，列不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
由题意得 ，因为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
当 时，由 得， ，即 ，解得 ，因此 ；
当 时，由 得， ，解得 ，因此 ；
综上所述， 的取值范围是 .
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16. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
（3）若锐角 满足 ，求 值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义求出 的值，可得出 、 ，即可求得 的值；
（2）利用弦化切可得出所求代数式的值；
（3）由两角差的余弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式可求得 的值.
【小问 1 详解】
由三角函数定义可得 ，则 ，
所以 ， ，则 .
【小问 2 详解】
原式 .
【小问 3 详解】
由（1）知角 为第四象限角，不妨设 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，所以 .
由 得 ，
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即 .
所以 .
17. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求实数 的值.
（2）试判断 的单调性，并用定义证明.
（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 计算 ，再验证即可.
（2）函数单调递减，设 ，计算 得到证明.
（3）根据函数的奇偶性和单调性得到 ，解得答案.
【小问 1 详解】
定义域为 的函数 是奇函数，则 ， ，
， ， ，函数为奇函数；
【小问 2 详解】
函数 在 上单调递减.
设 ，则 ，
， ，故 ，故 ，
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即 ，故函数 在 上单调递减.
【小问 3 详解】
是定义在 上的减函数和奇函数，
，即 ，即 ，
，即 ，解得 .
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）若函数 向左平移 个单位后，所得函数 的图象关于 对称，
（ⅰ）求φ的最小值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数 在区间 上存在零点，求 的取值范围．
【答案】（1） ，单调递增区间为： ；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） ；
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换得 ，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即
可；
（2）（ⅰ）由题意可得 ，由 ，可得
，求解即可；
（ⅱ）将（ⅰ）中 值代入，求出函数 在 上的值域，即可得答案.
【小问 1 详解】
解：因为
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，
所以 ；
由 ，
解得 ，
所以函数的单调递增区间为： ；
【小问 2 详解】
解：（ⅰ）由题意可得 ，
又因为 的图象关于 对称，
所以 ，
解得 ，
又因为 ，
所以当 时， ；
（ⅱ）令 ，则 ，
即 的图象与直线 在 上有交点.
又因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即 ，
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所以 .
19. 对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点.已知函数
.
（1）若 是不动点，求 的值；
（2）若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；
（3）若 的两个不动点为 、 ，且 ，当 时，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 可求得 的值；
（2）分析可知，关于 的方程 有两个不等的实根，可得出 ，可得出关于
的二次不等式 恒成立，结合判别式可求得实数 的取值范围；
（3）由韦达定理可得出 ，结合已知条件可得出 ，令
，可得出 ，分析函数 在 上的单调性，求其值域，即可得
出 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题意可知， ，即 ，解得 ，
【小问 2 详解】
因为 恒有两个不动点，即 恒有两个不等实根，
整理为 ，
所以 且 恒成立.
即对于任意 ， 恒成立.
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令 ，
则 ，整理可得 ，解得 .
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，
则 ，其中 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，即 ，
所以得 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设 、 是所给区间上的任意两个值，且 ；
（2）作差变形：即作差 ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方
向变形；
（3）定号：确定差 的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值 作差 变形 定号 下结论.
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