河南省名校大联考2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据交集定义求出.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的概念即对数函数的定义域即可判断.
【详解】当时不能推出，而可以推出，所以是必要不充分条件.
故选：C.
3. 如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解.
【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为，
设所建造的禽舍总面积为，
则，
所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值.
故选：D.
4. 已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式性质判断AC；利用幂函数的单调性判断B；作差判断D.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，函数在上单调递增，由，得，B正确；
对于C，由选项A知，，又，则，C错误；
对于D，由，得，D正确.
故选：C
5. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数定义域，再利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】由对数函数的性质知，解得，
因为函数的图象的对称轴为，开口向下，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则函数为减函数，
由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为.
故答案为：A.
6. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ）
A. 物理方向的男生多于物理方向的女生
B. 历史方向的女生多于历史方向的男生
C. 物理方向的女生多于历史方向的男生
D. 物理方向的男生多于历史方向的女生
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论.
【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，
根据题意可得，所以，
即，故物理方向的女生多于历史方向的男生.
故选：C.
7. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性以及指数函数的性质求解.
【详解】因为时，单调递减，
且函数在上具有单调性，
所以当时，函数在单调递减，
所以，解得，
在考虑函数在处左右取值，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是，
故选:A.
8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（ ）
A 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案.
【详解】，
，
，
，即，
解得或，
又，所以使成立的m的最小值为9.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可.
【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确；
对于B，时，，所以有零点，故B正确；
对于C，时，，所以有零点，故C正确；
对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误；
故选：ABC.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用作差法即可判断；对于B，利用指数运算即可判断；对于C，利用指数函数单调性，并借助中间量1，即可判断；对于D，利用指数、对数的运算及对数函数的性质可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，因为，所以，即，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，因为，
又，所以，即，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意采用赋值法可推得函数周期为2，继而推出其对称轴，当时，，根据的图像和的图像恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，满足，
所以为以为周期的周期函数，
当时，，
函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分，
因为，所以，则，
作出函数的图像，如图所示，
要使函数的图像和的图像恰好有三个交点，
则有 ，即，解得，
即实数a的取值范围是，选项中BC符合.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数式则________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据分段函数定义进行求解即可.
【详解】已知函数，
所以，
则.
故答案为： 0.
13. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知不等式解集计算求参得出且，再解一元一次不等式即可.
【详解】因为不等式与且不等于同解，
又因为解集为，
所以,
所以，
所以不等式，即是，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，单调性和对称性解函数不等式.
【详解】的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
设，则当时，，即，此时单调递增，
则当时，，即，此时单调递减，
所以当时单调递增，当时单调递减，
所以函数的图象关于对称，
且当时单调递增，当时单调递减，
又因为二次函数的图象关于对称，
且当时单调递增，当时单调递减，
所以在时单调递增，在时单调递减，
且的图象关于对称，
因为，所以，即，
所以，
即且恒成立，
由恒成立可得，，解得，
由恒成立可得，，解得，
综上所述，，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入化简集合，利用集合的交集，补集运算求出结果.
（2）分析可得，根据集合的包含关系即可求出结果.
【小问1详解】
因为，所以或，
当时，，
故.
【小问2详解】
因为，所以，
若，则，，
由得，解得，与矛盾，
若，则，，
由得，解得，
综上，实数的取值范围是.
16. 根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，.
（1）若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？
（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？
【答案】（1）明年的研发投入应该为万元；
（2）明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
【解析】
【分析】（1）由已知可求得，代入计算可得结论；
（2）设今年的研发投入为万元，利润为万元，该公司想要明年的为万元，利润为万元，由题意可得，计算可得，可得结论.
【小问1详解】
当时，，所以，解得，
所以，
令，可得，解得，
所以明年的研发投入应该为万元；
【小问2详解】
设今年的研发投入为万元，利润为万元，该公司想要明年的研发投入为万元，利润为万元，
所以，，
根据题意可得，
解得，所以，所以，所以.
所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
17. 已知正数，满足，.设函数.
（1）求，；
（2）若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，根据指数幂的运算求出，即可求出；
（2）作出的图象，即可得到，根据对数的运算性质得到，再判断，即可得到，从而求出，即可得解.
【小问1详解】
将代入，得，
即，因为，所以，故，所以.
【小问2详解】
由（1）知，作出的图象，如图.
观察可知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
由可得，则，所以.
若在上的最大值为，
因为，即，所以，所以，
所以，得，解得（负值已舍去），所以.
18. 已知函数的定义域为，且仅有一个零点.
（1）求；
（2）若为奇函数，求的值；
（3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令，可求得，令，可求得；
（2），结合（1）可得，进而证明可得结论；
（3）由（2）可求得，利用单调性可得，进而可得是方程的两个实根，利用根的分布可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
，
令，得，即，
因为，所以，
令，得，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
若函数为奇函数，则可得，
因为仅有一个零点，由（1）可知，所以，
当时，，
所以，即为奇函数.
故为奇函数，的值为；
【小问3详解】
由（2）知，所以，
所以，则在和上均单调递增，
若存在实数，使得在区间上的值域为，
则，所以是方程的两个实根，
所以方程在上有两个不相等的实根，
设，则，解得，
故实数的取值范围为.
19. Sigmid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是.
（1）判断的单调性，并用定义证明；
（2）设函数，求的值；
（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增.，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的单调性定义证明即可；
（2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可；
（3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案.
【小问1详解】
在上单调递增.，证明：任取，，且，
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
由题意得，
所以，
故.
所以
.
【小问3详解】
由题意得，
令，当时，.
在上有零点关于的方程在上有解.
方程可化为.
令，则，且，
因为函数在上单调递增，所以当时，，
故实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于.