数学-广东省阳江市高新区2024-2025学年高一下学期2月月考试题

这是一份数学-广东省阳江市高新区2024-2025学年高一下学期2月月考试题，共19页。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，,则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为实数，则是的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 64B. 25C. 13D. 12
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A B. 2C. 5D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，当时，．下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 为上的减函数D. 为奇函数
10. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 若在定义域上是增函数，则
C. 若的值域为.则
D. 当时，若，则
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有2个零点
C. 的最大值为D. 在上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若正数满足，则的最小值为__________.
13. 已知函数的图象关于点对称，则______．
14. 已知，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，且，，，求的最小值．
16. 随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元．
（1）写出年利润(万元)关于年销量万件函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润．
17. 已知函数是奇函数，
（1）求的值；
（2）若是区间上的减函数且，求实数的取值范围.
18. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
19. 已知函数
（1）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
（2）设在区间上最大值为，求的解析式.
2024-2025学年度第二学期高一2月测试
数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合运算的定义可以得到集合不含的元素，从而知道不含的元素，即可得到答案.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，，
所以，，，
因为，所以.
故选：D.
2. 设为实数，则是的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出两方程在R内的解，根据包含关系得到答案.
【详解】，故解集为，
而在R内无解，解集为，
由于是任何非空集合的真子集，
故是的必要不充分条件.
故选：C.
3. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式性质得到，得到答案.
【详解】，又，
故，即.
故选：D
4. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 64B. 25C. 13D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．
【详解】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解.
【详解】原不等式即为即，故，
故，
故选：D.
6. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的定义求结论.
【详解】集合，
故.
故选：C.
7. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程至少有两个不同的交点，结合图象得，求解即可．
【详解】因为，
作出函数的图象，如图所示：
关于x的方程至少有两个不等的实根，
即关于x的方程至少有两个不同的交点，
所以，
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以，解得．
故选：A
8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A B. 2C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案.
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这两个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，当时，．下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 为上的减函数D. 为奇函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法计算判断AB；赋值结合单调性判断C；令，利用奇函数定义推理判断D.
【详解】定义在上的函数，，，且，
对于A，令，得，则，A正确；
对于B，令，得，则，
令，，B错误；
对于C，由，得不为上的减函数，C错误；
对于D，，则，因此，
函数为奇函数，D正确，
故选：AD
10. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 若在定义域上是增函数，则
C. 若的值域为.则
D. 当时，若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可．
【详解】对于A，由题函数定义域为，关于原点对称，
当时，，，；
当时，，，，
则函数为奇函数，故A正确；
对于B，若在定义域上是增函数，则，即，故B正确；
对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为，
当时，在区间上单调递增，此时值域为.
要使的值域为，则，即，故C不正确；
对于D，当时，由于，则函数在定义域上是增函数，
又函数是奇函数，故由，得，
则，且，且，
解得，故D不正确.
故选：AB
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有2个零点
C. 的最大值为D. 在上是增函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A利用诱导公式结合函数周期性的定义判断，对于B将给定函数化简后结合余弦函数的性质求解零点个数判断，对于C利用换元法转化为二次函数，再求解二次函数的最值判断，对于D举反例判断即可.
【详解】对于A，因为
，
所以是的一个周期，故A正确，
对于B，因为，
所以令，解得或，
当时，，故舍去，
当时，而，，
，，由余弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
综上可得在上有2个零点，故B正确，
对于C，令，故可化为，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
且，，
故最大值为，即的最大值为，故C正确，
对于D，由题意得，，
所以在上不可能是增函数，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13. 已知函数的图象关于点对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
所以函数为奇函数，故，
所以，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
14. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】将化为，再利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】由题意得，
则，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，且，，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，分类讨论列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
当时，由，可得，解得，所以；
当时，由，可得，解得，所以；
当时，由，可得，解得，所以，
综上可得，不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
所以，所以，则，
又由，
所以，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
16. 随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元．
（1）写出年利润(万元)关于年销量万件函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）时，取得最大值为1150万元.
【解析】
【分析】（1）依题意可求得参数的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式；
（2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果.
【小问1详解】
因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元，
所以，解得.
当销售20万件衣服时，年利润为1145万元，
所以，解得.
当时，；
当时，
所以
【小问2详解】
当时，，所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150，
综上可知，当时，取得最大值为1150万元.
17. 已知函数是奇函数，
（1）求的值；
（2）若是区间上的减函数且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由求得，由区间关于0对称求得；
（2）由奇偶性变形不等式，再由单调性化简后求解．
【小问1详解】
函数是奇函数，
，且，即.
【小问2详解】
，
.
是奇函数，，
是区间上的减函数，
，即有，
，则实数的取值范围是.
18. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的递增区间；
（2）分析函数在上的单调性，求出其最大值和最小值，即可得出该函数在上的值域.
【小问1详解】
因为函数的最小正周期为，且，则，
则，
由，得，
所以，函数的递增区间为.
【小问2详解】
当时，，
所以，函数上单调递增，
所以，，
，
因此，当时，函数的值域为.
19. 已知函数
（1）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
（2）设在区间上最大值为，求的解析式.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.
（2）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.
【小问1详解】
当时，，
当时，易得单调递增；
当时，，
因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
综上，的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，
当时，，则，
根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，，则，显然在上单调递增，
所以；
当时，，
当时，单调递增，故，
当时，，
若时，则；若时，则；
所以当时，；
若时，，又，，
当，即时，，
当，即时，；
综上，.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分理解对勾函数的单调性.