2025年中考数学几何专项复习专题21直角三角形存在性问题巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题21直角三角形存在性问题巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共40页。
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y＝﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上一点，一次函数y2＝﹣x+2的图象经过点A，交y轴于点B，△AOB的面积是3．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
4．如图，二次函数y=12(x−3)2−1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求∠DAE的大小；
（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，点A的纵坐标为﹣4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图1，一次函数y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，∠OAB＝ °；
（2）在运动过程中，点P的坐标为 ，⊙P的半径为 （用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=52时，弦EF的长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．
7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点P在直线y＝2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q．
（1）当m＝n﹣1时，求m的值；
（2）当AQ∥x轴时，试确定抛物线的解析式；
（3）随着顶点P在直线y＝2x上的运动，是否存在直角△PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．
①设点E的横坐标为x，是否存在x，使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；
②是否存在点E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知平行四边形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，过D点作DE⊥AB于E，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，点F落在DC上，将△DEF在同一平面内沿直线DC翻折，所得的等腰直角三角形记为△PQR，点R与D重合，点Q与F重合，如图①，平行四边形ABCD保持不动，将△PQR沿折线D﹣B﹣C匀速平移，点R的移动的速度为每秒5个单位，设运动时间为t，当R与C重合时停止运动．
（1）当点Q落在BC边上时，求t的值；
（2）记△PQR与△DBC的重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）当△PQR移动到R与B重合时，如图②，再将△PQR绕R点沿顺时针方向旋转α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直线P1Q1与直线BC、直线DC分别相交于M、N，问在旋转的过程中是否存在△CMN为直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2＝AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=3x+3m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．
直角三角形存在性问题巩固练习
1．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；
【分析】（1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；
（2）先根据OQ垂直平分AP得出OP＝OA，求出t的值，再由PQ＝QA即可得出a的值；
（3）分∠OPQ＝90°与∠POQ＝90°两种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，
∴P（t，8），Q（10，at），
∵反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，
∴8t＝10at，解得a=45；
（2）∵OQ垂直平分AP，
∴OP＝OA，PQ＝QA，
∴t2+82=10，解得t＝6，
∴Q（10，6a），P（6，8），
∵PQ＝QA，
∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2＝（6a）2，解得a=56；
（3）如图，
∵Q为AB的中点，
∴Q（10，4），P（t，8）．
当∠OPQ＝90°时，OP2+PQ2＝OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42＝102+42，整理得，t2﹣10t+32＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×32＝100﹣128＝﹣28＜0，
∴此方程无解，即此种情况不存在；
当∠PQO＝90°时，OQ2+PQ2＝OP2，即102+42+（10﹣t）2+42＝t2+82，整理得，﹣20t＝﹣168，解得t=425，
∵AQ＝4，
∴at＝4，即425a＝4，解得a=1021．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y＝﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；
（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE＝90°或∠BDE＝90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，
∴16a+4b−4=0a−b−4=0，
∴a=1b=−3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
（2）如图1，
作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，
由（1）得，抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4①，
∴D（0，﹣4），
∵点C是直线y＝﹣x+4②与抛物线的交点，
∴联立①②解得，x=4y=0（舍）或x=−2y=6，
∴C（﹣2，6），
∵A（4，0），
∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，
∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），
∴直线BF解析式为y＝x+1，
设点F（m，m+1），
∴G（m−12，m+12），
∵点G在直线AC上，
∴−m−12+4=m+12，
∴m＝4，
∴F（4，5），
∵D（0，﹣4），
∴直线DF解析式为y=94x﹣4，
∵直线AC解析式为y＝﹣x+4，
∴直线DF和直线AC的交点E（3213，2013），
（3）∵BD=17，
由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=12BF=12×52=522＜BD，
∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），
∴直线BD解析式为y＝﹣4x﹣4，
∵△BDE为直角三角形，
∴①∠DBE＝90°，
∴BE⊥BD交AC于E，
∴直线BE解析式为y=14x+14，
∵点E在直线AC：y＝﹣x+4的图象上，
∴E（3，1），
②∠BDE＝90°，
∴DE⊥BD交抛物线于E，
∴直线DE的解析式为y=14x﹣4，
∵点E在抛物线y＝x2﹣3x﹣4上，
∴直线DE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（134，−5116），
∴E（134，−5116），
即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（134，−5116）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．
3．如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上一点，一次函数y2＝﹣x+2的图象经过点A，交y轴于点B，△AOB的面积是3．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y2＝2，得到B（0，2），根据三角形的面积S△AOB＝3，求得A（3，﹣1），由点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上，得到k＝﹣3，于是得到结论；
（2）根据图象即可得到x的取值范围；
（3）设P（0，a），①当∠APB＝90°，由AP⊥PB，根据点A的坐标即可得到 P1（0，﹣1），②当∠PAB＝90°，由勾股定理和两点间的距离得到方程32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，于是得到结论．
【解答】解：（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y2＝2，
∵一次函数y2＝﹣x+2的图象与y轴相交于点B，
∴B（0，2），又∵S△AOB＝3，
设A（m，n），
∴12×2×m＝3，
∴m＝3，将其代入y2＝﹣x+2中得n＝﹣1，
∴A（3，﹣1），
∵点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝﹣3，∴反比例函数解析式为：y=−3x；
（2）由图象知：当y1＞y2时，x＞3；
（3）存在，设P（0，a），
①当∠APB＝90°，则AP⊥PB，
∴P1（0，﹣1），
②当∠PAB＝90°，
则AP2+AB2＝PB2，
即32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，
∴a＝﹣4，P2（0，﹣4），
综上所述：P（0，﹣1），（0，﹣4）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键．
4．如图，二次函数y=12(x−3)2−1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求∠DAE的大小；
（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，即可求出点A、B坐标，根据顶点式可以知道点D坐标．
（2）先求出直线CD解析式，根据OE⊥CD求出直线OE解析式，再求出点E坐标，利用两点间距离公式求出线段AE2，AD2，DE2，由勾股定理的逆定理证明△EAD是直角三角形即可解决问题．
（3）存在．设点P为（m，n），求出PM2，PN2，根据PM2+PN2＝42，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，则12（x﹣3）2﹣1＝0，解得x＝3±2，
∴点A坐标（3−2，0），点B坐标（3+2，0），
令x＝0则y=72，
∴点C坐标（0，72），顶点D坐标（3，﹣1）．
（2）设直线CD解析式为y＝kx+b，
则3k+b=−1b=72解得k=−32b=72，
∴直线CD解析式为y=−32x+72，
∵OE⊥CD，
∴直线OE解析式为y=23x，
∴x＝3时，y＝2，
∴点E坐标（3，2），
∴AE2＝（2）2+22＝6，AD2＝（2）2+12＝3，DE2＝32＝9，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴∠EAD＝90°．
（3）存在．
理由：由题意E（3，2），F（3，﹣4），设点P为（m，n），
∵点P在抛物线上，
∴n=12（m﹣3）2﹣1 ①
∴PM2＝PE2﹣12＝（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1，PN2＝PF2﹣12＝（m﹣3）2+（n+4）2﹣1，
∵PM2+PN2＝42，
∴（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1+（m﹣3）2+（n+4）2﹣1＝42，
整理得到（m﹣3）2+（n+1）2＝0 ②
由①②得到m＝3，n＝﹣1，
∴点P坐标（3，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数．两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负数的性质这个突破口，属于中考压轴题．
5．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，点A的纵坐标为﹣4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由直线方程得到点A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的方程组，通过解方程组来求系数的值即可；
（2）根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到：P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．所以由两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；
（3）如图2，当∠APD＝90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．
【解答】解：（1）∵y＝x﹣1交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝﹣1，即B（0，﹣1）．
当y＝﹣4时，x＝﹣3，即a（﹣3，﹣4）．
∵抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴−1=c−4=9−3b+c，
解得b=4c=−1，
则该抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）∵点P的横坐标是m，且点P在抛物线y＝x2+4x﹣1上，PC⊥x轴，
∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．
∵点P在线段AB的下方，
∴﹣3＜m＜0，
∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2＝﹣（m+32）2+94．
∴当m=−32时，线段PD取得最大值，最大值是94．
（3）如图1所示：当∠APD＝90°，设P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．
∴AP＝m+3，CD＝1﹣m，OC＝﹣m，CP＝1﹣4m﹣m2，
∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2．
在直线y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴F（1，0），
∴OF＝1，
∴CF＝1﹣m，AF＝42．
∵PC⊥x轴于C，
∴∠PCF＝∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴APCF=DPCD，即m+31−m=−3m−m21−m，
解得m＝﹣1或m＝﹣3（舍去），
∴P（﹣1，﹣4）．
如图2所示：当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF＝90°，CE＝m+3，EF＝4，AF＝42，PD＝m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）＝﹣3m﹣m2．
∵PC⊥x轴，
∴∠DCF＝90°，
∴∠DCF＝∠AEF，
∴AE∥CD．
∴43+m=42AD，
∴AD=2（3+m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴PDFA=ADAE，即−3m−m242=2(3+m)4
∴m＝﹣2或m＝﹣3（舍去）
∴P（﹣2，﹣5）．
当∠APD＝90°时
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（﹣3，﹣4）
∴P（﹣1，﹣4）
综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．
【点评】本题考查了二次函数综合题．解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．解题过程中，还有注意m的取值范围，才能正确求得点P的坐标．
6．如图1，一次函数y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A的坐标为 （10，0） ，点B的坐标为 （0，10） ，∠OAB＝ 45 °；
（2）在运动过程中，点P的坐标为 （1+2t，0） ，⊙P的半径为 1+t （用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=52时，弦EF的长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．
【分析】（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．
（2）根据题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．
（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．在Rt△APK中，由∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，推出PK=22PA＝22，在Rt△PEK中，根据EK=PE2−PK2计算即可．
②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°．分别列出方程求解即可，
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，10），
∴OA＝OB＝10，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
故答案分别为（10，0），（0，10），45°．
（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，
故答案分别为（1+2t，0），1+t．
（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．
当t=52时，P（6，0），半径为3.5，
在Rt△APK中，∵∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，
∴PK=22PA＝22，
在Rt△PEK中，EK=PE2−PK2=172，
∴EF＝2EK=17．
②存在．
a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°
∵OP+PA＝OA，
∴1+2t+1+t＝10，
∴t=83．
b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°．
由OP﹣PF＝OA，
∴1+2t﹣（1+t）＝10，
∴t＝10，
综上所述，t=83s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△PEF．
【点评】本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、B的坐标；然后把B点坐标代入y＝﹣2x+b求出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；
（2）①根据轴对称﹣最短路径问题求得点E的位置，由待定系数法确定直线DB1的解析式为y＝﹣3x﹣4，易得点E的坐标；
②存在．分两种情况：当点D在AB上时，当点D在BC上时．当点D在AB上时，不难得∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；
当点D在BC上时，设AD交y轴于点F．证△AOF与△BOC全等，得OF＝2，点F的坐标为（0，2），求得直线AD的解析式为y=12x+2，与y＝﹣2x+4组成方程组，求得交点D的坐标为（45，125）．
【解答】解：（1）在y＝x+4中，
令x＝0，得y＝4，
令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，
得b＝4
∴直线BC为：y＝﹣2x+4．
在y＝﹣2x+4中，
令y＝0，得x＝2，
∴C点的坐标为（2，0）；
（2）①如图
∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．
∴D（﹣2，2）．
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．
设直线D B1的解析式为y＝kx+b．
把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得−2k+b=−2b=−4．
解得k＝﹣3，b＝﹣4．
故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．
令y＝0，得E点的坐标为（−43，0）．
②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（45，125）．
附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；
当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
在△AOF与△BOC中，
∠FAO=∠CBOAO=BO∠AOF=∠BOC
∴△AOF≌△BOC（ASA）．
∴OF＝OC＝2，
∴点F的坐标为（0，2），
易得直线AD的解析式为y=12x+2，与y＝﹣2x+4组成方程组y=12x+2y=−2x+4，
解得x=45y=125．
∴交点D的坐标为（45，125）．
【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．
8．如图，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点P在直线y＝2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q．
（1）当m＝n﹣1时，求m的值；
（2）当AQ∥x轴时，试确定抛物线的解析式；
（3）随着顶点P在直线y＝2x上的运动，是否存在直角△PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由抛物线的顶点在y＝2x上可知n＝2m，然后由m＝n﹣1可求得m的值；
（2）先求得点Q、点A的坐标（用含m的式子表示），然后根据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等列出关于m的方程，从而可求得m的值；
（3）先求得直线AQ、PQ的一次项系数“k”的值（用含m的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是﹣1，分别列出关m的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+n，
∴P（m，n）．
∵顶点P在直线y＝2x上，
∴n＝2m．
又∵m＝n﹣1，
∴m＝2m﹣1．
解得：m＝1．
（2）∵n＝2m，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m．
∵当x＝0时，y＝m2+2m，
∴点Q的坐标为（0，m2+2m）．
由y＝（x﹣m）2+2m与y＝2x得：2x＝（x﹣m）2+2m，解得：x1＝m，x2＝m+2．
当x＝m时，y＝2m，即点P的坐标为（m，2m），
当x＝m+2时，y＝2m+4，即点A的坐标为（m+2，2m+4）．
∵AQ∥x轴，
∴m2+2m＝2m+4，解得：m＝2或m＝﹣2．
∵当m＝﹣2时，点A与点Q与原点重合，与AQ∥x轴不符，
∴m＝﹣2不合题意．
∴m＝2．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+4．
（3）∵Q（0，m2+2m），P（m，2m），A（m+2，2m+4），
∴直线AQ的一次项系数=2m+4−(m2+2m)m+2−0=−m+2，直线PQ的一次项系数=2m−(m2+2m)m−0=−m．
①当∠AQP＝90°时，﹣m（﹣m+2）＝﹣1，解得m1＝m2＝1，则P（1，2）；
②当∠APQ＝90°时，﹣m×2＝﹣1，解得m=12，则P（12，1）；
③当∠PAQ＝90°时，（﹣m+2）×2＝﹣1，解得m=52，则P（52，5）．
综上所述，点P的坐标为（1，2）或（12，1）或P（52，5）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是﹣1列出关于m的方程是解题的关键．
9．如图，当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．
①设点E的横坐标为x，是否存在x，使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；
②是否存在点E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，可得抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），即可得y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，又由抛物线与y轴交于点C（0，3），即可求得抛物线的解析式；
（2）由y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，然后分别讨论当x为何值时，y1与y2的大小；
（3）①首先求得点A与B的坐标，继而求得直线AC的解析式，再设点E的坐标为：（x，3﹣x），则点F的坐标为：（x，x2﹣4x+3），即可求得答案；
②由EF∥OC，可得∠DEF＝45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，然后分别求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为：（2，﹣1），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴4a﹣1＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）∵y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，
∴当3﹣2x＞0，即x＜32时，y1＞y2；
当3﹣2x＝0，即x=32时，y1＝y2；
当3﹣2x＜0，即x＞32时，y1＜y2；
（3）①存在x=32，使线段EF最长．
令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴点A（3，0），点B（1，0），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
则n=33m+n=0，
解得：m=−1n=3，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3，线段AC的中点D的坐标为：（32，32），
设点E的坐标为：（x，3﹣x），则点F的坐标为：（x，x2﹣4x+3），
∴EF＝（3﹣x）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x−32）2+94，
∴当x=32时，EF最长，其值为94；
②∵EF∥OC，
∴∠DEF＝45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，
若以点F为直角顶点，则DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，
∴DF所在直线为：y=32，
由x2﹣4x+3=32，解得：x1=4−102，x2=4+102＞3（不符合题意，舍去），
将x=4−102代入y＝﹣x+3，得点E的坐标为：（4−102，2+102）；
若点D为直角顶点，则DF⊥AC，此时△DEF∽△OCA，
∵点D为线段AC的中点，
∴DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x，
∴x2﹣4x+3＝x，
解得：x1=5−132，x2=5+132＞3（不符合题意，舍去），
将x=5−132代入y＝﹣x+3，得点E的坐标为：（5−132，1+132）．
【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意方程思想与数形结合思想的应用．
10．如图，已知平行四边形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，过D点作DE⊥AB于E，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，点F落在DC上，将△DEF在同一平面内沿直线DC翻折，所得的等腰直角三角形记为△PQR，点R与D重合，点Q与F重合，如图①，平行四边形ABCD保持不动，将△PQR沿折线D﹣B﹣C匀速平移，点R的移动的速度为每秒5个单位，设运动时间为t，当R与C重合时停止运动．
（1）当点Q落在BC边上时，求t的值；
（2）记△PQR与△DBC的重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）当△PQR移动到R与B重合时，如图②，再将△PQR绕R点沿顺时针方向旋转α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直线P1Q1与直线BC、直线DC分别相交于M、N，问在旋转的过程中是否存在△CMN为直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据同角的三角函数设未知数，利用勾股定理求AE、DE的长度，由翻折和平移的性质得到PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，利用勾股定理求BR的长，从而得到RD的长，根据速度为5求出t；
（2）分四种情况分类讨论，①当0＜t≤125时，如图2，重叠部分是四边形GRQH，根据面积公式求梯形GRQH的面积就是S；②当125＜t≤4时，如图3，重叠部分是五边形GRNMH，S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，代入面积公式计算即可；③如图4，先计算当PQ经过点C时t=143，当4＜t≤143时，如图5，重叠部分为四边形GRMH，根据S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ，代入求出；④当143＜t≤6时，如图6，重叠部分为三角形GRC，代入面积公式计算即可；
（3）根据旋转的度数，分三种情况讨论：①如图7，∠CNM＝90°，CN＝PN﹣PC＝22−2；②如图8，∠CMN＝90°，利用余弦求CN的长；③如图9，∠CNM＝90°，CN＝PC+PN＝2+22．
【解答】解：（1）如图1，当点Q落在BC边上时，点R运动的路程就等于RD的长，
∵AD⊥BD，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠DEA＝90°，
∴tan∠DAB=BDAD=EDAE，
∵BD＝2AD，
∴EDAE=2，
设AE＝x，则ED＝2x，
由勾股定理得：x2+（2x）2＝（25）2，
5x2＝20，
x1＝2，x2＝﹣2（舍），
∴AE＝2，DE＝4，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝4，
由翻折得：PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝90°，
由平移得：RQ∥DC，
∴∠BRQ＝∠BDC，
∴tan∠BRQ＝tan∠BDC，
∴BCBD=BQBR=2545=12，
设BQ＝x，则BR＝2x，
由勾股定理得：x2+（2x）2＝42，
解得：x1=455，x2=−455（舍），
∴BR＝2x=855，
∴RD＝BD﹣BR＝45−855=1255，
∴t=12555=125；
（2）分四种情况：
由勾股定理得：DC＝AB=(45)2+(25)2=10，
①当0≤t≤125时，如图2，重叠部分是四边形GRQH，
则DR=5t，
在Rt△DGR中，tan∠CDB=RGDG=12，
设RG＝x，则DG＝2x，
∴x2+（2x）2＝（5t）2，
解得：x＝±t，
∴RG＝t，
∴GH＝PG＝4﹣t，
∴S＝S梯形GRQH=12（GH+RQ）•GR=12（4﹣t+4）•t=−12t2+4t；
②当125＜t≤4时，如图3，重叠部分是五边形GRNMH，
同理得：GR＝t，PG＝GH＝4﹣t，DR=5t，
∴RB＝45−5t，
∴BN=45−5t2，
∵RN∥DC，
∴RNDC=BRBD，
∴RN10=45−5t245，
∴RN＝5−54t，
∴NQ＝4﹣RN＝4﹣5+54t=54t﹣1，
过M作MT⊥RQ于T，
tan∠MNQ＝tan∠RNB=MTNT=RBBN=2，
∴MT＝2NT，
∵∠Q＝45°，∠MTQ＝90°，
∴MT＝TQ，
∴NT=13NQ=13（54t﹣1）=512t−13，
∴MT＝2NT=56t−23，
∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，
=12×4×4−12（4﹣t）2−12（54t﹣1）（56t+23），
=−4948t2+296t−13；
③如图4，当PQ经过点C时，过C作CN⊥PQ于N，
同理得：RN=43，NQ＝CN=83，
∴RC=(83)2+(43)2=453，
∴BD+BR＝BD+BC﹣RC＝45+25−453=1435，
这时t=1453÷5=143；
当4＜t≤143时，如图5，重叠部分为四边形GRMH，
∵BD+BR=5t，
∴BR=5t﹣45，RC＝65−5t，
cs∠GRC=RGRC=4510，
∴RG65−5t=4510，
∴RG＝12﹣2t，
∴PG＝4﹣（12﹣2t）＝2t﹣8，
∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ，
=12×4×4−12×（2t﹣8）2−12×4×83，
＝﹣2t2+16t−883；
④当143＜t≤6时，如图6，重叠部分为三角形GRC，
由③得RG＝12﹣2t，则CG＝6﹣t，
∴S＝S△GRC=12CG•RG=12（12﹣2t）（6﹣t）＝t2﹣12t+36；
综上所述：S=−12t2+4(0≤t≤125)−4948t2+296t−13(125＜t≤4)−2t2+16t−883(4＜t≤143)t2−12t+36(143＜t≤6)
（3）存在，分三种情况：
①如图7，∠CNM＝90°，
∵DN∥AG，
∴∠AGM＝∠CNM＝90°，
∴△BGP1是等腰直角三角形，
∴BG=42=22，
由（1）得：CP＝2，
∵PN＝BG＝22，
∴CN＝PN﹣PC＝22−2；
②如图8，∠CMN＝90°，
∵BC＝25，BM＝22，
∴CM＝22+25，
cs∠NCM=PCBC=CMCN，
∴225=22+25CN，
∴CN=5（22+25）＝210+10；
③如图9，∠CNM＝90°，
∵PN＝BG＝22，PC＝2，
∴CN＝PC+PN＝2+22；
综上所述：CN的长为22−2或210+10或2+22．
【点评】本题是几何变换的综合题，考查了平行四边形、等腰直角三角形的性质；同时还运用了同角的三角函数列比例式求边的长，比利用三角形相似列比例式要简单；在求重叠部分图形的面积时，先确定特殊位置时的t值，根据重叠图形分类讨论解决，利用面积差或和求解．
11．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．
①求点P的坐标和△PAB的面积；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE＝2，根据S△PAB＝S△PAE+S△PBE=12×PE×（xB﹣xA）计算可得；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴ACBC=2，
∴AC3=2，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：−4−2b+c=6−1+b+c=0，
解得：b=−3c=4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=12DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），
x＝1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
在y＝﹣2x+2中x＝﹣1时，y＝4，即E（﹣1，4），
则PE＝2，
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE
=12×PE×（xB﹣xA）
=12×2×（1+2）
＝3；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，
BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，
AB2＝（1+2）2+62＝45，
分三种情况：
i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，
解得：y＝3±11，
∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3−11）；
ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，
∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，
y＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，
∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，
y=132，
∴M（﹣1，132）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3−11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
12．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2＝AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=3x+3m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．
【分析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD；
②证明∠OBA＝∠BAD＝60°，可得OB∥AD；
（2）先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；由OB∥AD得△OBE是直角三角形，所以P与O重合时，满足△BEP为直角三角形且BE为直角边；
（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=3x，将y=3x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可．
【解答】解：（1）①△OBC与△ABD全等，
理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，
∴∠OBA＝∠CBD＝60°，
OB＝AB，BC＝BD，
∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBA＝∠BAD，
∴OB∥AD，
∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）如图2，∵AC2＝AE•AD，
∴ACAD=AEAC，
∵∠EAC＝∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴∠ECA＝∠ADC，
∵∠BAD＝∠BAO＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∵∠BED＝∠AEC，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADC，
∵BD＝CD，
∴DE⊥BC，
Rt△ABE中，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE=12AB=12×2＝1，
Rt△AEC中，∠EAC＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴C（4，0），
等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H，
∴BH=22−12=3，
∴B（1，3），
设y1的解析式为：y＝ax（x﹣4），
把B（1，3）代入得：3=a（1﹣4），
a=−33，
∴设y1的解析式为：y1=−33x（x﹣4）=−33x2+433x，
过E作EG⊥x轴于G，
Rt△AGE中，AE＝1，
∴AG=12AE=12，
EG=12−(12)2=32，
∴E（52，32），
设直线AE的解析式为：y＝kx+b，
把A（2，0）和E（52，32）代入得：2k+b=052k+b=32，
解得：k=3b=−23，
∴直线AE的解析式为：y=3x﹣23，
则y=3x−23y=−33x2+433，
解得：x1=3y1=3，x2=−2y2=−43，
∴P（3，3）或（﹣2，﹣43）；
由（2）知：OB∥AD，
∴∠OBE＝∠AEC＝90°，
∴△OBE是直角三角形，
∴P在点O处时，也符合条件，
综上所述，点P的坐标为：（3，3）或（﹣2，﹣43）或（0，0）；
（3）如图3，
y1=−33x2+433x=−33（x﹣2）2+433，
顶点（2，433），
∴抛物线y2的顶点为（2，−433），
∴y2=33（x﹣2）2−433，
∵直线y=3x+3m和组成图形M的抛物线y1有两个交点或一个交点或没有交点，
抛物线y2有两个交点或一个交点或没有交点，
要图象M和直线y=3x+3m只有3个交点，则直线y=3x+3m和y1或y2相切，
当y2与l相切时，直线l与y2只有一个公共点，即：l与图形M有3个公共点，
则y=33(x−2)2−433y=3x+3m，
3x+3m=33(x−2)2−433，
x2﹣7x﹣3m＝0，
△＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）＝0，
m=−4912，
当y1与l相切时，直线l与y1只有一个公共点，l与图形M有3个公共点，
∴y=−33(x−2)2+433y=3x+3m，
∴x2﹣x+3m＝0，
∴△＝1﹣12m＝0，
∴m=112，
当直线经过（0，0）或（4，0）时，也符合题意，此时m＝0或﹣4
∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：m=−4912或m=112或0或﹣4．
【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题．