中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题20 等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）（2份，原卷版+解析版）

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【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．
【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，
由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，
∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t）
在Rt△PQE中，PQ2＝122+t2，
在Rt△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，
∵△DPQ是等腰三角形，
①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，
∴t＝7或t＝21（舍）；
②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，
此方程无解，
③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，
∴此方程无解．
即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．
【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】解方程求得A和B的坐标，求得对称轴，当A是直角顶点时，求得过A于AC垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC是等腰三角形的底边时，求得AC的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．
【解答】解：解方程x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
则A的坐标是（1，0），B的坐标是（﹣3，0）．
抛物线的对称轴是x＝﹣1．
设AC的解析式是y＝kx+b，则，
解得：，
则直线AC的解析式是y＝﹣3x+3．
当A是直角顶点时，过A且垂直于AC的直线解析式设是yx+c，
把A代入得：c＝0，
解得：c，
则解析式是yx．
令x＝﹣1，则y，
则交点是（﹣1，）．到A的距离是，AC，
则三角形不是等腰三角形；
同理，当C时直角时，过C于AC垂直的直线的解析式是yx+3，与对称轴x＝﹣1的交点是（﹣1，）．到C的距离是AC，则不是等腰直角三角形；
当P是直角，即AC是斜边时，AC的中点是（，），过这点且与AC垂直的直线的解析式是yx．
当x＝﹣1时，y1．
则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A的距离是．
∵（）2+（）2＝（）2，
∴P的坐标是（﹣1，1）．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键．
3．如图，直线l1与直线l2：yx相交于点A（2a+1，3），且与y轴交于点B（0，6）．
（1）求a的值；
（2）求直线l1的函数关系式；
（3）直线l平行于y轴，分别交直线l1，l2、x轴于点M、N、P，设点P的横坐标为t（t＞0，t≠4），在y轴上是否存在点F，使得△FMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（2a+1，3）代入yx，即可求得a的值；
（2）利用待定系数法即可求得直线l1的函数关系式；
（3）分别利用t表示出M、N的坐标，可表示出MN，分∠FMN、∠FNM和∠MFN为直角三种情况，分别求得F点的坐标，表示出FM、FN，分别得到关于m的方程可求得m．
【解答】解：（1）∵直线l2：yx经过点A（2a+1，3），
∴3（2a+1），
解得a；
（2）设直线l1的函数关系式y＝kx+b，
∵点A（4，3），点B（0，6）．
∴，
解得．
∴直线l1的函数关系式yx+6；
（3）∵P（t，0）（t＞0，t≠4），则M（t，t+6），N（t，t），
∴MN＝|t+6|，
Ⅰ）当∠FMN＝90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，t+6），
∴FM＝MN，即：t＝|t+6|，
解得：t或t＝12，
Ⅱ）同理当∠FNM＝90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，t），
∴FN＝MN，即：t＝|t+6|，
解得：t或t＝12，
Ⅲ）当∠MFN＝90°且△FMN为等腰三角形时，F（0，3），
∴FM2＝t2+（t﹣3）2，
FN2＝t2+（t﹣3）2，
MN2＝（t+6）2，
∴MN2＝FM2+FN2，
∴t2+（t﹣3）2+t2+（t﹣3）2＝（t+6）2，整理可得t2+18t﹣18＝0，解得t或t＝﹣12（舍去）；
综上可知存在使得△FMN为等腰直角三角形的点F，此时t的值为或或12．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用．掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t表示出FN、FM和MN得到关于t的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧，以AB为直径的圆恰好经过点C）
（1）求证△AOC∽△COB；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后根据A，B两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C坐标求出a即可．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．
【解答】（1）证明：∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴△△AOC∽△COB．
（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC2＝AO•OB，
∵A（，0），点C（0，3），
∴AO，OC＝3，
又∵CO2＝AO•OB，
∴32OB，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
∵抛物线经过B（4，0），A（，0），可以假设抛物线为y＝a（x﹣4）（x），把（0，3）代入得a
∴yx2x+3．
（3）①OD＝DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DHOC，OHOB，
∴D（2，），
②BD＝BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴，
∵OB＝4，CB＝5，
∴BD＝OB＝4，
∴，
∴，
∴BG，DG，
∴OG＝BO﹣BG，
∴D（ ，）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，1），动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线AB．设运动的时间为t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．
【解答】解：运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t．
在直角△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝t2+（2t）2＝5t2，
过C作CD⊥x轴于点D，则D的坐标是（3，0）．
在直角△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝1+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，
BC2＝32+（2t﹣1）2＝4t2﹣4t+10，
当AB是斜边时，AB2＝AC2+BC2，则5t2＝t2﹣6t+10+4t2﹣4t+10，
解得：t＝2．
此时AB2＝20，AC2＝2，BC2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；
当AC是斜边时，AC2＝AB2+BC2，则t2﹣6t+10＝5t2+（4t2﹣4t+10），
解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；
当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，
解得：t＝0（舍去），或1．
当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．
总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．
6．如图，直线y＝7x+7交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）S△AOB；
（2）第一象限内是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，进而求出OA与OB的长，即可求出三角形AOB面积；
（2）第一象限内存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°，理由为：设C（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意得BC2＝AC2，BC2+AC2＝AB2，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出C坐标．
【解答】解：（1）对于直线y＝7x+7，
令x＝0，得到y＝7；令y＝0，得到x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，7），即OA＝1，OB＝7，
则S△AOBOA•OB；
（2）第一象限内存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°，理由为：
设C（x，y）（x＞0，y＞0），
根据题意得：BC2＝AC2，BC2+AC2＝AB2，即，
解得：．
此时C（3，3）．
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于P．点E为直线l2上一点，反比例函数y（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF面积的2倍，求点E的坐标；
（3）当k＞2时，在y轴上是否存在一点G，使△FEG是等腰直角三角形？如果存在，求出G点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决．
（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），
（3）分四种情形①如图4中，当E在P右边时，∠FEG＝90°，EF＝EG，设E（m，2），则F（1，2m），②如图5中，当E在P右边时，∠GFE＝90°，FG＝FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），③如图6中，当E在P左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF．设E（m，2），则F（1，2m），④如图7中，当E在P左边时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意P（1，2），把P（1，2）代入y得到，k＝2，
∴k的值为2．
（2）①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），
∵S△OEF＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，S△AOF＝S△EOM，
∴S△OEF＝S梯形AMEF，
∵S△EOF＝2S△PEF，
∴•（m﹣1）＝2（m﹣1）（2m﹣2），
∴m＝3，
此时E（3，2）
②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），
同理可得，（1﹣m）＝2（1﹣m）×（2﹣2m），
∴m，
此时E（，2）
综上所述，当E（3，2）或（，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的2倍．
（3）如图4中，
①当E在P右边时，∠FEG＝90°，EF＝EG，设E（m，2），则F（1，2m），
∵∠EPF＝∠EBG，EF＝EG，∠FEP＝∠BEG，
∴△FEP≌△EGB，
∴PF＝BE，BG＝PE，
∴m＝2m﹣2，
∴m＝2，
∴BG＝PE＝1，
∴G（0，1）．
②如图5中，当E在P右边时，∠GFE＝90°，FG＝FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），
由△FPE≌△FMG，得到FM＝PF，MG＝PE，
∴2m﹣2＝1，
∴m，
∴PE＝MG，BG，
∴G（0，）．
③如图6中，当E在P左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF．设E（m，2），则F（1，2m），
由△EFP≌△GEB，得到，EB﹣PF，BG＝PE，
∴m＝2﹣2m，
∴m，
∴BG＝PE，OG，
∴G（0，）．
∵k＞2，此时E（，2），不符合题意．
④如图7中，当E在P左边时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），
由△EFP≌△FGM得到PE＝FM，PF＝GM，
∴2﹣2m＝1，
∴m，
∴BG＝PF+FM，
∴OG，
∴G（0，），
∵k＞2，此时E（，2），不符合题意；
综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2，
令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，则y＝a2，
∴B（0，a2）．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）．
故a的值为1．
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°．
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
S△ABCAB•AC1．
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1．
【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
9．如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣12x+32＝0的两根，且OA＞OB，点P在AB上，且PB＝3PA．请解答下列问题：
（1）求点P的坐标．
（2）求直线AB的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先解x2﹣12x+32＝0，即可求得点A与B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；首先过点P作PH⊥x轴于点H，由PB＝3PA，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH的长，则可求得点P的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P的坐标；
（2）利用（1）的解题结果即可；
（3）分别从PQ∥AO，AQ∥PO，AP∥OQ去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣12x+32＝0，
∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝4，x2＝8．
∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣12x+32＝0的两根，且OA＞OB，
∴OA＝8，OB＝4．
∴A（﹣8，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：yx+4．
过点P作PH⊥x轴于点H．
设P（x，y），
∴AH＝|﹣8﹣x|＝x+8．
∵PH∥y轴，
∴，
∴，
即．
解得 x＝﹣6．
∵点P在yx+4上，
∴y（﹣6）+4＝1．
∴P（﹣6，1）．
（2）由（1）知，直线AB的解析式为：yx+4；
（3）存在．
如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，
∵梯形OAPQ是等腰梯形，
∴AH＝OG＝8﹣6＝2，QG＝PH＝1，
∴点Q的坐标为（﹣2，1）；
如图②，若AQ∥PO，
∵OP的解析式为：yx，
设直线AQ的解析式为：yx+m，
∵A（﹣8，0），
∴（﹣8）+m＝0，
解得：m，
∴直线AQ的解析式为：yx，
设点Q的坐标为：（x，x），
∵梯形APOQ是等腰梯形，
∴PA＝OQ，
∴x2+（x）2＝[﹣8﹣（﹣6）]2+12，
整理得：37x2+16x﹣116＝0，
即（37x﹣58）（x+2）＝0，
解得：x或x＝﹣2（舍去），
∴y，
∴点Q的坐标为：（，）；
如图③，若AP∥OQ，
∵直线AP的解析式为：yx+4，
∴直线OQ的解析式为：yx，
设点Q的坐标为（x，x），
∵AQ＝OP，
∴（x+8）2+（x）2＝12+（﹣6）2，
整理得：5x2+64x+108＝0，
即：（5x+54）（x+2）＝0，
解得：x或x＝﹣2（舍去），
∴y（），
∴点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（﹣2，1）或（，）或（，）．
【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
10．如图，过点C（0，﹣2）的抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M坐标为（2，﹣3），过点C作CB∥x轴交抛物线于点B，点P在线段BC上，CP＝m．
（1）求B点坐标，并用含m的代数式表示PB的长；
（2）点A，Q分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP为边，点A，C，P，Q为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q坐标；
（3）是否存在m值，使△MBP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由C与B关于抛物线的对称轴x＝2对称，C（0，﹣2），可得B点坐标为（4，﹣2），那么BC＝4，再根据PB＝BC﹣CP可用含m的代数式表示PB的长；
（2）分两种情况进行讨论：①当CP为一边时，CP∥AQ，则点Q为抛物线与x轴的交点坐标；②当CP为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；
（3）先由M、B、P三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB2＝5，MP2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．再分三种情况进行讨论：①由MP＝MB列出方程（m﹣2）2+1＝5，解方程求出m的值；②由MP＝BP列出方程（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解方程求出m的值；③由BP＝MB列出方程（4﹣m）2＝5，解方程求出m的值．
【解答】解：（1）∵C与B关于抛物线的对称轴x＝2对称，C（0，﹣2），
∴B点坐标为（4，﹣2），
∵CP＝m，
∴PB＝BC﹣CP＝4﹣m；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M坐标为（2，﹣3），
∴y＝a（x﹣2）2﹣3，
将C（0，﹣2）代入，得a（0﹣2）2﹣3＝﹣2，
解得a，
∴y（x﹣2）2﹣3，即yx2﹣x﹣2．
∴当y＝0时，（x﹣2）2﹣3＝0，解得x＝2±2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2﹣2，0）或（2+2，0）．
点P在线段BC上，CB∥x轴，
当CP为一边时，CP∥AQ，则点Q坐标为（2﹣2，0）或（2+2，0）；
所以符合条件的点Q坐标坐标为（2﹣2，0）或（2+2，0）；
（3）∵M（2，﹣3），B（4，﹣2），P（m，﹣2），
∴MB2＝（4﹣2）2+（﹣2+3）2＝5，MP2＝（m﹣2）2+（﹣2+3）2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．
当△MBP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果MP＝MB，那么（m﹣2）2+1＝5，解得m1＝0，m2＝4（不合题意舍去），
所以m＝0；
②如果MP＝BP，那么（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解得m，
所以m；
③如果BP＝MB，那么（4﹣m）2＝5，解得m1＝4，m2＝4（不合题意舍去），
所以m＝4；
综上所述，所有符合条件的m值为0或或4．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
11．已知直线L1：yx+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：y＝﹣2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点P．
（1）求P点坐标；
（2）判别△PAC的形状，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）将yx+5和y＝﹣2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；
（2）根据系数的积的比为﹣1，判断出两直线垂直，得到△PAC为直角三角形．
（3）过P作PE⊥x轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3⊥AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐标．
【解答】解：如图：
（1）将yx+5和y＝﹣2x+10组成方程组得，
解得，
可得P（2，6）．
（2）∵L1：yx+5的比例系数为k，L2：y＝﹣2x+10的比例系数为﹣2，
可得（﹣2）＝﹣1，
∴∠APC＝90°，△PAC为直角三角形．
（3）过P作PE⊥x轴于E，
E点坐标为（2，0）．
∵P（2，6），A（﹣10，0），
∴PA6，
∴可见，OQ1＝610，
Q1（610，0），Q2（﹣610，0），
作GQ3⊥AP，设GQ3解析式为y＝﹣2x+b，H坐标为（﹣4，3），
将H（﹣4，3）代入y＝﹣2x+b得，3＝﹣2×（﹣4）+b，
解得b＝﹣5，
∴y＝﹣2x﹣5，
当y＝0时，x，Q3（，0），Q4（14，0）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．
12．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，直线MN过点A，∠BAN＝∠DBC，点P是直线MN上的一个动点（不与点A重合），点E在射线AD上，满足∠PBE＝∠BDC，设PA＝x，
（1）如图①，若点P在射线AN上．求线段DE的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；
（2）如图②．若点P在射线AM上，求的值；
（3）设直线PE交直线AB于点F，是否存在x的值，使△PAF为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图①中，作BF⊥AN于F．只要证明△ABP∽△DBE，可得，即，由此即可解决问题．
（2）只要证明△ABD∽△PBE，可得，推出．
（3）①如图①中，当FA＝FP时，由△ABE∽△ADB，可得BA2＝AE•AD，求出DE即可解决问题．
②如图③当AP＝AF时，只要证明EB＝EF即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，作BF⊥AN于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠AFB＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∠BAF＝∠ADB，
∴∠ABF＝∠ABD＝∠PBE，
∴∠PBF＝∠ABE，
∴△PBF∽△EBA，
∴，∴∠BPF＝∠AEB，∠APB＝∠BED，
∴，∵∠ABF＝∠PBE，
∴△ABF∽△EBP，
∴∠EPB＝∠AFB＝90°＝∠BAE，
∵∠ABP＝∠EBD，∠APB＝∠BED，
∴△ABP∽△DBE，
∴，
∴，
∴DEx，
∵点E在射线AD上，点P不与A重合，
∴0x≤4，
∴0＜x．
（2）如图②中，
由（1）可知∠BPE＝90°，
∵∠BAD＝∠BPE，∠ABD＝∠PBE，
∴△ABD∽△PBE，
∴，
∴．
（3）①如图①中，
当FA＝FP时，∠FAP＝∠FPA，
∵△PBE∽ABD，
∴∠PAB＝∠FEB，∵∠AFP＝∠BFE，
∴∠APF＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠ADB，∵∠BAE＝∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，
∴BA2＝AE•AD，
∴AE，DE＝4，
∵DEx，
∴x，
∴x，
∴PA．
②如图③中，当AP＝AF时，
∵∠F＝∠F，
∠FPB＝∠FAC，
∴△FPB∽△FAC，
∴，
∴，∵∠F＝∠F，
∴△FAP∽△FEB，
∴∠FPA＝∠FBE，
∵∠F＝∠APF，
∴∠F＝∠ABE，
∴EF＝EB，∵AE⊥BF，
∴AF＝AB＝AP＝3，
综上所述，当AP的值为或3时，△PAF是等腰三角形．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．