中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题23 矩形存在性问题巩固练习（提优）（2份，原卷版+解析版）

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1．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．
（1）当α＝ 时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，动点E从点A开始沿边AB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，动点F从点B开始沿边BC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点G从点C开始沿边CD向点D以每秒2个单位长度的速度运动，动点H从点D开始沿边DA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，其余点也随之停止运动，设运动时间t．
（1）证明：四边形EFGH始终是平行四边形；
（2）是否存在某一时刻使得四边形EFGH是矩形？若存在，求t的值；
（3）证明：三条直线AC，EG，FH经过同一点．
4．如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．
（1）求经过A、C两点的直线的表达式；
（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；
（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
6．如图，二次函数y＝﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
7．如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B，抛物线顶点为E，连接AE．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；
（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，直线l1：yx+6与x轴，y轴分别交于B，A两点，过点A做AC⊥AB交x轴于点C，将直线l1沿着x轴正方向平移m个单位得到直线l2交直线AC于点D，交x轴于点E，将△CDE沿直线l2翻折得到点F．
（1）若m＝2，求点E；
（2）若△BCF的面积等于4，求l2的解析式；
（3）在（1）的条件下，将△ABO绕点C旋转60°得到△A1B1O1，点R是直线l2上一点，在直角坐标系中是否存在点S，使得以点A1、B1、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线yx2x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（﹣1，0），B（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为C点，点P为y轴上一动点，作平行四边形BPCD．
（1）求C点的坐标；
（2）是否存在P点，使四边形BPCD为矩形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结PD，PD的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（4）若E为AC中点，求抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ABC，点P在线段OC上，且PO、PC的长（P0＜PC）是x2﹣12x+27＝0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）若∠ACB的平分线交x轴于点D，求直线CD的解析式；
（3）若M是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2mx+n（m＜0、n＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BCAC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣2，1）
①求m，n的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）若四边形AOBD是平行四边形，求m与n的关系；
（3）是否存在n，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出n的值；若不存在，请说明理由．