2025高考数学专项讲义第01讲直线方程及直线间的位置关系(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第01讲直线方程及直线间的位置关系(学生版+解析)，共43页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系
2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用
3.熟练掌握距离计算及其参数求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习
知识讲解
两点间的距离公式
，，
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
两点间的斜率公式
，，
直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
直线的一般式方程
两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
考点一、直线的倾斜角与斜率
1．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 .
2．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为 ．
3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 .
4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024高三·全国·专题练习）直线的倾斜角的大小是（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
3．（2022·上海·模拟预测）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ．
考点二、直线的5种方程
1．（22-23高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 .
2．（22-23高二上·山东日照·阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是 ．
3．（22-23高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ）
A．，2B．，C．，D．，2
4．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高一·全国·单元测试）如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
1．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（ ）
A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋5y－10＝0D．3x＋4y－8＝0
2．（21-22高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为（ ）
A．y＝6x＋B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6D．y＝6x－6
5．（18-19高一下·福建莆田·期中）如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
考点三、两直线平行求参数
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．4B．C．2或D．或4
2．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·河北保定·三模）已知直线，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点四、两直线垂直求参数
1．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
1．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
考点五、直线的交点坐标与距离公式
1．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．B．4C．D．
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
1．（23-24高二下·广西·开学考试）椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高二上·河南·期中）若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
考点六、直线恒过定点问题
1．（2022高三·全国·专题练习）已知直线 则当变化时，直线都通过定点
2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
1．（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知直线，则点到直线的距离的最大值为 .
考点七、 直线综合问题
1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 .
2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线与直线，则直线关于轴对称的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点是直线上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）平面内四个点分布在直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
8．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则
9．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
10．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 .
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3B．C．D．
4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线与直线，则直线关于轴对称的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点是直线上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
6．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）若直线 则（ ）
A．的截距式方程为 B．
C．与之间的距离为1D．与的倾斜角互补
三、填空题
8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为
9．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 .
四、解答题
10．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
(1)求边所在直线的方程；
(2)求的面积．
1．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 .
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
4．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
6．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
7．（2020·全国·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
已知点到直线距离求参数
给值求值型问题
余弦定理解三角形
切线长
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分
求点关于直线的对称点
直线关于直线对称问题
由直线与圆的位置关系求参数
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
已知斜率求参数
等差数列通项公式的基本量计算
2022年全国甲卷（理科），
第10题,5分
已知两点求斜率
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（文科），
第14题,5分
求平面两点间的距离
由圆心 (或半径)求圆的方程
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分
已知点到直线距离求参数
根据抛物线方程求焦点或准线
2021年全国甲卷（文科），
第5题,5分
求点到直线的距离
已知方程求双曲线的渐近线
2021年全国乙卷（文科），
第14题,5分
求点到直线的距离
求双曲线的焦点坐标
不存在
第01讲 直线方程及直线间的位置关系
（7类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系
2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用
3.熟练掌握距离计算及其参数求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习
知识讲解
两点间的距离公式
，，
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
两点间的斜率公式
，，
直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
直线的一般式方程
两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
考点一、直线的倾斜角与斜率
1．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 .
【答案】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
易知直线的斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
2．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为 ．
【答案】5
【分析】根据三点共线，直线斜率相等，即可列式计算.
【详解】根据题意可得：，
即：，，
解得或−2；
又当时，是同一个点，不满足题意，故舍去；
综上所述，实数的值为：.
故答案为：.
3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解.
【详解】根据题意，即，
且斜率，
即，
解得或.
实数的范围是.
故答案为：
4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.
【详解】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
1．（2024高三·全国·专题练习）直线的倾斜角的大小是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到，结合倾斜角的定义，即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率，所以直线的倾斜角为2.
故选:D.
2．（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到结果.
【详解】由直线方程，得直线斜率，
所以.
故答案为：
3．（2022·上海·模拟预测）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ．
【答案】
【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.
【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角大小为．
故答案为：．
考点二、直线的5种方程
1．（22-23高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 .
【答案】
【分析】根据两点式求得直线方程.
【详解】经过点和点的直线方程是：，
整理得.
故答案为：
2．（22-23高二上·山东日照·阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是 ．
【答案】或.
【分析】分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.
【详解】当截距为0时，设直线方程为，
将代入，可得，
所以直线方程为，
当截距不为0时，设直线方程为，
将代入，可得：，
所以直线方程为，
综上：直线方程为或.
故答案为：或.
3．（22-23高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ）
A．，2B．，C．，D．，2
【答案】C
【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.
【详解】直线化成斜截式，
可知直线的斜率，故倾斜角为，直线在y轴上的截距为，
故选：C
4．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.
【详解】由题可得直线的斜率为，
所以直线方程为：，
化简可得：；
故选：B
5．（20-21高一·全国·单元测试）如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，且，所以均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，y轴截距，
所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．
故选：B.
1．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（ ）
A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋5y－10＝0D．3x＋4y－8＝0
【答案】A
【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论.
【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是，
所以所求直线的斜率为，
由点斜式可知直线方程为，
即3x－5y＋10＝0.
故选：A.
2．（21-22高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
3．（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．
【详解】由题意，直线，
令，解得，故；令，解得，所以．
故选：B．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为（ ）
A．y＝6x＋B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6D．y＝6x－6
【答案】C
【详解】
解析：设所求直线l的方程为y＝6x＋b.令x＝0，∴ y＝b，与y轴的交点为（0，b）；令y＝0，∴ x＝－，与x轴的交点为（－，0）.∵ 被两坐标轴所截得的线段长为，∴ （－）2＋b2＝37，解得b＝±6，因此所求直线方程为y＝6x±6.
5．（18-19高一下·福建莆田·期中）如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，且，所以、、均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
考点三、两直线平行求参数
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．4B．C．2或D．或4
【答案】B
【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时直线与直线重合，不符合题意；
当时直线与直线平行.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可.
【详解】由可得，解得或.
当时，：，：，显然，重合，舍去，
故时，.
因此“”是“”的充要条件.
故选：C
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若直线和直线平行，
则，解得，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023·河北保定·三模）已知直线，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】若直线与平行，
则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
考点四、两直线垂直求参数
1．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线的斜率，再由直线与垂直，求出直线的斜率，然后由倾斜角与斜率的关系可求得结果.
【详解】由，得，则，
因为直线与垂直，所以，
所以，得，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：C
2．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
1．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线垂直，
则，解得，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，
故选：B
考点五、直线的交点坐标与距离公式
1．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由双曲线的方程知两顶点，，
渐近线方程为，
由对称性，不妨求到直线的距离，．
故选：C．
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为：，：，
所以它们之间的距离为.
故选：B.
1．（23-24高二下·广西·开学考试）椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求椭圆的上顶点，再求双曲线的渐近线，然后代入点到直线的距离公式求解.
【详解】
椭圆的上顶点为0,3，
双曲线的渐近线方程为，
则椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
故选：B
2．（23-24高二上·河南·期中）若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】依题意，由两直线平行可知，解得，
所以两直线分别为，
可得两直线之间的距离为，
故选：C．
考点六、直线恒过定点问题
1．（2022高三·全国·专题练习）已知直线 则当变化时，直线都通过定点
【答案】
【分析】整理得，，利用，即可计算求得定点.
【详解】整理得，
令，从而该直线必过定点.
故答案为：
2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
1．（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
【详解】解：直线方程转化为：，
令，解得，
所以直线过定点，
故选：A．
2．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知直线，则点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】求出直线l所过的定点，确定何时点到直线的距离最大，结合两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】直线，即，
由,解得，，所以直线恒过定点，
当直线l与直线AP垂直时，点到直线的距离的最大，

最大值为，
所以点到直线的距离的最大值为，
故答案为：
考点七、 直线综合问题
1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 .
【答案】
【分析】借助线段和的几何意义求解即可.
【详解】设关于直线对称对称点坐标为，
则，解得，即，
，
所以的最小值为.
故答案为：.
2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线与直线，则直线关于轴对称的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线关于轴对称的直线方程，由此得解.
【详解】直线关于轴对称的直线方程为：，
又与关于轴对称，所以.
所以直线与关于轴对称的充要条件是.
故选：D.
3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程.
【详解】直线的方程可化为，
联立，解得，
所以直线经过定点，
当时，点到直线的距离最大，最大距离为，
因为直线的斜率，，
所以直线的斜率，
所以，
所以，
所以，故，
所以直线的方程为.
故选：C.
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出，结合图象，即可确定答案.
【详解】由可得，
即直线过定点，设为P，
结合，则，

直线与线段AB（含端点）有公共点，
则或，即或，
故m的范围为，
故选：D
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点是直线上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】求出点关于直线的对称点，再由几何关系得到三点共线时距离最大，
最后利用两点间距离求解即可；
【详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
连接，可得，所以，
当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，
故选：B.
2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）平面内四个点分布在直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知将的坐标代入直线的方程，得代数式之和等于0，整理可得，代入直线方程即可得结果.
【详解】点分布在直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，
则将的坐标代入直线的方程，得代数式之和等于0，
即，
则，即，
所以直线，即，过定点.
故选：B.
3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合，
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点， ，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故选：B.
4．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即，
当时，而，则；当，得，
所以l的倾斜角的取值范围为.
故选：D
一、单选题
1．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，
即且，，所以.
故选：D.
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得直线的方程，代入点的坐标，可求的值.
【详解】因为直线在轴上的截距是1，所以过点，
又直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即直线方程为，
又直线过点，所以，解得．
故选：D.
3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．
【详解】直线的斜率，函数定义域为0,+∞，
点是曲线上任意一点，设，由，
令，解得或（舍去），
，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
所以曲线上点到直线的最小距离，
为点到直线的距离.
故选：C.
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若，则有，所以或，
当时，，故，重合；
当时，，满足条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】代入，可得两直线为同一直线，可得结果.
【详解】当时，
直线即直线，
直线即直线，
所以两直线重合，“a=2”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.
【详解】联立，解得，即点在圆的内部，
即有，解得.
故选：D.
7．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.
【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C
二、填空题
8．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则
【答案】
【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小．
【详解】直线即，斜率，
因为直线、互相垂直，所以直线的斜率，
直线的倾斜角为，则，结合，可知．
故答案为：．
9．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
【答案】
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：
10．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 .
【答案】
【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.
【详解】由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为，
直线的斜率存在为，根据题意得，，解得.
故答案为:.
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若，则，解得或，
若，则直线：、直线：，可知；
若，则直线：、直线：，可知；
综上所述：或.
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由，计算得或，即可判断.
【详解】因为，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
，光线所经过的路程即的周长，
而的周长为，
所以光线所经过的路程是．
故选：B
4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线与直线，则直线关于轴对称的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线关于轴对称的直线方程，由此得解.
【详解】直线关于轴对称的直线方程为：，
又与关于轴对称，所以.
所以直线与关于轴对称的充要条件是.
故选：D.
5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点是直线上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】求出点关于直线的对称点，再由几何关系得到三点共线时距离最大，
最后利用两点间距离求解即可；
【详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
连接，可得，所以，
当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，
故选：B.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解．
【详解】设以点为切点的切线的倾斜角为，
因为函数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
二、多选题
7．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）若直线 则（ ）
A．的截距式方程为 B．
C．与之间的距离为1D．与的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线的截距式方程，直线平行的斜率结论，平行线之间的距离公式，斜率与倾斜角的关系逐个判断即可.
【详解】由 得 ，故的截距式方程为 故A 错误；
因为 与 的斜率都等于所以故B正确;
直线 化为一般方程是，则与之间的距离为故C正确；
因为的斜率，的斜率与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，故 D 正确.
故选： BCD.
三、填空题
8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为
【答案】
【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可.
【详解】如图，
设关于直线的对称点为，则，
解得，则，于是，
结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时，
而，直线为，
由，得点，因此取得最小值时点坐标为.
故答案为：；
9．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 .
【答案】2
【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可．
【详解】设，则点到直线的距离为
,
当，即当时，
抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为.
故答案为：2．
四、解答题
10．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
(1)求边所在直线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的方程，联立的方程解出，然后设，为的中点，所以，代入各自方程求出，然后计算所在直线的方程即可；
（2）先求出点到直线的距离，然后利用两点间的距离公式求出，计算的面积即可.
【详解】（1）因为，所以设直线的方程为：，
将代入得，所以直线的方程为：，
联立，所在直线方程：，解得，
设，因为为的中点，所以，
因为在直线上，在上，
所以，，
解得，所以，，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）点到直线的距离为：，
又，
所以.
1．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 .
【答案】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
易知直线的斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
4．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
6．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．（2020·全国·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
已知点到直线距离求参数
给值求值型问题
余弦定理解三角形
切线长
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分
求点关于直线的对称点
直线关于直线对称问题
由直线与圆的位置关系求参数
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
已知斜率求参数
等差数列通项公式的基本量计算
2022年全国甲卷（理科），
第10题,5分
已知两点求斜率
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（文科），
第14题,5分
求平面两点间的距离
由圆心 (或半径)求圆的方程
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分
已知点到直线距离求参数
根据抛物线方程求焦点或准线
2021年全国甲卷（文科），
第5题,5分
求点到直线的距离
已知方程求双曲线的渐近线
2021年全国乙卷（文科），
第14题,5分
求点到直线的距离
求双曲线的焦点坐标
不存在