广东省汕尾市2024-2025学年高二上学期教学质量监测数学试题（解析版）

这是一份广东省汕尾市2024-2025学年高二上学期教学质量监测数学试题（解析版），共19页。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再由斜率定义即可求得直线的倾斜角.
【详解】由可得，则直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，因，故得.
故选：D.
2. 已知空间向量，，若，则x的值为（ ）
A. 4B. 6C. D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性坐标运算结合向量垂直的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得.
故选：B
3. 圆和圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 相离C. 相交D. 外切
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆和圆位置关系的判断方法即得.
【详解】由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为，
则，由，可得两圆相交.
故选：C.
4. 双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合题设条件可得，再由离心率定义和的关系式即可求得.
【详解】因双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程易得，
于是C的离心率为：.
故选：B.
5. 如图，在平行六面体中，M为AC和BD的交点，若，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合空间向量的运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件A与事件B互斥
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断.
【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，
则该试验的样本空间为：，
则，事件，，
事件，.
对于A，，故A错误；
对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误；
对于C，因，，则，
而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确；
对于D，因，，故D错误.
故选：C.
7. 两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的模长即可求解.
【详解】由于,,
由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故
故,
故
，
因此,
故选：A
8. 已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果.
【详解】当时，
①当，即时，
，满足题意
②当，即时，令,
当时，单调递减；当时，单调递增
又，
若最大值不超过，则，即
③当，即时，
，解得：（舍）
综上所述：.
故选：C.
【点睛】关键点点睛；关键是能够得到绝对值内的函数的值域，进而通过分类讨论的方式去除绝对值符号，根据单调性求得最值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，，，用表示，中的较大者，记为．例如，则．下列选项正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 在上不单调
【答案】BD
【解析】
【分析】利用作图思想，可求交点位置，利用数形结合，即可作出判断.
【详解】由，故A错误；
作出函数的图象：
由于
所以由图可知：当时，，故B正确；
当时，，当时，，故C错误；
由图可知在上不单调，故D正确；
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是20
B. 从小到大顺序排列数据3，5，x，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6.8
C. 数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则有
D. ，其中P为平面ABC上的一点，O是平面ABC外一点，则有
【答案】CD
【解析】
【分析】按照中位数的计算方法可判断A；由极差与平均数相等求得，再求方差可判断B；
【详解】对于A，将这组数据按从小到大的顺序排列：13，15，16，18，20，24，28，31，
最中间的两个是18，20，所以中位数是.故A不正确；
对于B，由题意可知：极差为，平均数为，
则，解得，所以平均数为，
方差为；
故B不正确；
对于C，因为，所以，
则，故C正确；
对于D，，
因为共面，故，故，故D正确.
故选：CD.
11. 已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 平面上存在定点P，使得为定值
C. 的最大值为64D. 点Q到直线距离的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得，所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为，设点，则，可得其最大值判断A；由圆的性质可判断B，D；利用基本不等式判断C.
【详解】根据题意，双曲线方程，则，
因为恒有，，则有，，
解得，所以：，：，
又，所以，
所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为，
设点，
则
当，上式取最大值为，所以的最大值为，A正确；
平面上存在定点P（原点O），使得为定值4，B正确；
又因为，所以，
当且仅当点Q为圆与轴的交点时成立，C错误；
点Q到直线距离的最大值为圆的半径4，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：根据题意发现，从而点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为是解题关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与直线平行，则与之间的距离为______．
【答案】6
【解析】
【分析】由可得，利用两平行直线的距离公式即可求得.
【详解】由可得，
因，则，解得，
则与之间的距离为.
故答案为：6.
13. 在一家人工智能企业中，有一项重要的软件开发任务．甲、乙两位程序员独立地负责不同模块的开发工作．甲程序员技术扎实，在以往的项目中表现出色，他成功完成自己负责模块的概率为，乙程序员富有创新精神，善于解决复杂的技术问题，他成功完成自己负责模块的概率为，这个软件开发任务对于公司在人工智能领域的发展至关重要，只有当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进．那么，这个软件开发任务能够成功完成的概率为______．
【答案】##0.7
【解析】
【分析】根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件发生的概率公式，即可求解.
【详解】记事件：甲程序员成功完成自己负责的模块，事件：乙程序员成功完成自己负责的模块，
由题知，又当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进，
所以这个软件开发任务能够成功完成的概率为，
故答案为：.
14. 正方体的棱长为4，P是平面上一动点，E是棱CD上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值.
【详解】由已知平面平面，所以，
因为平面平面，所以，
所以，又，所以,
又的面积是面积的4倍，可得,
在平面上以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
由得，整理得，
即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以取最大值为，的最大值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上．
（1）分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求圆C的标准方程．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案.
（2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程.
【小问1详解】
由题意得直线AB的斜率为，
直线AB的方程为，即，
又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为，
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即．
【小问2详解】
由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上，
联立，解得，所以圆心C坐标为，
圆的半径为，
所以，圆C的标准方程为．
16. 某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标（往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第40百分位数；
（2）为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自的概率．
【答案】（1），77.5．
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1列方程求出，再根据百分位数的定义列方程求解即得；
（2）根据分层抽样，先求抽取的5人中分别来自和的人数，设出样本点，写出试验的样本空间和事件所含的样本点，利用古典概率模型公式求解即得.
【小问1详解】
由题意得：，解得，
因为，，
设第40百分位数为x，则，
解得，即第40百分位数为77.5．
【小问2详解】
由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有（人），记为，
在的有人，记为a,b,c.
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
，则，
设事件M为“至少一人来自”，
则，则，
因此，
所以至少一人来自的概率为．
17. 函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求a与的值；
（2）若，求周长最大值．
【答案】（1），．
（2）6
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化成，结合题设条件即可确定a与的值；
（2）根据（1）已得，由求得，方法一：利用正弦定理和恒等变换知识，将表示成，由三角函数的性质即可求得周长的最大值；方法二：利用余弦定理和基本不等式，推理求出周长的最大值.
【小问1详解】
．
由题意知，，因，则可得，
故，
由在的图象上，可得，故．
【小问2详解】
（解法一）由（1）知，则，
即，因为，所以，
所以，解得，
由正弦定理，，
则得，，因，
则
．
因为，所以，
所以，即有，
从而，所以周长的最大值为6．
（解法二）由（1）知，所以，
即，因为，所以，
所以，即，
在中，由余弦定理，，
由（1）知，即，
所以，
故，即，
当且仅当时，等号成立，
故，所以周长的最大值为6．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点．
（1）若．求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
（3）存在，0或,
【解析】
【分析】（1）根据平面，由线面垂直的性质得线线垂直，即可根据平面得，结合线面垂直的判定即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解；
（3）求解平面法向量，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
证明：因为底面，底面，所以，
因为底面是正方形，所以，
平面
所以平面，
又因为平面，则有，
在中，，是的中点，故有，
因为，平面，所以平面，
平面，则，
又因为，EF，平面，且，
所以平面．
【小问2详解】
以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，P0,0,1，
则，，，．
设平面的法向量m=x1,y1,z1，则即
令，得，所以平面的法向量，
设平面的法向量n=x2,y2,z2，则即
令，得，所以平面的法向量，
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【小问3详解】
由（2）知，，，P0,0,1，
，，，，
假设存在这样的点F则有，
，
设平面的法向量，则即
令，得，，所以平面法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，解得或，
因为，所以的值为0或，
故有的值为0或．
19. 已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值．
【答案】（1）
（2），1
【解析】
【分析】（1）由的面积为可求出，再根据题意可得，由此可得，再由结合两点间的距离公式化简可求出椭圆的方程.
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为定值求出t的值，再利用三角形的面积公式及基本不等式求出面积的最大值.
【小问1详解】
因为的面积为，，
所以，有，
又因为M到定直线的距离为，
由题意可知，，
又因为，
所以，则定直线为，
因为，所以，
化简，整理得，
所以动点P的轨迹方程为C：．
【小问2详解】
设，，联立得，
则，即．
则有，，
．
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又因为点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．