四川省宜宾市一曼中学等校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份四川省宜宾市一曼中学等校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版），共16页。

考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 据统计，今年“五一”小长假期间，近人次游览了自贡中华彩灯大世界，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】用科学记数法表示为，
故选：B.
2. 一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】由众数得，进一步由中位数的概念即可得解.
【详解】这组数据的众数4，
，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
3. 已知有理数a，b满足，则的值为（ ）
A. B. C. 或0D. 或0
【答案】C
【解析】
【分析】分4种情况讨论即可.
【详解】因为，
当，时，原式=；
当，时，原式；
当，时，原式；
当，时，原式．
故选：C．
4. 如图，是半圆O的直径，点D是弧的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，根据四点共圆性质得，再根据等腰三角形性质即可求解.
【详解】是半圆O的直径，
，
，
，
四边形是半的内接四边形，
，
点D是弧的中点，
，
，
，
故选：C．
5. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转到位置，则点坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的坐标得出，，根据旋转得出，，从而得到的坐标为.
【详解】∵，
∴，，
将绕点逆时针旋转到位置，
则有：，，
∴.
故选：A.
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据判别式的符号可得正确的选项.
【详解】，故方程有两个不等的实数根，
故选：A.
7. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图1所示．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】找到三组位置关系为对面的数字，分析使题图2中几何体能看得到的面上数字之和最小各正方体所能看到的数字，求出该几何体能看得到的面上数字之和最小的值.
【详解】由正方体表面展开图可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”所在的面是对面，
因此要使题图2中几何体能看得到的面上数字之和最小，
最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1，2，3，5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1，2，3，4，5，
左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1，2，3，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为．
故选：B.
8. 如图，在中，，，，点D在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接并延长，分别交，于E，F两点．若，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将转换为，故只需分别求出即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
过点F作，
则：为等腰直角三角形，
设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助指数幂运算逐项计算即可得.
【详解】对A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：ABD.
10. 设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案.
【详解】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以，
所以，
若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题；
对于B选项，取，，则，但，所以B中命题为假命题；
对于C选项，取，，则，但，所以C中命题为假命题；
对于D选项，由，则，
即，可得，所以D中命题为真命题.
故选AD.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11. 如图，抛物线交轴于点Aa,0和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论正确的是（ ）

A. 若，则
B. 当时，且的最小值为
C. 抛物线上有两点Px1,y1和Qx2,y2，若，且，则
D. 当时，对于抛物线上两点，若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】二次函数的开口向上，对称轴，.
A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，由图可知，当时，
当时，取得最小值为，B选项正确.
C选项，抛物线上有两点Px1,y1和Qx2,y2，若，且，
即，而点x1,y1与关于直线对称，
所以当时，有，C选项错误.
D选项，当时，
，
对于抛物线上两点，若，
则，则，结合图象可知，所以D选项正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，直接因式分解即可.
【详解】因为与的最大公因数为，故可以将提出，
即，
故答案为：.
13. 使分式与的值相等的x的值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】直接解分式方程即可求解.
【详解】根据题意得：，
去分母得：，解得，
检验：当时，，
∴原方程解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，将绕点A逆时针旋转到，此时点B恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过全等三角形（一线三垂直模型）求得点的坐标，进一步根据点在反比例函数图象上求得的值即可.
【详解】过点A作轴于点C，过点B作于点D，
∵点A的坐标为，连接，将绕点A逆时针旋转到，
∴，，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
四、解答题：本题共5分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：．
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值、指数等运算求得正确答案.
（2）根据代数式的运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
16. 配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(a、b是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(m、n正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）6；（3）13，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据完美数定义即可求解；
（2）根据配方法的相关知识即可求解；
（3）根据配方法以及完美数的定义即可求解.
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
，
∴，，
∴；
故答案为：6；
（3）
∵S是“完美数”，，也是整数，
∴k可以取13．
17. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）每件的售价应定为，可达到10000元
【解析】
【分析】（1）设其函数关系式为y=kx+bk≠0，代入坐标可求函数关系式；
（2）根据题意得：，求解结合条件可得结论.
【小问1详解】
由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，
设其函数关系式为y=kx+bk≠0，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为且﹔
【小问2详解】
根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
18. 如图，是的直径，与相交于点E．过点D的圆O的切线，交的延长线于点F，．
（1）求的度数；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由圆以及平行线的性质即可求解；
（2）首先证明，再结合相似三角形的性质即可求解.
【小问1详解】
如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
【小问2详解】
如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为2．
19. 半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种轻体侧翻自卸半挂车.图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为2.5米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算：


（1）该半挂车的车厢容积为______立方米；
（2）该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离.（参考数据：，，，结果保留一位小数.）
【答案】（1）65 （2）4.2米
【解析】
分析】（1）由长方体体积公式即可求解.
（2）根据解直角三角形知识、锐角三角函数知识求得，相加即可得解.
【小问1详解】
根据题意，得，
故答案为：65．
【小问2详解】
过点D作于点F，交于点M，交于点G，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，