湖北省重点高中智学联盟2024−2025学年高一上学期12月联考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省重点高中智学联盟2024−2025学年高一上学期12月联考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、，则下列结论中正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
5．函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（ ）
A．B．0C．1D．
6．已知，则( )
A．B．
C．D．
7．已知函数，若，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则函数在内所有零点之和为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列命题为真命题的有（ ）
A．幂函数的图象过点，则
B．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则
C．函数的零点是，
D．函数的零点所在区间可以是
11．已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“-衰减函数”.下列说法正确的有（ ）
A．函数是上的“衰减函数”
B．若函数是上的“-衰减函数”，则的最大值为1
C．已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为
D．已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“1-衰减函数”，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，，则 ．（结果用和表示）
13．“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
14．已知实数，满足，，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立.
(1)若和均为真命题，求实数的取值范围；
(2)若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围.
16．某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人．
(1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本）
(2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？
17．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.已知______，若函数为奇函数，且函数的零点在区间内，求的取值范围.
18．已知函数的定义域为，且，，都有成立.
(1)求，的值，并判断的奇偶性.
(2)已知函数，当时，.
（i）判断在上的单调性；
（ii）若均有，求满足条件的最小的正整数.
19．当且时，对一切，恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究.
(1)若正数，满足，当时，求的值；
(2)除整数对，请再举出一个整数对满足；
(3)若，求使得等式成立的正整数对.
参考答案
1．【答案】C
【详解】解： 或，
，
，
故选：C
2．【答案】B
【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错；
对于B选项，因为，则，，，
则，即，B对；
对于C选项，因为，则，
则，即，C错；
对于D选项，因为，当时，，D错.
故选：B.
3．【答案】A
【详解】因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故选：A.
4．【答案】A
【详解】∵，∴，∴，
，当且仅当“”时取等号，
∴的最小值为9.
故选：A.
5．【答案】A
【详解】因为指数函数（且）的反函数为（且），
因为的图象过点，故函数的图象过，
所以，故，所以，所以.
故选：A
6．【答案】D
【详解】，故．
故选D.
7．【答案】D
【详解】作出函数的图象如图，
由图可知，当,仅有一解，当时，仅有一解，
令，则，即，
，
即，则，
所以实数t的取值范围为，
故选：D
8．【答案】D
【解析】函数在零点之和就是与交点横坐标的和，作出函数的图象分析得解.
【详解】函数在零点之和就是在内所有的根的和，
就是与交点横坐标的和，
函数的图象如图所示，
由图可知，
所以
故选：D
9．【答案】BD
【分析】根据指数、对数函数的性质可判断AB，利用反比例函数的性质可判断C，利用换元法可判断D.
【详解】因为，，故A错误；
因为，所以，即最小值为2，故B正确；
因为，，
所以，，即的最大值为2，故C错误；
令，则，
所以，
当，即时，的最小值为2，故D正确；
故选：BD.
10．【答案】BD
【详解】对于A：令，则，所以，即，错误；
对于B：因为是定义在上的奇函数，所以f-x=-fx且，
又fx-1是偶函数，所以，所以，
则，即，
即，所以是以为周期的周期函数，
所以，正确；
对于C：令得和，
所以函数的零点是，错误；
对于D：函数是定义域为0,+∞上的连续函数，且在时单调递增，
又，，所以的零点所在区间可以是2,3，正确；
故选：BD
11．【答案】AC
【详解】选项A，定义域是，，时，，
，即，满足，A正确；
选项B，，是上的“衰减函数”，
在上是减函数，在上是增函数，
，则，，即，，
时，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B错误；
选项C，是偶函数，当时，，
作出的大致图象，如图，
把它向左平移1个单位得的图象，
是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，
原点必须平移到点左侧，因此，解得，的最大值是，C正确；
选项D，函数为奇函数，且当时，，
作出的大致图象，如图，
把它向左平移1个单位得的图象，
是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，
原点平移到点，该点不能在左侧，
图中点所在上的表达式为，在上表达式为，
由得，点横坐标不大于，
因此有，解得，即的最小值是，D错误．
故选：AC．
12．【答案】
【详解】.
故答案为：
13．【答案】
【详解】由，解得；
由，即，解得x>2或；
又“”是“”的充分不必要条件，
故可得，解得.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】因为，得，而化简得，
即，
即，构造函数，
由于在都为增函数，
所以在为单调递增函数，
又知，所以，
解得，，所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若为真命题，函数在区间上单调递增，
因为在区间上没有零点，
所以或者，得或，
若为真命题，令，其开口向上，对称轴为，
所以，
因为，使得成立，所以，
所以，
若和均为真命题，则，解得或，
即实数的取值范围为；
（2）若p真，q假，则，解得；
若p假，q真，则，解得；
综上，实数a的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)游客人数为万时利润最大，最大利润为万元
【详解】（1）该景区的门票收入为万元，
则利润，即，
故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式；
（2）当时，，
当时，二次函数开口向下，对称轴为，故，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
，
综上，游客人数为万时利润最大，最大利润为万元．
17．【答案】条件选择见解析，答案见解析.
【详解】选①∵是奇函数，∴，
得.
∴，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0.
∵函数的零点在区间内，∴在上有解，
∴，即；
选②
∵是奇函数，∴，
得.
∴，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0.
∵函数的零点在区间内，∴在上有解，
∴，即
选③
当时，，∴，
∵函数是定义在上的奇函数，∴，
∴，得.
∴，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0.
∵函数的零点在区间内∴在上有解，
∴，即.
18．【答案】(1)，，是奇函数；
(2)（i）单调递减；（ii）
【详解】（1）令，得，解得，
令，得，故.
令，得，即，
又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.
（2）（i）由，可得，
即.
，且，有，
因为，所以，从而，得，
因此在上单调递减.
（ii）因为，，所以是偶函数.
，而在上单调递减，
则有或，由题可知，只需考虑成立，
从而有.
因为，所以，则的最大值在处取到，
故只需.
综上，满足条件的最小的正整数.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，则，
所以，即，所以．
（2）当时，，所以整数对为.
（3）因为，
所以，且．
当时，，显然无解．
当时，，可得，无正整数解，
同理，当和时，也无正整数解．
当，时，，
因为，所以由复合函数单调性可得，
又因为，所以当且仅当时，原等式成立.