2024-2025学年河南省开封市高二上学期12月数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省开封市高二上学期12月数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．已知，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（ ）
A．B．6C．D．3
8．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限D．为方程的一个根
10．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
11．已知抛物线，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为16
D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量的夹角为，若，，则的值为 ．
13．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 ．
14．如图，已知是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式和；
(2)若，求数列的前项和．
16．如图，已知在三棱锥中，平面为线段上一点，为的中点，．
(1)试着确定点的位置；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知点是抛物线上的一点，点是上异于点的不同的两点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值．
18．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上．
(1)求和的通项公式；
(2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和．
19．已知椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，．
(1)求的标准方程；
(2)若为坐标原点，的面积为，求直线的方程；
(3)记直线与直线的交点为，求的最小值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由已知，或，
所以.
故选：C．
2．【正确答案】D
【详解】由
所以.
故选：D
3．【正确答案】D
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，得到，
又，
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，故两圆相交，
所以公切线条数为2条.
故选：B
5．【正确答案】A
【详解】若是左焦点，分别是的中点，故，
而，则.
故选：A
6．【正确答案】B
【详解】若是关于的对称点，由题意为直线与直线的交点，
的中点在直线上，
所以，即，
由，故，即，所以，
综上，，即，故直线，则，
联立，可得.
故选：B
7．【正确答案】A
【详解】由题设，即，
不妨令，则，
又，
即，
综上，，即.
故选：A
8．【正确答案】B
【详解】∵，∴当时，，
整理得，即，
∵的各项均为正数，∴，
由得，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，，
∴.
令，则，
当时，，当时，，
∴．
故选：B．
9．【正确答案】ACD
【详解】，对应点为在第二象限，C对；
又，实部为，A对，
，B错；
，故为方程的一个根，D对.
故选：ACD
10．【正确答案】BCD
【详解】因为数列是递增的等比数列，又，解得，
所以公比，，，
对于选项A，因为不为常数，所以选项A错误，
对于选项B，因为，
所以为常数，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确，
对于选项C，因为，
所以选项C正确，
对于选项D，因为，
所以，故选项D正确，
故选：BCD.
11．【正确答案】ACD
【详解】由题设，显然直线的斜率不为0，设，
联立抛物线得，显然，
所以，，A对；
则，B错；
由，
又，则时，C对；
由上，即，点是的外心，即为中点，
又，
所以，要使直线的斜率最大，即，（时的斜率为负），
则，当且仅当时取等号，D对.
故选：ACD.
12．【正确答案】1
【详解】由，又，的夹角为，所以，
则，可得（负值舍）.
故1
13．【正确答案】
【详解】，则有，
即点到直线的距离为
故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】令，为的中点，连接，
又点关于坐标原点对称的点为，易知，故，

由题意，有，即，
又，作差可得，则，
所以双曲线离心率为.
故
15．【正确答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）令数列的公差为，则，即，可得，
所以，.
（2）由题设,
所以，
所以.
16．【正确答案】(1)点是线段靠近点的六等分点；
(2)
【详解】（1）平面，平面，
，又，
所以以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，则，
由，可得，则，
设，则，
，，
即，解得，
，即点是线段靠近点的六等分点.
（2）由（1），，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
，
设直线与平面所成角为，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【详解】（1）由题设，故；
（2）令，，，且，
联立与，则，
所以，即，故，
所以，同理可得，
故为定值，得证.
18．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
所以当时，，
所以，
所以，所以，
又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
因为点在函数的图象上，
所以，即，又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以；
（2）因为是所有的正偶数，又，所以，
所以
.
19．【正确答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）如图所示：
，
所以椭圆.
（2）设直线为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由.
，解得.
，.
所以.
点到直线的距离.
所以，
解得或，满足，所以或.
所以直线为或.
（3）由（2）知：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，.
如图所示：
设，因为在同一条直线上，
所以，
因为在同一条直线上，
所以，
所以，解得.
所以点在直线上，又，
所以.