2024-2025学年江西省南昌市高三上学期第二次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江西省南昌市高三上学期第二次月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件．
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ）
①若，α//β，则与所成的角等于与所成的角；
②若，，，则与是异面直线；
③若，，α//β，则；
④若，，，则．
A．B．C．D．
6．已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ）
A．B．2π3C．D．
7．在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
8．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则数列为等差数列
B．若，则数列为等比数列
C．若数列是等差数列，则，，成等差数列
D．若数列是等比数列，则，，成等比数列
10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
11．已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4为函数的极小值点，则
C．若在内有最小值，则b的取值范围是
D．若有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列满足，，则 .
13．已知复数满足，则复数的辐角的主值是 ．
14．已知函数，若恒成立，则最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和为.
16．在中，角的对边分别为.
(1)求；
(2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.
17．椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
18．已知函数 （）.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围.
19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前n项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由可得，所以，
由可得或，且，
所以，
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】因为，则，
因此.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】由，得，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】由得，
由不能得到，如；
反之，一定有；
“”是“”的必要而不充分条件.
故选： B.
5．【正确答案】B
【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意，既不平行也不相交，故，异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面，为平面，取为，为，显然异面，所以③错误；
若为平面，为平面，则为，取为，则，所以④错误.
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】
，因为函数的一条对称轴为，
所以，即，
又因为，所以，所以，
当时，，
因为函数在区间上值域为，
所以，解得，
所以实数的最大值为.
故选：D
7．【正确答案】B
【详解】由题意可知，，
，
，
，，
，.
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
9．【正确答案】AC
【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断
【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确；
对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误；
对于C，数列是等差数列，数列的前项和为，
则，
，
所以，所以，，成等差数列，所以C正确；
对于D，当等比数列的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误，
故选：AC
10．【正确答案】ACD
【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.
【详解】由题意可得，，，，
，，，设，
，，
直三棱柱中，，
可得为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
对于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是上的中点，则，
所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，设，
则，

当时，即时，取最大值，
即直线与直线所成角最小，此时，
，故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】AD
【详解】对于A，，
，，则或，而，则，
令，得或；令，得；
在单调递增，单调递减，单调递增，
的极大值点为，，A对.
对于B，若4为极小值点，则，则，B错.
对于C在内有最小值，则在处取得最小值，
，，
即，
，，故C错误.
对于D有三个互不相等的实数解，，
则，故，故D正确；
故选：AD
12．【正确答案】/
【详解】因为，，
所以，
所以，数列的周期为3，所以.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由，
可得：
即，
，
，
，
复数的辐角的主值是.
故
14．【正确答案】
【详解】因为函数，
若，当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以，所以；
设，，
当时，，是增函数
当时，，是减函数
则
故 .
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由，
得，
两式相减得，即，
因为，，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，以为公差的等比数列，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
则，
两式相减得，
，
，
，
所以.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得；
（2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解.
【详解】（1），，
，
，
，，，
又，.
（2）因为BD为的平分线，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去负值），，
所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.
又因为BD为的平分线，所以，
又，，
所以，，
所以的周长为.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：因为椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为，
两条对角线长分别为、，则，所以，，
所以，椭圆的方程可表示为，、
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，则，，
故椭圆的标准方程为.
（2）解：当直线与轴重合时，则、为椭圆长轴的顶点，不妨设、，
则，，此时；
易知点，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，，
.
综上所述，.
18．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）的定义域为(0,+∞)，
∵在(0,+∞)上单调递增，
∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
∴；
（2）由题意，
∵有两个极值点，
∴为方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，，
∵，∴，
又，解得，
∴
，
设（），
则，
∴在上为减函数，
又，，
∴，
即的取值范围为.
19．【正确答案】(1)12
(2)
(3)k的最大值是1999，此时公差为
【详解】（1）由题意，得，，，
所以，，
因为是等比数列，所以公比为，由此得，，，
所以，，，
所以，，.
（2）设的二阶和数列的前n项和为，
由题意，得，，
所以.
（3）因为，
所以，解得.
设数列的公差为d，则，
得，
又因为，
所以，得，
所以k的最大值是1999，此时公差为.