山西省忻州市代县多校2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷(含解析)

这是一份山西省忻州市代县多校2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，如图，已知；，线段，求作等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
2．2009年9月联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会，中国申报的中国剪纸项目入选“人类非物质文化遗产”．在下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
4．如下图，点E，F是线段上的两点，如果，且，，则的长等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AD平分，于点，，，，则AB的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（ ）
A．五边形的内角和是B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是D．五边形的外角和是
8．（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线．
（4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
9．如图，点在的边上，，，若，，则与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是、，另一个锐角都是，把这两个三角形如图方式摆放，那么 度．
12．如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是
13．如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高 （结果用含字母的代数式表示）．
14．如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有 ．（填序号）
15．小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．如图，中，，，，，求．
17．如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：．
(2)除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由．
18．作一个角等于已知角的方法：
已知：
求作：，使，

作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．
请你根据提供的材料完成下列问题．
(1)请你证明．
(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．
19．如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求证：平分．
20．如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点O到之间的距离．
21．“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究：
(1)项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______；
A． B． C． D．
(2)项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：．
22．综合与实践：
已知：等边．
【观察猜想】如图①：为线段AB上一点，，交于点．可知为______三角形．
【深入探究】：为线段AB上一点，为线段CB延长线上一点，且．
(1)特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为AB的中点时，求线段的长；
(2)特例启发：如图③当为AB上任意一点，其余条件不变，猜想线段AD与的数量关系？并说明理由；
(3)拓展延伸：在等边三角形中，点在直线AB上，点在直线上，且．若的边长为，，则CF的长为______．
23．综合与探究
如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为．
(1)______cm（用含t的代数式表示）；
(2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由．
项目主题
自制数学工具，测量生活中的“线”与“角”
项目任务
项目一：测量锥形容器内部底面内径
项目二：测量斜坡的倾斜角度
所需材料
刻度尺、两根小棒、螺丝钉等
正方形板、指针、重锤、打印机等
测量方案示意图


实施步骤
1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定；
2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端；
3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离．
1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”；
2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定；
3．读出指针所对的的度数．
测量数据
项目结论
锥形容器内部底面内径
斜坡的倾斜角度为
1．A
解：设三角形的另一条边的长度为，
由题意，得，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
2．B
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选B．
3．B
解：由图可得：∠2-∠1=45°，
故选B．
4．A
解：∵△ABF≌△DCE，AB=3，
∴CD=AB=3，
故选：A．
5．C
解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选C．
6．C
解：作于，
∵，，
，
∵，
，
平分，，，
，
∴
．
故选： C．
7．B
解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，
小强转过的角度之和为．
故选：B．
8．D
解：（1）从作图可知：，，
根据“”可得：，
所以；
（2）从操作可得：，，，根据“”得；
（3）因为，，，根据“”得，
所以是的平分线；
（4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得；
综上分析可知：判定方法不一样的是（4）．
故选：D．
9．B
解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：B．
10．B
解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，
可知，BE=BD，∠BCD=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAE +∠BAD=180°，
∴D、A、E在一条直线上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，即，
，，
故选：B
11．108
解：根据题意，可知，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：108．
12．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
解：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
13．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为．
14．①②③⑤
解：如图，
∵，，，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
无法证明，故④不正确；
∵，
∴四边形的面积
，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
15．80°
解：
作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．
∴PD⊥AC，PG⊥BC
∴∠PEC=∠PFC=90°
PM=DM，PN=NG
PMN周长最小
∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°
∴∠C+∠EPF=180°
∵∠C=50°
∴∠EPF=130°
又∵∠D+∠G+∠EPF=180°
∴∠D+∠G=180°－∠EPF =180°－130°=50°
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM
∴∠GPN+∠DPM=50°
∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80°
故答案为：80°
16．
解：，
，
，，，
，
．
17．(1)见解析
(2)，理由见解析
解：（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴．
（2）解：结论：
理由如下：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：证明：在和中，
，
，
．
（2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是．
故答案为：
19．(1)
(2)证明见解析
（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点，
，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，过点作于，于，
，平分，平分，
，，
，
平分．
20．(1)见解析
(2)
解：（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设 O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
21．(1)A
(2)见解析
（1）解：∵O为与的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：A；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)[观察猜想]等边；
(2)，理由见详解
(3)或
（1）解：[观察猜想]∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
当等边的边长为2，当点为AB的中点时，，，CD平分，
∴，
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴；
（2）解：点为AB上任意一点，如图所示，过点作，
∴由“观察猜想”可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
（3）解：∵的边长为，即，，
由（2）的证明可得，
∴点在线段AB上，点在射线CB上，次情况不存在
∴点在线段AB的延长线上，
①如图所示，点在AB延长线上，
∵，
∴点在CB的延长线上，
过点作，交CF于点，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，
∵，
∴，且，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，点在延长线上，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，CF的长为或，
故答案为：为或．
23．(1)
(2)，，理由见解析
(3)存在，的值为或
（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动，
∴，
∵，
∴cm，
∵，
∴t最大取到s，
∴cm，其中，
故答案为：；
（2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，
此时cm，cm，
则cm，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，；
（3）解：由（2）可得，当时，此时，
当，此时，
即，
解得：，
，
解得：，
∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或．