湖南省长沙市麓山外国语实验中学2024−2025学年九年级上学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市麓山外国语实验中学2024−2025学年九年级上学期入学考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．样本7，7，6，5，4的众数是2
B．样本2，2，3，4，5，6的中位数是4
C．样本39，41，45，45不存在众数
D．5，4，5，7，5的众数和中位数相等
2．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．21B．C．D．9
3．某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．且
C． D．
6．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）
A．直接开平方法．B．配方法C．公式法D．分解因式法
7．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和1,0之间，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．（m为任意实数）
9．当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题）
11．一组数据含有三个不同的数：3，8，7，它们的频数分别是3，5，2，则这组数据的平均数是 ．
12．如果一次函数中，随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
13．将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为 ．
14．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是 ．
15．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是 ．
16．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，若是“勾系一元二次方程”的一个根，若四边形的周长是，则面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，一次函数：的图象与x轴交于点D，一次函数：的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点．
(1)求一次函数：的解析式；
(2)根据图象，直接写出的解集．
19．设，是关于x的方程的两个实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若，求k的值．
20．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中的值为_________；
（II）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买37号运动鞋多少双？
21．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)当时，求y的取值范围．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
23．网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）．
(1)求日销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？
24．数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
(1)如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
(3)如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
25．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且顶点P的坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，．求面积的最大值及此时点的横坐标；
(3)如图2，设点是抛物线对称轴上的一点，且在点的下方，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，直线交抛物线于点（点与点不重合），判断此时能否求出点的坐标，如能，求出点的坐标，不能，说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据众数定义和中位数定义对各选项进行一一分析判定即可．
【详解】A. 样本7，7，6，5，4的重复次数最多的数是7，所以众数是7，故选项A不正确；
B. 样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，所以中位数是，故选项B不正确；
C. 样本39，41，45，45重复次数最多的数字是45，故选项C不正确；
D. 5，4，5，7，5，将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的众数是5和中位数为5，所以众数和中位数相等，故选项D正确．
故此题答案为D．
2．【答案】A
【分析】若是一元二次方程的两根时，，．先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法求的值．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
，
故此题答案为A．
3．【答案】D
【分析】根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为万元，利用该企业今年5月份产值该企业今年3月份产值这两个月的平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：该企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，
该企业今年4月份产值为万元，5月份产值为万元．
根据题意得．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为，
即，
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】先把方程化为一般式为：有实数，然后根据一元二次方程的定义和的意义可得且，即，再解两个不等式，它们的公共部分即为的取值范围．
【详解】解：方程化为一般式为：有实数，
关于的一元二次方程有实数根，
且，即，解得，
的取值范围是且．
故此题答案为A．
6．【答案】D
【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，
即（10x-5）（5x-1）=0，
根据分析可知分解因式法最为合适．
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【详解】解：，
二次函数的开口向下，对称轴是直线，
时，随的增大而减小，
，
，
故此题答案为C
8．【答案】C
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意．
故此题答案为C．
9．【答案】A
【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故此题答案为A．
10．【答案】B
【分析】抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论．
【详解】解：抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”，
方程有且只有一个解，
即，，
，
，
，
．
整数c的取值有1、2共2个，
故此题答案为B
11．【答案】6.3
【分析】根据加权平均数的公式即可求解．
【详解】根据题意可得，这组数据的平均数=（3×3+8×5+7×2）÷（3+5+2）=6.3．
12．【答案】
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【详解】由题意得：
解得
13．【答案】10
【分析】根据配方法的步骤进行配方即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值即可解答．
【详解】解：∵，
∴当时，，解得（不合题意舍去），
∴此运动员将铅球推出的距离是.
15．【答案】
【分析】由函数的不动点概念得出，是方程的两个实数根，由知且时，据此得，解之可得．
【详解】解：由题意知，是方程的两个不相等实数根，且，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根，且由知，
令，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得
16．【答案】1
【分析】利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【详解】把代入得，
∴，
∵四边形的周长是，
∴
∴，
解得
∴，
∴，
∴，
∴
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）用公式法，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
开平方得，，
解得，；
（2）解：
，
，
，
．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图象写出的函数值大于1且直线在直线上方时对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）∵点在直线：上，
∴，
解得；
∵点、在直线上，
∴，
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可得，不等式组的解集为．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．根据根与系数的关系及根的判别式计算即可
【详解】（1）解：根据题意得，
即，
解得，；
（2）解：根据题意得，，
，，
，
解得，（舍），，
综上所述，k的值为1．
20．【答案】（Ⅰ）40人，15；（II）众数为35，中位数为36；（III）40双．
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得的值；
（II）根据众数和中位数的定义即可得；
（III）利用200乘以37号鞋的学生所占百分比即可得．
【详解】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为（人），
，
则，
故答案为：40人，15；
（II）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36，
∴这组样本数据的中位数为；
（III）（双），
答：建议购买37号运动鞋40双．
21．【答案】(1)二次函数的解析式为．对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）利用数形结合的思想即可解决问题．
【详解】（1）将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为．
因为，
所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）因为，且抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，；当时，，
所以的取值范围是：．
22．【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
(2)最多可购买电脑8台
【分析】（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答．
（2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
设购买电脑台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可购买电脑8台．
23．【答案】(1)
(2)当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设日销售量与销售单价的函数关系式为，
由题意得：，解得，
则日销售量与销售单价的函数关系式为．
（2）解：由题意得：
，
∵，，
∴由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1210，
答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为1210元．
24．【答案】(1)△POD为一中美三角，理由见解析
(2)P（﹣2，2）
(3)m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）．
【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD=
BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，-
m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）．
【详解】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
25．【答案】(1)
(2)面积的最大值为，点的横坐标为；
(3)能，
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）证明，得到，，则点，求出直线的表达式，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如图1，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，点，
则面积，
，故函数由最大值，
当时，面积的最大值为；
（3）能求出点的坐标，理由：
设点，如图2，
当点在点的下方时，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
，
，，
，
，，
点，
设直线的表达式为：，
则，解得，
故直线的表达式为：，
联立得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点．销售单价x（元）
22
27
日销量y（千克）
200
150