2025年初中数学中考一轮复习 第03讲 分式（讲义）

这是一份2025年初中数学中考一轮复习 第03讲 分式（讲义），共20页。
考点一 分式及其性质
1.分式及其性质
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式有意义、无意义或值为0的条件
注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.
3.分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
字母表示：AB=A•CB•C或AB=A÷CB÷C，其中A，B，C是整式且B•C≠0.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.
【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0.
4.分式的约分
分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.
5.分式的通分
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
确定最简公分母的方法：
1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；
②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；
③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，2x2+4，x2﹣23，1x，x+1x+2中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a2−5aa−5=（ ）
A．a−5B．a+5C．5D．a
3．（2024·四川雅安·中考真题）已知2a+1b=1a+b≠0．则a+aba+b=（ ）
A．12B．1C．2D．3
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
5．（2023·四川南充·中考真题）若分式x+1x−2的值为0，则x= ．
考点二 分式的运算
1.分式的加减法
1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：
2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：
2.分式的乘除法
1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即.
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即.
3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0）
3.分式的混合运算
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1．（2024·四川雅安·中考真题）计算1−30的结果是（ ）
A．−2B．0C．1D．4
2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算Axy+y2−yx2+xy的结果为x−yxy，则A=（ ）
A．xB．yC．x+yD．x−y
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知a+1a=5，则a2+1a2的值是 ．
4．（2024·北京·中考真题）已知a−b−1=0，求代数式3a−2b+3ba2−2ab+b2的值.
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：1+3x−3÷x2−9x2−6x+9，其中x=−2．
命题点一 分式及其性质
►题型01 分式有、无意义的条件
1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠1C．x≥0且x≠1D． x＞1
2．（2024·安徽·中考真题）若代数式1x−4有意义，则实数x的取值范围是 ．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y=x−3x+2中，自变量x的取值范围是 ．
4．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）当x=1时，分式x+2mx−n无意义；当x=4时分式的值为0，则m+n2012的值是 ．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 分式值为0的条件
注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.
1．（2023·四川凉山·中考真题）分式x2−xx−1的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．−1C．1D．0或1
2．（2021·四川雅安·中考真题）若分式x−1x−1的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
3．（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x+1B．x2−1C．1x+1D．x+12
4．（2024·山东济南·中考真题）若分式x−12x的值为0，则x的值是 ．
命题点二 分式的运算
►题型01 分式的运算
相关公式：1）2) 3）
4）5）（n为正整数，b≠0）
混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算Axy+y2−yx2+xy的结果为x−yxy，则A=（ ）
A．xB．yC．x+yD．x−y
2．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：|π−3|+2sin30°−(5−2)0；
（2）化简：x−2x+1÷(x−2)．
3．（2024·四川泸州·中考真题）化简：y2x+x−2y÷x2−y2x．
4．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1．
5．（2023·江西·中考真题）化简xx+1+xx−1⋅x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
►题型02 判断分式运算的错误步骤
常见错误类型：
1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的.
2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母.
3）错在符号变化，例如：
，错误原因：去括号时没有注意前面的符号.
1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：2xx2−4−1x−2，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
=(m+1)−2②
=m−1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式a−ba÷a−2ab−b2a的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
4．（2023·山东临沂·中考真题）（1）解不等式5−2x0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵x2+1−2x−1=x2+1−2x+1=x−12+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“1的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为a−1m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
►题型05 分式的规律探究
1．（2023·湖北恩施·一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14…利用以上的规律计算：f12023+f12022+f12021+⋯+f12+f1+f2+⋯+f2021+f2022+f2023= ．
2．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
3．（2021·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：23−11×2×3=12 第2个等式：38−12×3×4=13
第3个等式：415−13×4×5=14 第4个等式：524−14×5×6=15
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：__________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．
4．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：13×1+21=2−11
第2个等式：34×1+22=2−12
第3个等式：55×1+23=2−13
第4个等式：76×1+24=2−14
第5个等式：97×1+25=2−15
······
按照以上规律．解决下列问题：
1写出第6个等式____________；
2写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
5．（2023·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．
设n是正整数，
材料1：
a1=1a2=11+2=22×3=13a3=11+2+3=23×4=16a4=11+2+3+4=24×5=110
．．．
问题：（1）用含n的代数式表示an=___________________（写最简结果）
材料2：s1=a1=1
s2=a1+a2=1+22×3=2(11×2+12×3)=2(11−12+12−13)=2(1−13)=43
s3=a1+a2+a3=1+22×3+23×4=2(11×2+12×3+13×4)
=2(11−12+12−13+13−14)=2(1−14)=32
问题：（2）用含n的代数式表示sn=_______（写最简结果）．
（3）当n无限增大时，sn接近于一个常数，这个常数是________．
►题型06 与分式运算有关的新定义问题
1．（2021·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A．B．5C．D．
2．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ．
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①②
例如 ①依此定义方程的解为 ．
5．（2024·湖南永州·一模）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ．
6．（2024青岛市模拟）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；
①；②③④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】x>−3且x≠−2
5．【答案】−1
考点二 分式的运算
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】3
4．解：原式=3a−6b+3ba−b2
=3a−ba−b2
=3a−b，
∵a−b−1=0，
∴a−b=1，
∴原式=31=3．
5．解：1+3x−3÷x2−9x2−6x+9
=x−3x−3+3x−3÷x+3x−3x−32
=xx−3⋅x−3x+3
=xx+3，
当x=−2时，原式=−2−2+3=−2．
命题点一 分式及其性质
1．【答案】C
2．【答案】x≠4
3．【答案】x≥3/3≤x
4．【答案】1
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 分式值为0的条件
1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】1
命题点二 分式的运算
►题型01 分式的运算
1．【答案】A
2．解：（1）|π−3|+2sin30°−(5−2)0
=π−3+2×12−1
=π−3+1−1
=π−3；
（2）x−2x+1÷(x−2)
=x−2x+1⋅1x−2
=1x+1．
3．解：y2x+x−2y÷x2−y2x
=y2+x2−2xyx⋅xx2−y2
=x−y2x⋅xx+yx−y
=x−yx+y
4．（1）解：∵关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
∴Δ=−22−4×1×4−m>0，
解得：m>3；
（2）解：∵m>3，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=−m+1m−1m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2；
5．（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
（2）解：甲同学的解法：
原式=xx−1x+1x−1+xx+1x+1x−1⋅x2−1x
=x2−x+x2+xx+1x−1⋅x+1x−1x
=2x2x+1x−1⋅x+1x−1x
=2x；
乙同学的解法：
原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅x+1x−1x+xx−1⋅x+1x−1x
=x−1+x+1
=2x．
►题型02 判断分式运算的错误步骤
（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：2xx+2x−2−x+2x+2x−2=2x−x−2x+2x−2；
（2）解：2xx2−4−1x−2=2xx+2x−2−1x−2
=2xx+2x−2−x+2x+2x−2
=2x−x−2x+2x−2
=x−2x+2x−2
=1x+2
当x=3时，原式=15
2．解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)=m+1−2(m+1)(m−1)=m−1(m+1)(m−1)=1m+1．
3．（1）解：a−ba÷a−2ab−b2a
=a−ba÷a2a−2ab−b2a
=a−ba÷a2−2ab+b2a
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：a−ba÷a−2ab−b2a
=a−ba÷a2a−2ab−b2a
=a−ba÷a2−2ab+b2a
=a−ba÷a−b2a
=a−ba×aa−b2
=1a−b．
4．解：（1）5−2x