第06讲 分式方程（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义（含练习）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc151977958" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151977959" 考点一 解分式方程
\l "_Tc151977960" 题型01 判断分式方程
\l "_Tc151977961" 题型02 分式方程的一般解法
\l "_Tc151977962" 题型03 分式方程的特殊解法
\l "_Tc151977963" 类型一 分组通分法
\l "_Tc151977964" 类型二 分离分式法
\l "_Tc151977965" 类型三 列项相消法
\l "_Tc151977966" 类型四 消元法
\l "_Tc151977967" 题型04 错看或错解分式方程问题
\l "_Tc151977968" 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
\l "_Tc151977969" 题型06 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc151977970" 题型07 根据分式方程有解或无解求参数
\l "_Tc151977971" 题型08 已知分式方程有增根求参数
\l "_Tc151977972" 题型09 已知分式方程有整数解求参数
\l "_Tc151977973" 考点二 分式方程的应用
\l "_Tc151977974" 题型01 列分式方程
\l "_Tc151977975" 题型02 利用分式方程解决实际问题
\l "_Tc151977976" 类型一 行程问题
\l "_Tc151977977" 类型二 工程问题
\l "_Tc151977978" 类型三 和差倍分问题
\l "_Tc151977979" 类型四 销售利润问题
考点一 解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型01 判断分式方程
【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12-3=0；③2x-1+31-x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2-3=x5B．12x-13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1-2x
题型02 分式方程的一般解法
【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1x-1+3=3x1-x去分母，两边同乘x-1后的式子为（ ）
A．1+3=3x1-xB．1+3x-1=-3x
C．x-1+3=-3xD．1+3x-1=3x
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1x+2+x+6x2-4=1的解为 ．
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程：4x2+x-3x2-x=0．
【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3x+2与代数式2x-1的值相等，则x＝ ．
【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2x+1xx-2=52x的解为 ．

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
【例3】解方程：3x-2-4x-1=1x-4-2x-3
类型二 分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
【例4】解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
类型三 列项相消法
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1nn+1 =1n-1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12-13，112=13-14；120=14-15，16=12-13，……，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程解是多少？
【变式5-1】因为11×2=1-12,12×3=12-13,…,119×20=119-120，
所以11×2+12×3+…+119×20=1-12+12-13+…+119-120=1-120=1920．解答下列问题：
(1)在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是______________；第n项是______________．
(2)解方程：1x+1x+2+1x+2x+3+…+1x+2001x+2002=1x+2002．
【变式5-2】探索研究：
请观察：
①1x2+3x+2=1x+1x+2=1x+1-1x+2；
②1x2+5x+6=1x+2x+3=1x+2-1x+3；
③1x2+7x+12=1x+3x+4=1x+3-1x+4；
④1x2+9x+20=1x+4x+5=1x+4-1x+5；
……
(1)请写出第n个等式；
(2)解方程：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8；
(3)当m为正整数时，12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72= ．
【变式5-3】探索发现：
11×2=1-12;12×3=12-13;13×4=13-14……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5＝ ，1n×(n+1)＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2⋅+12×3+13×4+⋯⋯+1n×(n+1)
（3）利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+4)(x+5)=2x-1x(x+5)
类型四 消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.
【例6】用换元法解分式方程xx2-1+2x2-2x=35时，若设xx2-1=y，则原方程可以化为整式方程 .
【变式6-1】阅读与思考
问题：
(1)若在方程中x-12x-xx-1=0，设y=x-1x，则原方程可化为________________．
(2)模仿上述换元法解方程：x-1x+2-27x-1-9=0．
【变式6-2】用换元法解：x+12x-1-2x-1x+1=0．
题型04 错看或错解分式方程问题
【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程1x+1=2x3x+3-1的过程下．
解：去分母，得 3=2x-(3x+3)．①
去括号，得 3=2x-3x+3．②
移项、合并同类项，得 -x=6．③
化系数为1，得 x=-6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【变式7-3】（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（ ）
A．x=1B．x=-1C．x=-12D．x=12
【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3=11-32=-18，则方程x⊗2=2x-4-1的解是（ ）
A．x=4B．x=5C．x=6 D．x=7
【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a-1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
题型06 根据分式方程解的情况求值
【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程3xx-2＝m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-2】（2023盐城市二模）关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为正数，则a的取值范围是 ．
【变式9-3】（2023·内蒙古包头·校考一模）已知关于x的分式方程2x-mx-1-31-x=1的解是正数，则m的取值范围是 ．
【变式9-4】（2023齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程x+1x+2-xx-1=a(x+2)(x-1)的解是正数，a的取值范围是 ．.

由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
题型07 根据分式方程有解或无解求参数
【例10】（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【变式10-1】（2022·四川眉山·统考一模）已知关于x的分式方程kx-2－32-x＝1无解，则k＝（ ）
A．－3B．1C．2D．3
【变式10-2】（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程 a2x+3-a-xx-5=1无解，则a的值为 ．

已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
题型08 已知分式方程有增根求参数
【例11】（2021·广西贺州·统考中考真题）若关于x的分式方程m+4x-3=3xx-3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式11-1】（2021·山东烟台·统考一模）若关于x的分式方程6x-2-1=ax2-x有增根，则a的值为（ ）
A．−3B．3C．2D．-72
【变式11-2】（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x的方程6-xx-3-2mx-3=0有增根，则m的值是 ．

依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
题型09 已知分式方程有整数解求参数
【例12】（2022·广东佛山·统考一模）若关于x的分式方程x-2x-1＝mx1-x有正整数解，则整数m为 ．
【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式结3x-12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x的不等式组x-m2≥0x+33，且关于y的分式方程3-y2-y+my-2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A．-4B．-3C．-1D．-7
【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y的分式方程9-ayy-3+2=213-y有整数解，且关于x的不等式组5x≥3x+2x-x+32≤a16有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ．
【变式12-4】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）关于x的不等式组-x+a