2025年初中数学中考一轮复习 第01讲 实数及其运算（讲义）

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1. 正数与负数
正数：大于0的数叫做正数，如：0.5， QUOTE ，+2等.
负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5， QUOTE ，-2，-（+1）等.
2.有理数及分类
有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.
例：0.53（分数形式： QUOTE ），1.333333…（分数形式： QUOTE ）， QUOTE ，整数3（分数形式： QUOTE ）等.
有理数分类：
3. 无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数.
【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.
常见的无理数：
1）一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等
2） 开方开不尽的数，如： QUOTE 、等.
[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π， QUOTE 等.
4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…
5）某些三角函数，如sin60°、cs20°.
【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
4. 实数及其分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数.
实数的分类：
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3−1B．−32C．−−3D．−3
2．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−57，−3，0，−25.8，+2，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024·山东日照·中考真题）实数−13,0,5,1.732中无理数是（ ）
A．−13B．0C．5D．1.732
4．（2024·四川雅安·中考真题）将−2，87，π，0，2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
【补充】
1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；
3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.
4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2. 相反数
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.
性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.
2）一个有理数有且只有一个相反数；
3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.
2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.
3.绝对值
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即.
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.
4. 倒数
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
【易混易错】
1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.
2）若a、b互为倒数，则ab=1.
3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）
1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．−3B．1C．2D．3
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−2024和−2024B．2024和12024
C．−2024和2024D．−2024和12024
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若m,n互为倒数，且满足m+mn=3，则n的值为（ ）
A．14B．12C．2D．4
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9B．−1C．9D．1
5．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a>bB．a+bb+2D．a−1>b−1
6．（2023益阳市三模）已知a、b互为相反数，c、d为倒数，且m=3，则a+b2024+−cd2024+m2的值为 ．
QUOTE QUOTE 考点三 科学记数法
1.科学记数法
定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
【补充】
1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.
2）一个负数也可以用科学记数法表示.
3）科学记数法的常见类型:
① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；
② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示；
③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.
2.近似数
准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.
精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0.
1．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105 GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
3．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10−18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
考点四 平方根、立方根
1. 算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
算术平方根 QUOTE QUOTE (a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；
2）算术平方根本身具有非负性，即 QUOTE QUOTE ≥0；
【小结】即在式子 QUOTE 中，a≥0且 QUOTE QUOTE ≥0.
两个重要等式：1） QUOTE ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
2. 平方根
定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.
性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
3. 立方根
定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“ QUOTE ”，读作“三次根号a”.
【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.
2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
平方根与立方根的区别与联系
4. 常见实数的平方与立方：
1．（2023·湖南娄底·中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A．27B．37C．47D．57
2．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根B．9的算术平方根C．9的立方根D．5的算术平方根
3．（2023·四川广安·中考真题） 16的平方根是 ．
4．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c= ．
考点五 比较实数的大小
1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-bb；若 QUOTE =1，则a=b；若 QUOTE b. a、b为负数，若a2>b2，则ac>bC．a>b>cD．b>c>a
4．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大小：10 227（填“>”或“c>a
3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵x2+1−2x−1=x2+1−2x+1=x−12+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“BM，则下列运算结果一定是正数的是（ ）

A．a+bB．a−bC．abD．a−b
4．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 ．
►题型07 平方根、立方根
1．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．19D．−9
2．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,5a5,⋯，第n个单项式是（ ）
A．nB．n−1an−1C．nanD．nan−1
3．（2023·安徽·中考真题）计算：38+1= ．
4．（2024武威市三模）一个正数a的两个平方根是m+7和2m−1，则a−m的立方根为 .
命题点二 实数的运算
►题型01 非负性的应用
1．（2023·山东·中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+2a−b−3+|c−32|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
2．（2024·四川成都·中考真题）若m，n为实数，且m+42+n−5=0，则m+n2的值为 ．
3．（2024·四川资阳·中考真题）若a−12+|b−2|=0，则ab= ．
4．（2023·广东深圳·二模）若4x+y−42与2x−y+1互为相反数，则xy的值是 .
►题型02 实数的简单运算
1．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算2+−3过程正确的是（ ）
A．+3+2B．+3−2C．−3+2D．−3−2
2．（2024·河南·中考真题）计算a⋅a⋅...⋅aa个3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．aa+3D．a3a
3．（2024·吉林·中考真题）若−3×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A．2B．1C．0D．−1
4．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式①−5++3=−8；②−−23=6；③+56+−16=23；④−3÷−13=9．其中，正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2023·山东滨州·中考真题）计算2−−3的结果为 ．
6．（2023·广西·中考真题）计算：(−1)×(−4)+22÷(7−5)．
QUOTE ►题型03 实数的混合运算
1．（2024·山东日照·中考真题）计算：|2−2|+2−20240=
2．（2024·北京·中考真题）计算：π−50+8−2sin30°+−2
3．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+22−1+4+12021−1．
4．（2023·四川德阳·中考真题）计算：2cs30°+−12−1+|3−2|+2940+9
5．（2023 灞桥区一模）计算：
(1)364−81+3125+(−3)2−4−(3−2)3
(2)−12+|5−3|−16+38+(−2)2−(−5)
►题型04 与实数有关的新定义问题
1．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a2−|b|，则(−2)⊗(−1)的运算结果为（ ）
A．−5B．−3C．5D．3
2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12=2×1212+1=23，f(3)=2×33+1=32，f13=2×1313+1=12，计算：f1101+f1100+f199+⋯+f13+f12+f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（ ）
A．199B．200C．201D．202
3．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，a,b表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a