（人教版）数学八年级下册期末培优训练专题15 易错易混集训：一次函数（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16632" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16632 \h 1
\l "_Tc6538" 【考点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】 PAGEREF _Tc6538 \h 1
\l "_Tc15895" 【考点二 忽略自变量的取值范围致错】 PAGEREF _Tc15895 \h 6
\l "_Tc11221" 【考点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】 PAGEREF _Tc11221 \h 9
【典型例题】
【考点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
【变式训练】
1．（2023春·上海·八年级专题练习）若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（ ）
A．3B．1C．2D．3或1
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义可得|m-2|=1且m-3≠0，由此求解即可得答案.
【详解】∵y=(m-3) +3是一次函数，
∴|m-2|=1，m-3≠0.
∴m=1．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．
2．（2023春·上海·八年级专题练习）当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2B．－2C．－2和2D．3
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可．
【详解】∵函数是一次函数，
∴3-|m|=1且m-3≠0，
∴m=±2且m≠3，
∴m的值为2或-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3．（2023春·上海·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则________．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案．
【详解】解：是一次函数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
4．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的函数是一次函数，则n的值为_______．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：根据一次函数的定义，得：，
解得，
∴当时，这个函数是一次函数，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，正确理解一次函数的“一次”的意义是解答本题的关键．
5．（2023·全国·八年级专题练习）当m为何值时，函数是一次函数？
【答案】．
【分析】按照一次函数的定义可得，且，求解即可.
【详解】解：因为函数是一次函数，
所以，且，所以．
所以当时，函数是一次函数．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，对于一次函数，就概念的理解，一是自变量x的次数是1，二是k≠0，求解时两个条件都要满足.
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；（2）当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.
【详解】(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1.
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.
7．（2022春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）已知一次函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1﹣m+10．
(1)求出m的值；
(2)当一次函数与x轴、y轴的交点分别为A和B时，求△AOB的面积．
【答案】(1)m＝﹣2；
(2)
【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；
（2）利用图像与坐标轴的交点坐标求出所围成的三角形面积即可．
【详解】（1）根据题意得：且，
解得：m＝﹣2；
（2）∵m＝﹣2，
∴y＝﹣4x+12．
当y＝0，0＝﹣4x+12．
解得：x＝3，
∴与x轴交点A为（3，0），
当x＝0，y＝12，
∴与y轴交点B为（0，12），
∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：
【点睛】本题考查了一次函数的定义及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，注意掌握一次函数与坐标轴围成三角形的面积为：是解答本题的关键．
【考点二 忽略自变量的取值范围致错】
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【答案】(1)y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；
(2)见解析；
(3)此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求解，并求出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出函数图像；
（3）从图像直接可以得出结论．
（1）
由题意可得，
y=24-x=24-0.6x,
∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，
令y=0，则24-0.6x=0，
解得：x=40，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；
（2）
列表为：
图象是一条线段．描点并连线为：
（3）
由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特别注意自变量的取值范围．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得．
【详解】由题意得：，
，
，
解得，
即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：由题意，得
y=24-4x（0≤x≤6）．
∴k=-4＜0，
∴函数是降函数，函数图象是线段．
当x=0时，y=24，当y=0时，x=6．
∴函数图象是经过（0，24）和（6，0）的线段．
故选D．
【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
【答案】(1)
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将代入求出的解析式即可求解．
（3）根据（1）中求出的解析式，令x=0得出图像与y轴的交点，令y=0得出图像与x轴的交点，再连接并延长即可，再根据图像作答即可．
（1）
由题意得，y与x之间的函数关系式为，
∵，
∴，
∴自变量的取值范围是；
（2）
当时，，
解得；
（3）
当时，，
当时，，
解得，
∴画出的大致函数图像如图所示，
由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完．
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图像与坐标轴的交点是关键．
【考点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)
(2)y=x+4或者y=-x+4
【分析】（1）分别当x=0时和当y=0时，即可求出B、A的坐标；
（2）设P点坐标为(a,0)，即，根据OP=2OA，可得，即a=±4，分a=4和a=-4两种情况讨论，用待定系数法求解即可．
（1）
当x=0时，y=2x+4=4，
即B点坐标为(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，即x=-2，
即A点坐标为(-2,0)，
故答案为：B点坐标为(0,4)，A点坐标为(-2,0)；
（2）
∵P点在x轴上，
∴设P点坐标为(a,0)，即，
∵A点坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∵OP=2OA，
∴OP=4，
∴，
即a=±4，
当a=4时，P点坐标为(4,0)，
设BP的函数关系式为，
∵B点坐标为(0,4)，P点坐标为(4,0)，
∴，解得，
即此时BP的函数关系式为，
当a=-4时，P点坐标为(-4,0)，
同理可求：BP的函数关系式为，
综上：BP的函数关系式为或者．
【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论的思想，注意不要遗漏．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则 ______．
【答案】
【分析】先令，求出的值；再令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：先令，则；
令，则，
直线与坐标轴的交点分别为，，，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为______．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，结合的面积为1，可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴；
当时，，
∴点B的坐标为，
∴．
又∵的面积为1，
∴，即，
解得：，
∴b的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，找出关于b的方程是解题的关键．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与轴交于点，且，则该直线的解析式为___________．
【答案】或
【分析】先表示出点坐标；再把代入得，则，然后根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可求得的值，进一步求得的值．
【详解】解：把代入得，解得，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：，
∴，
解得：或，
∴当时，，
当时，，
∴该直线的解析式为或．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征：一次函数的图像上的点满足解析式．
4．（2022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
【答案】（-4，0）或（-1，0）##（-1，0）或（-4，0）
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，由点A，B的坐标可求出AB的长，分BA=BC、BA=CA种情况讨论求得即可．
【详解】解：直线与x轴、y轴交于点A、B，则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB==5．
分两种情况考虑，如图所示．
①当BA=BC时，OC=OA=4，
∴点的坐标为（-4，0）；
②当AB=AC时，∵AB=5，OA=4，点C在x轴负半轴，
∴OC=5-4=1，
∴点的坐标为（-1，0）．
∴点C的坐标为（-4，0）或（-1，0），
故答案为：（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，.
（1）线段的长为______.
（2）若在轴有一点，使与的面积相等，则点的坐标是______.
【答案】 或
【分析】（1）先求出、两点的坐标，利用勾股定理得到的长；
（2）设，根据与的面积相等，列出含的方程，通过解方程求得答案．
【详解】解：（1）令中，得点坐标为；
令，得点坐标为．
由勾股定理可得，
故答案为：；
（2）设，
∵是等腰直角三角形，
∴
，
∵与的面积相等
∴，
解得：或，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形结合，求一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理求两点距离，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
6．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】（1）根据直线，令求出的值，令求出的值，即可得点、的坐标；
（2）分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，．
∴，
当时，，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
①当点P在x轴下方时，
，
∴，
∵点P在x轴下方，
∴，
当时，代入得，，
解得．
∴；
②当点P在x轴上方时，
，
∴，
∵点P在x轴上方，
∴．
当时，代入得，，
解得．
∴，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键．
7．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线过点和点，其中，满足方程组．
(1)则点的坐标为 ；
(2)点在轴上，记的面积为，直线与轴的交点为，记的面积为，若，求线段的长；
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）加减消元法解得的值，进而即可求解；
（2）根据已知条件得出，设，则，待定系数法求得直线解析式，进而得出，即可得出的坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：
得，
解得：，
将代入①得，
解得：
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，
∵，
∴
设，则
∵，，
设直线的解析式为，
则，
解得：
∴
∴
∵，
∴，
∴或,
∴或
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
8．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点B，
(1)求m的值与点B的坐标；
(2)点是平面直角坐标系内一动点，若面积为12，求点P的坐标
(3)若点P在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，令求出y的值，即可确定出B的坐标；
（2）过点P作轴，交于点C，求出点C的坐标，根据面积为12，列出关于m的方程，解方程得出m的值，即可得出答案；
（3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况由等腰三角形的性质分别求得即可．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴点B坐标为；
（2）解：过点P作轴，交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴点，
∵面积为12，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
当时，，，
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
∴此时点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
根据题意，得，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分情况讨论．
x
0
40
y=24-0.6x
24
0