浙教版（2024）七年级下册（2024）4.2 提取公因式法优秀同步练习题

这是一份浙教版（2024）七年级下册（2024）4.2 提取公因式法优秀同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为( )
A. 140B. 70C. 14D. 10
2.多项式3m2+6mn的公因式是( )
A. 3B. mC. 3mD. 3n
3.下列分解因式，结果正确的是( )
A. x2−4x=x(x+2)(x−2)B. 4x2−4x+1=(2x−1)2
C. x2+2x−1=(x−1)2D. −x2+(−2)2=(x−2)(x+2)
4.多项式8xmyn−1−12x3myn中，各项的公因式是( )
A. xmynB. xmyn−1C. 4xmynD. 4xmyn−1
5.下列因式分解结果正确的是( )
A. −x3+4x=−xx2−4B. x2−4y2=x+4yx−4y
C. −x2−2x−1=−xx+2−1D. x2−5x+6=x−2x−3
6.下列因式分解正确的是( )
A. a2+a=a(a+1)B. m2−4=(m+4)(m−4)
C. 2x2+4x−2=2(x2+2x)D. a2−2a+1=a(a−2)+1
7.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是 ( )
A. −3a2b2B. −3abC. −3a2bD. −3a3b3
8.多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式为( )
A. (a-2)(m2+m)B. (a-2)(m2-m)C. m(a-2)(m-1)D. m(a-2)(m+1)
9.多项式m2−4与m2−4m+4有相同的因式是
A. m+2B. m−2C. m+4D. m−4
10.如图，长为a、宽为b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为 ( )
A. 15B. 30C. 60D. 78
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式a2b−9b=________．
12.因式分解5a2−a= ______．
13.若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为______．
14.已知x+y=10，xy=1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
15.分解因式：x2y(x−y)+3xy(x−y)=____________．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
(1)a2b−ab2；
(2)3a3b−6a2b2+3ab3．
17.(本小题8分)
计算：
(1)(−3y)(4x2y−2xy)；
(2)(a+2)(a+3)+2a6÷a4；
因式分解：
(3)4x2−4x；
(4)14a2−2ab+4b2．
18.(本小题8分)
先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2−1分组分解法：
解：原式=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+ b)(x+y);
原式=(x+y)2−1=(x+y+1)(x+y−1)．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如分解因式：x2+2x−3．
解：原式=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1+2)(x+1−2) =(x+3)(x−1)．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2−b2+a−b;
(2)分解因式：x2−6x−7．
19.(本小题8分)
【问题提出】
计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为：
l+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+a(1+a)4+a(1+a)5+a(1+a)6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法；
①1+a+a(1+a)
=(1+a)+a(1+a)
=(1+a)(1+a)
=(1+a)2
②由①知1+a+a(1+a)=(1+a)2，所以，
l+a+a(1+a)+a(1+a)2
=(1+a)2+a(1+a)2
=(l+a)2(1+a)
=(1+a)3
(1)仿照②，写出将1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3进行因式分解的过程．
【发现规律】
(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n= ______．
【问题解决】
(3)计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6= ______(结果用乘方表示)．
20.(本小题8分)
阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1)x2−xy+4x−4y；
(2)x2−y2+4y−4．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵该长方形的周长为14，面积为10，
∴2(x+y)=14，xy=10，则x+y=7，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=10×7=70，
故选：B．
先根据题意得出x+y=7，xy=10，再将x2y+xy2进行因式分解，最后代入求值即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式分解因式是关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了公因式的确定，先找出因数的公因式，然后再确定字母公共因式是解决问题的关键．根据公因式的定义，即找出两式中公共的因式即可．
【解答】
解：3m2和6mn的公因式为3m，
则多项式3m2+6mn的公因式是3m．
3.【答案】B
【解析】解：A、x2−4x=x(x−4)，故A不符合题意；
B、4x2−4x+1=(2x−1)2，故B符合题意；
C、x2−2x−1不能分解原式，故C不符合题意；
D、−x2+(−2)2=(x+2)(2−x)，故D不符合题意；
故选：B．
利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答．
本题考查了因式分解，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
4.【答案】D
【解析】分别找出公因式的系数、字母及次数，得4xmyn−1.故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了提公因式法、公式法以及十字相乘法因式分解，属于基础题．根据提公因式法、公式法以及十字相乘法分解因式进行解答．
【解答】
解：A、原式=−x(x2−4)=−xx+2x−2，故本选项不符合题意．
B、原式=(x+2y)(x−2y)，故本选项不符合题意．
C、原式=-(x+1)2，故本选项不符合题意．
D、原式=(x−2)(x−3)，故本选项符合题意．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．
根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
【解答】
解：A．a2+a=a(a+1) ，故A正确；
B.m2−4=(m+2)(m−2) ，故B错误；
C.2x2+4x−2=2(x2+2x−1)，故C错误；
D.a2−2a+1=a−12，故D错误．
故选A．
7.【答案】A
【解析】略
【分析】
本题主要考查公因式的确定，注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公约数．
提取公因式时：系数取最大公约数;字母取相同字母的最低次幂．
【解答】
解：−6a3b2−3a2b2+12a2b3=−3a2b2(2a+1−4b)．
所以应提取的公因式是−3a2b2．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了提公因式法分解因式，整理出公因式m(a−2)是解题的关键，是基础题．先把(2−a)转化为(a−2)，然后提取公因式m(a−2)，整理即可．
【解答】
解：m2(a−2)+m(2−a)
=m2(a−2)−m(a−2)
=m(a−2)(m−1)
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：∵m2−4=(m+2)(m−2)，m2−4m+4=(m−2)2，
∴m2−4与m2−4m+4有相同的因式是m−2．
故选B．
本题考查平方差公式、完全平方公式以及公因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．将m2−4与m2−4m+4分别进行因式分解即可得出公因式．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【解答】
解：根据题意得：a+b=5，ab=6，
则a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2−2ab]=6×(52−2×6)=6×13=78．
故选D．
11.【答案】b(a+3)(a−3)
【解析】【分析】本题考查了提公因式法和运用公式法因式分解.先提公因式b，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2b−9b=b(a2−9)=b(a+3)(a−3)．
12.【答案】a(5a−1)
【解析】【分析】
本题考查因式分解−提公因式法．
先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】
解：5a2−a=a(5a−1)．
故答案为a(5a−1)．
13.【答案】120
【解析】解：由题意得：a+b=8，ab=15，
则原式=ab(a+b)=120，
故答案为：120
根据长方形的周长与面积公式求出a+b与ab的值，原式提取公因式后代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14.【答案】10
【解析】略
15.【答案】xy(x−y)(x+3)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，难点在于分两次提取公因式，分解因式要彻底．
提取公因式xy(x−y)，即可分解．
【解答】
解：x2y(x−y)+3xy(x−y)
=(x−y)(x2y+3xy)
=xy(x−y)(x+3)．
故答案为xy(x−y)(x+3)．
16.【答案】解：(1)根据题意得a−b=1，ab=12，
当a−b=1，ab=12时，
原式=ab(a−b)
=12×1
=12；
(2)当a−b=1，ab=12时，
原式=3ab(a2−2ab+b2)
=3ab(a−b)2
=3×12×12
=36．
【解析】(1)根据题意得a−b=1，ab=12，提公因式ab分解因式，然后再代入式子计算即可．
(2)先提公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可．
本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值．熟练掌握以上知识点是关键．
17.【答案】解：(1)原式=(−3y)⋅(4x2y)−(−3y)⋅2xy
=−12x2y2+6xy2；
(2)(a+2)(a+3)+2a6÷a4
=a2+3a+2a+6+2a2
=3a2+5a+6；
(3)4x2−4x=4x(x−1)；
(4)14a2−2ab+4b2
=14(a2−8ab+16b2)
=14(a−4b)2．
【解析】(1)利用单项式乘多项式的运算法则进行计算；
(2)先计算乘除，再合并同类项即可；
(3)找到公因式4x，进行因式分解即可；
(4)根据完全平方公式进行因式分解．
本题考查整式的混合运算和因式分解，掌握运算法则和完全平方公式是解题关键．
18.【答案】解：(1)原式=(a+b)(a−b)+(a−b)=(a−b)(a+b+1)．
(2)原式=(x2−6x+9)−16
=(x−3)2−16
=(x−3−4)(x−3+4)
=(x−7)(x+1)．
【解析】(1)利用平方差公式和提公因式法进行因式分解；
(2)根据题目中的式子，可以对题目中的式子配方后分解因式；
根据配方法即可求出答案．
本题考查配方法，平方差公式和提公因式法进行因式分解，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3
=(1+a)(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3
=(1+a)2(1+a)+a(1+a)3
=(1+a)3+a(1+a)3
=(1+a)3(1+a)
=(1+a)4；
(2)(1+a)n+1 ；
(3)47．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由②③发现规律：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n=(1+a)n+1；
故答案为：(1+a)n+1；
(3)1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6
=(1+3)(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6
=(1+3)2(1+3)+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6
=(1+3)3(1+3)+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6
=(1+3)4(1+3)+3(1+3)5+3(1+3)6
=(1+3)5(1+3)+3(1+3)6
=(1+3)6(1+3)
=(1+3)7
=47．
故答案为：47．
(1)通过前面②的例子，提取公因式(1+a)一步步分解因式，最后化为积的形式；
(2)通过前面②的例子，提取公因式(1+a)一步步分解因式，最后化为积的形式；
发现规律：是根据①②的结果写出结论；
(3)通过前面②的例子，提取公因式(1+3)一步步分解因式，最后化为积的形式．
本题主要考查了因式分解−提公因式法、有理数混合运算、规律型：数字的变化类，掌握这三个知识点的综合应用，将问题“一般化”，发现规律是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=x(x−y)+4(x−y)
=(x−y)(x+4)；
(2)原式=x2−(y2−4y+4)
=x2−(y−2)2
=(x+y−2)(x−y+2)．
【解析】(1)根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
(2)根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by
解：原式=(ax+ay)+(bx+by)
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)．
例2：“三一分组”：2xy+x2−1+y2
解：原式=(x2+2xy+y2)−1
=(x+y)2−1
=(x+y+1)(x+y−1)．