初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）3.1 同底数幂的乘法精品练习题

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）3.1 同底数幂的乘法精品练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.规定：a*b=2a×2b.例如，1*2=21×22=23=8.若2*(x+1)=32，则x的值为( )
A. 29B. 4C. 3D. 2
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. a8÷a4=a2C. (a3)4=a7D. (2a)3=8a3
3.下列计算正确的是( )
A. x4⋅x4=x16B. (a3)2⋅a4=a9C. (−2a)2=−4a2D. (a3)2÷(a2)3=1
4.下列计算正确的是( )
A. (103)5=108B. (ab)n=abn
C. a⋅a6=a7D. (−a)10÷(−a)7=a3
5.下列运算正确的是( )
A. 3a2+a2=3a4B. (2a)3=2a3C. −a4⋅a2=−a6D. a6÷a2=a3
6.下列运算正确的是( )
A. 2x2+3x2=5x2B. x2·x4=x8C. x6÷x2=x3D. (xy2)2=xy4
7.下列运算正确的是( )
A. 2a2+3a3=5a5B. a2⋅a3=a6C. (−a2)3=−a6D. a4÷a2=a6
8.已知9m=3，27n=4，则32m+3n=( )
A. 1B. 6C. 7D. 12
9.下列运算结果中正确的是( )
A. a2=aB. −2a23=−6a6
C. a2⋅a3=a6D. a5÷a3+a2=2a2
10.下列运算正确的是( )
A. x4⋅x2=x8B. x+x=x2
C. (−12x2y)3=−18x6y3D. (x−y)2=x2−y2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知a+3b−2=0，则4a×82b= ．
12.若2m=5，4n=3，则2m+2n= ．
13.已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在“(a2·a3)2=(a2)2·(a3)2=a4·a6=a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 (按运算顺序填序号)．
14.已知：4a=5，8b=2，22a+3b的值为_________．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知2x+3×3x+3=36x−2，求x的值．
16.(本小题8分)
若2x=8y+2，9y=3x−9，求13x+2y的值．
17.(本小题8分)
若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n．
你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
(1)若2×8x×16x=222，求x的值．
(2)若(27x)2=312，求x的值．
18.(本小题8分)
地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约是5×108km2，地球表面全部空气的质量约为多少千克？已知地球的质量约为6×1024kg，它的质量大约是地球表面全部空气质量的多少倍？
19.(本小题8分)
已知xa=2，xb=4，xc=8．
(1)求证：a+c=2b;
(2)求xa−b+2c的值．
20.(本小题8分)
如果a、b、c是整数，且ac=b，那么我们规定一种记号(a,b)=c，例如42=16，那么记作(4,16)=2．
(1)(2,8)= ______．
(2)若k、m、n、p均为整数，且(k,9)=m，(k,27)=n，(k,243)=p，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明．
(3)小明在研究这种记号时发现一个规律：(an,bn)=(a,b)(n是正整数)，请你帮他完成证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
分别利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】
解：A.a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B.a8÷a4=a4，故此选项错误；
C.(a3)4=a12，故此选项错误；
D.(2a)3=8a3，故此选项正确．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及整式的除法，掌握原式法则是解题关键．
根据法则进行计算，即可判定各选项．
【解答】
解：A．x4⋅x4=x8，故不正确；
B.(a3)2⋅a4=a6·a4=a10，故不正确；
C.(−2a)2=4a2，故不正确；
D.(a3)2÷(a2)3=a6÷a6=1，正确．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：A、(103)5=1015，故此选项不符合题意；
B、(ab)n=anbn，故此选项不符合题意；
C、a⋅a6=a7，故此选项符合题意；
D、(−a)10÷(−a)7=(−a)3=−a3，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别计算判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、3a2+a2=4a2，故A不符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不符合题意；
C、−a4⋅a2=−a6，故C符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选C．
6.【答案】A
【解析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
解：A.2x2+3x2=5x2，故此选项符合题意；
B.x2·x4=x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x2=x4，故此选项不合题意；
D.(xy2)2=x2y4，故此选项不合题意．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：A、两者不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、计算结果是a5，故选项不符合题意；
C、(−a2)3=−a6，计算正确，故选项符合题意；
D、计算结果是a2，故选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法有关知识，
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法对该式变形，然后再代入计算即可．
【解答】
解：∵9m=3，27n=4，
∴32m=3，33n=4，
∴原式=32m·33n
=3×4
=12
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次根式的性质，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，整式的混合运算的有关知识．
直接利用二次根式的性质，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，整式的混合运算的计算法则进行逐一分析即可．
【解答】
解： a2=a，故A错误；
(−2a2)3=−8a6，故B错误；
a2⋅a3=a5，故C错误；
a5÷a3+a2=2a2，故D正确．
10.【答案】C
【解析】解：A、x4⋅x2=x4+2=x6，原选项计算错误，不符合题意；
B、x+x=2x，原选项计算错误，不符合题意；
C、(−12x2y)3=(−12)3(x2)3y3=−18x6y3，原选项计算正确，符合题意；
D、(x−y)2=x2−2xy+y2，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项运算法则逐项判断即可，
本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】略
12.【答案】15
【解析】【分析】
根据同底数幂的乘法法则求解．
本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．
【解答】
解：4n=22n=3，
2m+2n=2m⋅22n=5×3=15．
故答案为：15．
13.【答案】③②①
【解析】略
14.【答案】10
【解析】【分析】
根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行转化，再整体代入计算便可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，关键是灵活应用同底数幂的乘法和幂的乘方公式进行变形．
【解答】
解：∵4a=5，8b=2
∴22a=5，23b=2
22a+3b=22a·23b=5×2=10，
故答案为：10．
15.【答案】解：∵2x+3×3x+3=(2×3)x+3=6x+3， 36x−2=(62)x−2=62x−4，2x+3×3x+3=36x−2，∴6x+3=62x−4，∴x+3=2x−4，解得x=7．
【解析】略
16.【答案】解：∵2x=8y+2，9y=3x−9，
∴2x=23(y+2)=23y+6，32y=3x−9，
∴{=3y+6,2y=x−9,解得{=15,y=3,
∴13x+2y=13×15+2×3=11．

【解析】略
17.【答案】【小题1】
解：∵2×8x×16x=222，∴2×23x×24x=222，
则21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得x=3．
【小题2】
∵(27x)2=312，∴(33x)2=312，则36x=312，
∴6x=12，解得x=2．

【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】解：1km=105cm，5×108km2=5×108×(105)2cm2=5×1018cm2，故地球表面全部空气的质量约为5×1018kg.6×1024÷(5×1018)=1.2×106．
故地球的质量大约是地球表面全部空气质量的1.2×106倍.

【解析】见答案
19.【答案】(1)证明：∵xa=2，xb=4，xc=8，
∴xa·xc=xa+c=2×8=16=42=x2b，
∴a+c=2b；
(2)∵xa=2，xb=4，xc=8，
∴原式=(xa)÷xb×(xc)2=2÷4×64=32．
【解析】此题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)利用同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可证明a+c=2b；
(2)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
20.【答案】3
【解析】(1)解：设(2,8)=x，则2x=8，
∵2x=8=23，
∴x=3，
∴(2,8)=3．
故答案为：3．
(2)m+n=p．
证明：∵(k,9)=m，(k,27)=n，(k,243)=p，
∴km=9，kn=27，kp=243，
∵km⋅kn=km+n=9×27=243，
∴km+n=kp，
∴m+n=p．
(3)证明：设(an,bn)=s，(a,b)=t，
则(an)s=bn，at=b，
∴(an)s=ans=bn=(at)n=ant，
∴ns=nt，
∵n是正整数，
∴s=t，
∴(an,bn)=(a,b)．
(1)设(2,8)=x，根据这种记号的定义列关于x的方程并求解即可；
(2)根据这种记号的定义得到三个等式，再根据同底数幂的乘法运算法则证明即可；
(3)设(an,bn)=s，(a,b)=t，根据这种记号的定义得到两个等式，再利用幂的乘方运算法则证明s=t即可．
本题考查同底数幂的乘法、数字的变化，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键．