浙教版（2024）九年级下册1.3 解直角三角形同步测试题

这是一份浙教版（2024）九年级下册1.3 解直角三角形同步测试题，共16页。试卷主要包含了桔槔俗称“吊杆”、“称杆”等内容，欢迎下载使用。
1．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚OD=OB=50cm，展开角∠BOD=70°，晾衣臂AO=80cm，则支樟杆的端点A离地面的高度AE为（ ）
A．130tan55°cmB．130sin55°cmC．130tan55°cmD．130sin55°cm
2．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )
A．tanαtanβB．sinβsinαC．sinαsinβD．csβcsα
3．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cs aB．4sin aC．4tan aD．4csa
4．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1．当点A位于最高点时，∠AOM=130°．此时，点A到地面的距离为（ ）
图1 图2
A．x米B．5米
C．(3+4sin40°)米D．(3+4sin40°)米
5．如图钓鱼竿AC长8m，露在水面上的鱼线BC长42m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3mB．33mC．4mD．43m
6．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°．
（1）求两轮轮轴A，B之间的距离；
（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
7． 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中CD是垂直于墙面AC的遮阳篷，AB表示窗户，BCD表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC=75°；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC=35°．（参考数据：sin75°≈0.97,cs75°≈0.26,tan75°≈3.73,sin35°≈0.57,cs35°≈0.83,tan35°≈0.7）
（1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD=1m时，求AC的长．
（2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当AB=1.5m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．（结果精确到0.1m）
8．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面DD'的距离为29,CD=14,AB=10，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面EF，则EF=（ ）
A．9B．8C．6.D．5
9．如图，图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点A处．若∠BAD=132°，AB=a厘米，AD=b厘米，则活动杆端点D离地面的高度为（ ）
A．a+bsin48°厘米B．a+bcs48°厘米
C．a+bsin48°厘米D．a+bcs48°厘米
10．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，AD=20cm，AB=160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（ ）
A．802cmB．803cmC．(802+20)cmD．(803+10)cm
11．贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆.晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现，ADB的拱高CD和其所对的弦AB都是2m，EB所对的圆心角是150°，弦AB与春联的底端平齐，E点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是 m.(参考数据3=1.732，结果按四舍五入法精确到0.1)
12．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车。如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)，且AC=BD，AF//BE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'.已知直线BE⊥B'E'，CD'=173CD.则CD= cm
13．如图 1 是一款重型订书机，其结构示意图如图 2 所示.其主体部分为矩形 EFGH，由支撑杆 CD 垂直固定于底座 AB 上，且可以绕点 D 旋转.压杆 MN 与伸缩片 PG 连接，点 M 在HG 上，MN 可绕点 M 旋转，PG⊥HG ，DF＝8 cm，GF=2cm，不使用时，EF∥AB，G 是 PF 中点，且点 D 在 NM 的延长线上，则 MG= cm，使用时如图3，按压 MN 使得 MN∥AB，此时点 F 落在 AB 上，若 CD＝2 cm，则压杆 MN 到底座 AB 的距离为 cm
14．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE=AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F是DE上的固定点，且EF：DF=2：3．
（1）当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED=2；设BC=5a，则FG= (用含a的代数式表示)；
（2）在(1)的条件下，若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是 cm．
15．如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°.
（1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离；
（2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm，
求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin45°≈0.7）
16．小南用一把可调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺丝帽（如图1），其横截面示意图如图2所示．已知活动扳手的钳口AB∥CD，正六边形螺丝帽的两个顶点E,H分别在AB,CD上，EF=10mm，∠BEF=15°．
（1）连接EH，求∠EHC；
（2）在图2的基础上，调节活动扳手钳口大小，使得EF与直线AB重合，HI与直线CD重合（如图3），请问AB和CD之间的距离减少了多少？（结果精确到1mm，参考数据：sin15°≈0.26,cs15°≈0.97,3≈1.73,2≈1.41）
17．根据以下素材，探索完成任务．
18．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
19．城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下：
【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.
【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪ABCD（如图②）为正方形木板，在顶点A处用细线挂一个铅锤M.
【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点D，A与“摇橹人”最高点E在同一条直线上.通过测量得到，∠BAM=36°，AF=20m，FG=1.94m.
【步骤四】计算“摇橹人”高度EG.（结果精确到0.1m）（参考数据：sin36°≈0.588，cs36°≈0.809，tan36°≈0.727）
现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】.
20．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．
探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．
（1）解决问题：CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm，α＝ °（注：sin49°＝cs41°=34，tan37°=34）
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）
（3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB'上，设PC＝x，BQ＝y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】（1）解：∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，
∴AB＝AC2+BC2＝802+602＝100（cm），
即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；
（2）解：过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，
∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，
∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝12OF＝30，
∴FG＝303，
由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，
∴S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CH，
即12×100×CH＝12×60×80，解得CH＝48，
∴FG+CH＝48+303≈48+30×1.732≈100.0cm，
即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．
7．【答案】（1）解：如图3，在Rt△ACD中，
∵∠ADC=75°，CD=1m，
∴tan∠ADC=ACCD=AC1≈3.73，
∴AC≈3.7m，
∴AC的长为3.7m；
（2）解：如图2，在Rt△BCD中，
∵∠BDC=35°，
∴tan∠BDC=BCCD≈0.7，
∴BC=0.7CD，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=75°，
∴tan∠ADC=ACCD≈3.73，
∴AC=3.73CD，
∴AB=AC−BC=(3.73−0.7)CD=3.03CD=1.5，
∴CD≈0.5m，
∴遮阳篷CD的长为0.5m．
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】1.9
12．【答案】45
13．【答案】4；15+22
14．【答案】（1）5a2
（2）（19+195）
15．【答案】（1）如图2中，过点 M 作 MF⊥BC，垂足为 F，过点A 作 AG⊥MF，垂足为 G.
∵∠ACB=90°，∴四边形ACFG是矩形.
∴AC=GF，∠CAG=90°.
在Rt△ACB中，AC=AB·cs∠BAC≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=GF≈120 cm.
∵AM⊥AB，
∴∠MAB=90°.
∴∠MAG=∠BAC=37°.
在Rt△AMG中，MG=AM·sin37°≈200×0.6=120(cm)，
∴MF=MG+GF≈240 cm.
（2）如图3 中，过点 M作MP⊥BC，垂足为 P，过点 A 作AN⊥MP，垂足为 N.
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACPN是矩形.
∴AC=NP，∠CAN=90°.
∴∠BAN=∠CAN-∠CAB=90°-37°=53°.
在 Rt△ACB中，AC=AB·cs∠CAB≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=NP≈120 cm.
由题意，得 MP=240+21=261(cm).
∴MN=MP-NP≈261-120=141(cm).
在Rt△MAN中， sin∠MAN=MNAM≈141200≈0.7,
∴∠MAN≈45°.
∴∠MAB=∠MAN+∠BAN≈53°+45°=98°.
∴∠MAB的度数约为98°.
16．【答案】（1）解：∵螺丝帽是正六边形
∴每个内角为180°−360°6=120°
∴∠FEH=12×120°=60°
∵∠BEF=15°
∴∠BEH=∠BEF+∠FEH=15°+60°=75°
∵AB∥CD
∴∠EHC=∠BEH=75°；
（2）解：如图2，过点E作EJ⊥CD于点J，如图3，连接EI，过点L作LK⊥EI于K，
由（1）知，∠EHC=75°
∴∠HEJ=15°
∵EF=10mm，螺丝帽是正六边形
∴△EOF为等边三角形
∴EO=EF=10mm
∴EH=2EO=20mm
∴EJ=EH⋅cs∠HEJ=20×cs15°≈19.4mm
如图3，∵螺丝帽是正六边形
∴∠ELI=120°，EL=LI=10mm，
∵LK⊥EI
∴∠ELK=60°,EI=2EK
∴EK=EL⋅sin60°=10×32=53≈8.65mm
∴EI=2EK≈2×8.65=17.3mm
∴AB和CD之间的距离减少了19.4−17.3≈2mm．
17．【答案】任务一：30°；
任务二：作AN⊥DF于点N，延长NF交AC于点Q，
①当α=14°时，则∠NQA=14°，
∵∠DAC=31°，
∴∠NDA=∠DAC+∠NQA=45°，
∵AD=100cm，
∴AN=AD⋅sin∠NDA=502cm，
∵∠AFD=30°，
∴AF=2AN=1002cm，
∵AE=91cm，
∴EF=AF−AE=1002−91≈50cm，
②当α=29°时，
同理可得：EF=AF−AE=506−91≈31.5cm，
∴31.5cm≤EF≤50cm；
任务三：方案二：如图，设新电池板的长度AD'=ycm，
过点D'作水平线AC的垂线，交AB于点E'，则DE∥D'E'
∵H在任意时刻均不能落在EF内，
∴AF最大，即当α=14°时，AF最大，
同任务二可得：AF=2ycm，
∵电池板与坡度保持不变，DE∥D'E'，
∴△ADE∼△AD'E'，
∴AE'AE=AD'AD，即AE'91=y100，
解得AE'=91y100，
由题意得：91y100+2y=4×100，
解得y≈172.1，
答：原来100cm长的电池板最大可以定制约为172.1cm
18．【答案】（1）解：如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
∵ 四边形ABFE为矩形，
∴∠GBF=∠BFD=90°.
∴四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
（2）解：
∵BG=16cm，BC=7cm，
∴CG=BG−BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，DG=12cm，
∴DC=CG2+DG2=92+122=15(cm)，
∴sinβ=sin∠GDC=CGCD=915=35，
由(1)得：∠PDH=53°，
∴sin∠PDH=sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
19．【答案】解：根据题意可知：∠FAM=∠BAE=90°
∴∠EAF=∠BAM=36°
在Rt△EFA中，∠EFA=90°，
tan∠EAF=EFAF，
∴EF=tan36°×AF≈0.727×20=14.54m，
∴EG=EF+FG=14.54+1.94=16.48≈16.5m.
答：“摇橹人”的高度约为16.5m.
20．【答案】（1）CQ∥BE；3；37°
（2）解：V液＝12×3×4×4＝24（dm3）；
（3）解：当容器向左旋转时，0°≤α≤37°，
∵液体体积不变，
∴12（x+y）×4×4＝24，
∴y＝﹣x+3．
当容器向右旋转时，37°＜α≤53°，
∵液体体积不变，
∴12×y×（4﹣x）×4＝24，
∴y＝124−x；
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B'重合时，如图5，
∵BB'＝4，且12PB•BB'×4＝24，
∴PB＝3，
∴tan∠PB'B＝34，
∴∠PB'B＝37°．
∴α＝∠B'PB＝53°．
此时37°≤α≤53°；阅卷人
一、基础夯实
得分
阅卷人
二、能力提升
得分
阅卷人
三、拓展创新
得分
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素
材
一
将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板AD位置固定，第二排HG位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，DE，GM所在的直线垂直于水平线AC，坡面AB=4m，∠BAC=16°，AD=HG=100cm，AE=91cm，∠DAC=31°
参考数据：
2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45
素
材
二
上午太阳光线与水平线的夹角α范围为14°