初中数学浙教版（2024）九年级下册2.3 三角形的内切圆课堂检测

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级下册2.3 三角形的内切圆课堂检测，共12页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．已知正三角形的内切圆半径为33cm，则它的边长为( )
A．2cmB．43cmC．23cmD．3cm
3．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，连结OE，OF，DE，DF.若∠B=50°,∠C=60°，则∠EDF等于( )
A．40°B．55°C．65°D．70°
4．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A，B，C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．重心
C．三条角平分线的交点D．外心
5．依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定△ABC的内心的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，I是△ABC的内心.若∠A=100°，则∠BIC的度数是 ；若∠BIC=125°，则∠A的度数是 .
7．如图，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心．若∠BOC=140°，则∠BIC=
8．已知：如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB,D是腰BC上的一点，△ACD的内切圆⊙O分别与边AD，BC，AC相切于点E，F，G.求证：AE=BF.
9．如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的内切圆.
10．如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE．
11．如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE=2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x:y的值为（ ）
A．2B．83C．3D．103
12．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI=2CD，则AEED的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
13．点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心，若∠A=70°，则∠BDC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.若∠BCA=90°,AD=5cm,DB=3cm，则△ABC的面积为 cm2.
15．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP.
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是32，CD＝8，求BC的长.
16．已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：DIDE=CACE；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
17．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
18．把圆分成n(n⩾3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长.
19．【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=12BC•r+12AC•r+12AB•r=12ar+12br+12cr=12（a+b+c）r．
∴r= 2Sa+b+c．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．
20．阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Lenhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 OI2=R2−2Rr .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴IMIA=IDIN ，
∴IA⋅ID=IM⋅IN①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴IADE=IFBD ，∴IA⋅BD=DE⋅IF②，
任务：
（1）观察发现： IM=R+d ， IN= (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】140°；70°
7．【答案】125°
8．【答案】证明：∵ΔACD的内切圆⊙O分别与边AD，BC，AC相切于点E，F，G．
∴CG=CF．AG=AE．
∵CA=CB，
∴AG=BF．
∴AE=BF．
9．【答案】解：如图所示，⊙O即为所求．
10．【答案】解：连接IE，IF，
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=70°，
∴∠EIF=110°，
∴∠FDE=55°．
答：∠FDE的度数为55°．
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】C
14．【答案】15
15．【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵点P是△ABC的内心
∴∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP
∴∠ABD=∠ACD=45°
∵∠DPB=∠BCP＋∠CBP=45°＋∠CBP，∠DBP=∠ABD＋∠CBP=45°＋∠EBP
∴∠DPB=∠DBP
∴BD=DP
（2）解：连接AD，如图所示
∵AB是直径，∠ABD=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵⊙O的半径是32
∴AB=62
∴△ABD是等腰直角三角形
∴BD=22×AB=22×62=6
∵∠EDB=∠BDC，∠ABD=∠BCD
∵△DBE∽△DCB
∴DEDB=DBCD
∵CD＝8
∴DE=DB2CD=628=4.5
∵∠ACD=∠ABD=45°，∠AEC=∠BED
∴△AEC∽△BED
∴ACBD=CEDE
∴AC=143
∴在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=21133.
16．【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴DBDE=CACE
∵DB＝DI，
∴DIDE=CACE
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ 12 ∠BAC＝60°，
∴IH＝ 32 AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ 1633 ，即直径为 1633 ，
∴AI的最大值为 1633 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 3 .
17．【答案】D
18．【答案】解：如图，
∵外切三角形为正三角形，
∴∠AOD=360°÷6=60°，
∴AD=OD·tan60°=R·3=3R，
∴外切正三角形边长AB=2AD=23R；
∵外切四边形为正方形，
∴∠AOD=360°÷8=45°，
∴ΔAOD是等腰直角三角形，
​​​​​​​∴AD=OD，
∴外切正方形的边长AB=2AD=2R；
∵外切六边形为正六边形，
∴∠AOD=360°÷12=30°，
​​​​​​​∴AD=OD·tan30°=33R，
​​​​​​​∴外切六边形的边长AB=2AD=233R
19．【答案】解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=12ar12br12cr12dr=12（a+b+c+d）r，∴r=2Sa+b+c+d；（2）如图3连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，（3+r）2+（2+r）2=52，r2+5r﹣6=0，解得：r=1．
20．【答案】（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 IA⋅ID=IM⋅IN ， IA⋅BD=DE⋅IF ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴2Rr=(R+d)(R−d) ，
∴R2−d2=2Rr
∴d2=R2−2Rr ；
（4）5阅卷人
一、基础夯实
得分
阅卷人
二、能力提升
得分
阅卷人
三、拓展创新
得分