甘肃省酒泉市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 含解析

这是一份甘肃省酒泉市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 含解析，共13页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 设，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：湘教版必修一前五章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
【详解】由诱导公式可得，.
故选：B
2. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题为全称量词命题，
其否定为存在量词命题，即为.
故选：C
3. 若函数在处取得最小值，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为函数，
当且仅当，即时，等号成立，
所以等于3，
故选：C
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】由对数函数的性质知，解得或，
因为函数的图象的对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则函数为减函数，
由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为.
故选：D
5. 已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断该区间内的零点，再说明在内函数不存在零点.
【详解】函数为R上增函数，函数在内单调递减，函数在上单调递增，
又，
因此函数在区间内有零点，在区间上不存在零点，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，因此函数在上都不存在零点.
故选：B
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可.
【详解】由指数函数单调性可知，，
由对数函数单调性可知，，
所以，所以，
故选：D.
7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单
位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. 27hB. 27.5hC. 28hD. 28.5h
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列方程，根据指数运算、对数运算性质求解即可.
【详解】由题意，，
则，
故选：C.
8. 对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可.
【详解】因为函数恒有两个相异不动点，即恒有两个不等实根，
整理得，
所以，即，对恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A，定义域为，令，因为，
所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数在区间上单调递减，
所以A正确；
对于B，定义域为，令，因为，
所以此函数为偶函数，因为在上单调递减，所以B正确；
对于C，定义域为，为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误；
对于D，定义域为，令，因为，
所以此函数为偶函数，当时，，因为在上单调递减，
所以D正确.
故选：ABD
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的图象求出函数解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象，得，函数的最小正周期，解得，A正确；
，由，得，而，
则，B错误；
函数，，则的图象关于直线对称，C正确；
由函数的图象向左平移个单位长度，
得，D正确
故选：ACD
11. 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的对称中心是
B. 函数的对称中心是
C. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
D. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】计算可判断A选项；计算可判断B选项；推导出函数的图象关于直线对称的充要条件为函数为偶函数，可判断CD选项.
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，
则，可得，
对于A选项，因为，
则，
所以，函数的图象关于点对称，A对；
对于B选项，因为，
则，
，
所以，，
所以，函数的对称中心是，B对；
若函数的图象关于直线成轴对称图形，
在函数的图象上任取一点，
则该点关于直线的对称点在函数的图象上，
所以，，
用替代等式中的可得，
此时，函数为偶函数，
所以，函数的图象关于直线对称的充要条件为函数为偶函数，
对于C选项，类比上面推广结论：
函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，C对；
对于D选项，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，D错.
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数且的图象恒过定点，则定点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的定点分析求解即可.
【详解】令，解得，则，
所以定点的坐标为.
故答案为：.
13. 奇函数的局部图象如图所示，则与的大小关系为________.

【答案】
【解析】
【分析】先应用函数是奇函数得出，，再结合图象即可解.
【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以，，
由函数图象可知，所以，即.
故答案为：.
14. 已知函数在上不单调，则的值可以是______.（说明：写出满足条件的一个实数的值）
【答案】3（答案不唯一，只要满足即可）
【解析】
【分析】由题意可知，对称轴位于区间中，即可得到结果.
【详解】函数图像开口向上，对称轴为，
若函数上不单调，
则，所以的值可以是3，答案不唯一，只要满足即可.
故答案为：3（答案不唯一，只要满足即可）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或或
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，直接求解集合间的运算；
（2）分析可知集合A是集合B真子集，根据包含关系列不等式，求解参数取值范围.
【小问1详解】
当时，，或，
且或，
所以或或；
【小问2详解】
由（1）得或，
又因为“”是“”的充分不必要条件，且，可知集合A是集合B的真子集，
所以或，解得或，
综上所述：.
16. （1）已知，求的值；
（2）已知，计算的值；
（3）计算的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂运算法则计算可得结果；
（2）根据齐次式的计算方法可得出结果；
（3）利用对数运算性质计算可得结果.
【详解】（1）因为，所以，则，
又，则，又，所以.
（2）因为，所以；
（3）.
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域；
（3）若当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数的取值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调性求出的单调增区间即可；
（2）求出时的取值范围，从而得出的取值范围，进而可得的值域；
（3）画出函数与直线的图象，数形结合即可求解.
【小问1详解】
令，
解得，
所以函数的单调递增区间.
【小问2详解】
当时，，
所以，所以，
所以的值域为.
【小问3详解】
函数的图象与直线有2个交点，作图如下：
由图可知，故数的取值为.
18. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断奇偶性，并加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）偶函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由且求解；
（2）利用函数奇偶性的定义求解；
（3）将转化为求解.
【小问1详解】
解：由题意得：且，
解得，所以函数定义域为；
【小问2详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为偶函数；
【小问3详解】
，
则