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    长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷及参考答案

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    第I卷(选择题)
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则
    A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
    2.已知全集,集合,,则( )
    A.集合的真子集有8个B.
    C.U中的元素个数为7D.
    3.已知甲、乙两组数据分别为:和,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,则( )
    A.甲组数据的第70百分位数为23 B.甲、乙两组数据的极差不相同
    C.乙组数据中位数为24.5 D.甲、乙两组数据的方差相同
    4.在中,,则( )
    A.B.C.D.
    5.过点作圆的两条切线与圆C分别切于A,B两点,则直线的方程为( )
    A.B.C.D.
    6.设函数,则下列叙述正确是( )
    A.的最小正周期为
    B.的图象关于直线对称
    C.在上的最小值为
    D.的图象关于点对称
    7.如果球、正方体与等边圆柱(圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等,设它们的表面积依次为,,,那么,,的大小关系为
    A. B. C. D.
    8.如图所示,是双曲线的左、右焦点,的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足,则双曲线的渐近线的斜率可以为( )
    A.B.2C.D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.设,,为复数,下列命题中错误的是( )
    A.B.
    C.若,则为纯虚数D.若,且,则
    10.已知数列的前项和为,且满足,则下面说法正确的是( )
    A.数列为等差数列B.数列为等比数列
    C.D.
    11.已知定义在的函数满足:①对恒有;②对任意的正数,恒有.则下列结论中正确的有( )
    A.
    B.过点的切线方程
    C.对,不等式恒成立
    D.若为函数的极值点,则
    第II卷(非选择题)
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知,则的值为______.
    13.甲、乙、丙等5名同学参加语数外三科知识竞赛,每人随机选择一科参加竞赛,则甲和乙不参加同一科,甲和丙参加同一科竞赛,且这三科竞赛都有人参加的概率为__________.
    14.对于函数,若在定义域内存在实数满足,则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”,则实数的取值范围是___________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.已知函数在和处取得极值.
    (1)求的值及的单调区间;
    (2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
    16.如图,多面体中,四边形为正方形,平面平面,,,,,与交于点.
    (1)若是中点,求证:;
    (2)求直线和平面所成角的正弦值.
    17.设的第项系数为.
    (1)求的最大值.
    (2)若表示的整数部分,,求的值.
    18.已知双曲线C的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,点在C上,点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为.
    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)经过点的直线与双曲线C交于E,F两点(异于点P),过点F作平行于x轴的直线,直线PE与交于点D,且求直线AB的斜率.
    19.记.对数列和子集,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)对任意正整数,若,求证:;
    (3)设,求证:.

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