专题09 杨辉三角与裴波那契数列（2大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11185" 题型01 杨辉三角中的数列问题 PAGEREF _Tc11185 \h 1
\l "_Tc31151" 题型02 裴波那契数列 PAGEREF _Tc31151 \h 4
题型01 杨辉三角中的数列问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
2．（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ．
3．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为Sn，则 .
4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为 ；表示第行所有项的乘积，设，则 .
5．（23-24高三下·重庆璧山·阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则 ．
题型02 裴波那契数列
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·甘肃甘南·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2024·四川·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项.
5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契数列(Fibnacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列有如下递推公式：，通项公式为，故又称黄金分割数列．若且，则中所有元素之和为偶数的概率为 ．(结果用含的代数式表达)
一、单选题
1．（23-24高三下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）
A．350B．295C．285D．230
3．（23-24高三下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列.数列满足，.现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A．175B．176C．177D．178
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a8＝21B．S7＝32
C．＝a2nD．＝a2 022
7．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前项和
C．D．
8．（23-24高三上·安徽阜阳·阶段练习）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，并将数列中的各项除以3所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．（23-24高三下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第层从左到右的数字之和记为，如，，…，则的前9项和 .
11．（24-25高三·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
12．（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列”满足，给定前2项均为1的“兔子数列”，记其前项和为Sn，试用含的代数式表示Sn= ．
13．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项．
1、第二层是自然数列
2、第三层是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列






一、斐波那契数列
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。
2、斐波那契数列的递推公式
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn）
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