专题04 构造函数的应用（4大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14955" 题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） PAGEREF _Tc14955 \h 1
\l "_Tc19171" 题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） PAGEREF _Tc19171 \h 2
\l "_Tc19807" 题型03 构造函数求参数的最值（范围） PAGEREF _Tc19807 \h 4
\l "_Tc24244" 题型04 构造函数证明不等式 PAGEREF _Tc24244 \h 5
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（ ）.
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知，若函数，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．
(2)当时，证明：，．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，证明：.
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数.
(1)若在0,+∞上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：．
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有成立．若，则不等式的解集为 ．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 .
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
14．（2024·天津·二模）已知，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：．
15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若函数，且，证明：.
【常见同构形式】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
（2）对于，构造．
模型11.（1） （2）