2024~2025学年湖北省老河口市八年级上期中数学试卷（解析版）

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1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（ ）
A. ） B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2. 下列设计中，没有利用三角形稳定性的是（ ）
A. 自行车三角形车架B. 自动伸缩门
C. 屋顶三角形钢架D. 长方形门框的斜拉条
【答案】B
【解析】A．自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意；
B．伸缩门，没有利用三角形稳定性，故符合题意；
C．屋顶三角形钢架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意；
D．长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性，故不符合题意．
故选：B．
3. 用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
4. 已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】C
【解析】根据多边形内角和可得：（n-2）180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选C．
5. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵图中的两个三角形全等，
∴b与b，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故选：A．
6. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】解：A、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
C、，，，符合，和不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；
D、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：C．
7. 已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. 平分D.
【答案】B
【解析】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形．
故选：B．
8. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】解：∵在一个内角是的等腰三角形中，该内角必为顶角，
∴底角的度数为，
故选：A．
9. 已知点P在ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：满足PA＝PC，则点P在线段的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，，不在线段的垂直平分线上，不符合题意；
故选B
10. 如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】解：如图所示，作点E关于直线l的对称点H，连接交直线l于点P，此时最短，由图可知，交直线l于点C，
∴点应选在C点，
故选：C．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长分别为3，4，第三边长可以是____（填一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】解：设三角形的第三边长为x，
则，即，
∵第三边的长为整数，
∴或3或4或5或6．
故答案为：2（答案不唯一）．
12. 在平面直角坐标系中，与点A（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是_____．
【答案】（-5，-1）．
【解析】解：点A（m，n）关于y轴对称点的坐标A′（-m，n）
∴点A（5，-1）关于y轴对称的点的坐标为（-5，-1）．
故答案为：（-5，-1）．
13. 如图，___度．
【答案】
【解析】解：如图：

由三角形内角和定理可得：
，
，
,
，
又∵，，，
∴，
∵，
，
,
∴
故答案为：．
14. 如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是___．
【答案】2
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：2．
15. 在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是___．
【答案】4或6
【解析】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解；
当在左侧时，如图1，
∵，是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
当在右侧时，如图2，
同理，，
∴；
综上所述，的长为4或6，
故答案为：4或6
三．解答题（本大题共9个小题，共75分）
16. 如图，在中，平分，平分，若，求度数．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴的度数为．
17. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，，．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件 ，使得，并证明．
解：添加条件．
证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴．
18. 如图，的高，相交于点，若，求证：．
解：证明：∵ ，是的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 如图，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
解：（1）证明：，，
且，，
在与，
，
．
（2）解：，
，，
．
20. 如图，在中，．
（1）作的垂直平分线，分别与AB，相交于，两点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
解：（1）解：如图即为所求作的图形．
（2）证明：如图，连接CD．
∵DE的垂直平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
21. 如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交AD，于，两点，连接并延长交AB于点
（1）求证：；
（2）若，求 的度数．
解：（1）证明：∵垂直平分，
∴．
∴．
∵，于点，
∴．
∴．
（2）解：设，则，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，有．
解得．
∴．
22. 如图，点E，F在上，，，．

（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
解：（1）证明：在和中
，
∴．
∴．
∴．
（2）解：设．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
在中，有．
解得．
∴．
23. 为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接．
（1）如图1，当点D在延长线上时，交于点F，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）如图2，当点D在延长线上时，连接，若，请直接写出线段与线段的关系．
解：（1）①证明：，为等边三角形，
，
，．
，
．
在和中
，
()．
②解：，为等边三角形，
，，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，；
，
，
，为等边三角形，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：．
（1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题．
【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？
（2）如图2，请你回答老师的提问，并证明．
【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长．
（3）请你解答兴趣小组提出的问题．
解：（1）作于点E．
∵，
∴，
∴
∵和的平分线交于点P，
∴，
∴．
（2）成立．
延长交于点F．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中
∴．
∴．
（3）∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
同理．
∴．
由（2）可知，，
∴．
∴．
∴．