2024~2025学年河南省洛阳市强基联盟高二上12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省洛阳市强基联盟高二上12月联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知，
所以．
故选：A．
2. 双曲线C：的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，
其渐近线的方程为，即.
故选：B.
3. 顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意设抛物线方程为，
将代入得，
所以所求抛物线方程为.
故选：C.
4. 已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】因为，
所以，又，当且仅当时取等号，
所以的最大值为4.
故选：B.
5. 已知数列中，则数列前2024项的和为（ ）
A. 0B. 1012C. 2024D. 4048
【答案】C
【解析】因为，，
所以，，，，
，…，所以数列是周期为4的周期数列，
且，
所以.
故选：C.
6. 若椭圆E：的周长为C，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】把化为标准方程为，
以长轴为直径的圆周长为，
边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，
所以，，所以A，C错误；
以短轴为直径的圆周长为，
以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，
所以，，所以B错误，D正确.
故选：D
7. 已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，可得，，
两式相减可得，
点是弦AB的中点，且直线l：，
可得，，，
代入可得有，即，
∴，，故双曲线C的离心率为，
经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：D.
8. 已知抛物线：的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线：的准线为，所以，
因为直线交于两点，
所以直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由，消去y得，
所以，即，，，
因为，所以，得，
所以或，
所以，满足.

故选:B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列数列中，为递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A.，
所以，
所以为递增数列，故A正确；
对于B，，所以为递减数列，故B错误；
对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D，，所以，
所以为递增数列，故D正确.
故选：AD.
10. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ）
A. 的离心率为
B. 的值可以为3
C.
D. 若的面积为，则
【答案】ACD
【解析】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确；
B选项，设，且，则，
故，
所以，B错误；
C选项，由对称性可得，所以，C正确；
D选项，不妨设在第一象限，Ax0,y0，则，则，
则，则，
故，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（ ）
A. 曲线H的方程为
B. 曲线H的离心率为
C. 经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条
D. 四边形面积的最小值为8
【答案】AC
【解析】对于A，圆：的圆心为，半径，
因为线段的垂直平分线交直线于点M，则，
所以，
所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，，
所以，所以曲线H的方程为，故A正确；
对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，经过且与曲线H相切的直线是，符合题意；
当直线斜率存在时，经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件，
所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；
对于D，因为，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，
又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q，
由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为，
联立消去x并整理得，
易得，
因，所以，
所以，
两条直线AN与BQ间的距离，
所以，
令，，所以，
因在上单调递减，且，
所以在上单调递增，
当即时，取得最小值为12，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的焦距为2，则______．
【答案】5或7.
【解析】当椭圆焦点在轴时，，
由焦距为得，，故，解得.
当椭圆焦点在轴时，，
由焦距为得，，故，解得.
故答案为：5或7.
13. 若数列满足，且，为其前n项和，则最小值为________.
【答案】10
【解析】由，解得，
所以数列中，只有，为负数，
所以的最小值可能为或或，又，，
所以的最小值为10.
故答案为：10
14. 已知抛物线,为抛物线上任意一点,过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为________.
【答案】
【解析】圆的标准方程是，
则圆心为，半径为，
设，，所以，
（由对勾函数性质得其单调性）.
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是数列的前n项和，若，是等差数列，.
（1）求；
（2）求数列的通项公式.
解：（1）设数列的公差为d，则由，得，
所以，即，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以时，，
上面这个式子对也适合，
所以时，.
16. 已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点.
解：（1）设动点，则，
所以，，，
因为，所以，即轨迹C的方程为.
（2）联立方程，消去y并整理得，
所以，且，所以且，
设，，则，.
若以AB为直径的圆过点，则，所以，
即，
所以，
所以，
化简，得，解得，满足，
所以.
17. 已知等差数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若是递增数列,,求证：.
解：（1）设等差数列的公差为，
则，
所以，
所以数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）知数列是公差为的等差数列，
因为，即，
因为，
所以，
所以，
所以
得证.
18. 设F为抛物线C：的焦点，，，为C上三个不同的点，且，.
（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l交C于P，Q两点.
①若直线l交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求的最小值；
②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点.
解：（1）由题意得焦点，设，，，
因为，
所以，
即，
所以|
解得，
所以C的方程为.
（2）①圆化为标准式为，其圆心恰为F，半径为1，
当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为，Px1,y1，Qx2,y2，
由得，，
，，
因为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
当直线l斜率不存在时，，，，
所以的最小值为4.
②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，
由①得，，则.
用替换k得点.
当，即时，直线DE的斜率，
所以直线DE的方程为，整理得，
所以直线DE恒过点；
当时，直线DE的方程为，也过点.
综上所述，直线DE恒过点.
19. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值．
解：（1）因为，所以，
又且以为圆心的圆与直线相切，所以，
又圆过点，所以，解得，
所以，
故椭圆方程为；
（2）如图所示，

不妨令直线，，
联立，得，
所以，解得，
又，
且点到直线的距离为，
，
所以，
当且仅当时取到最大值，此时满足，
所以.