2024~2025学年河南省金科大联考高二上12月质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省金科大联考高二上12月质量检测数学试卷（解析版），共15页。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知，或，
所以.
故选：C．
2. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴在上单调递增，∴，
∵，∴在上单调递增，∴，
，，
所以．
故选：D．
3. 在等比数列中，如果，，那么（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由，，
所以，则，
所以.故选：.
4. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】圆：的圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
所以，
则，所以圆与圆相交，
所以圆与圆的公切线的条数为2．故选：B．
5. 已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记椭圆的左焦点为，连接，
又点是线段的中点，为的中点，所以，
又，所以，
在椭圆中，，
又点是上的一点，所以，所以．
故选：A．
6. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点关于直线的对称点为，
则中点在直线上，即①，
直线与直线垂直，即②，
解得，即点关于直线的对称点为，
又，所以，
所以直线的方程为，即，
由，解得，，
所以当取得最小值时，点的坐标为．
故选：B．
7. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】A
【解析】由余弦定理得
，
∴，
∴，∴（负值已舍去）.
故选：A．
8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】∵，∴当时，，
整理得，即，
∵各项均为正数，∴，
由得，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，，
∴.
令，则，
当时，，当时，，
∴．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 为方程的一个根
【答案】ACD
【解析】对于A，，故，其实部为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于第二象限，故C正确；
对于D，易得，故D正确．
故选：ACD．
10. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等比数列
B. 数列是等差数列
C.
D.
【答案】BCD
【解析】因为，，又数列是递增的，
所以，所以公比，，所以，
所以，
得，，，，故A错误；
由于，所以数列是等差数列，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为16
D. 若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
【答案】ACD
【解析】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，得，
所以，，，故A正确，B错误；
，
所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确；
因为，所以，所以的外心就是弦的中点，
记为，其中，．由，以及，
得，
即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以，
所以，当且仅当，
即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为__________．
【答案】1
【解析】由两边平方得，
即，
即，解得，（舍）.
故答案为：1.
13. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为__________．
【答案】
【解析】，
则有，
即点到直线的距离为.
故答案为：.
14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，
由双曲线的对称性可知为线段的中点，
则，所以．由直线的斜率，
得，
则直线的斜率．
设Ax1,y1，Bx2,y2，则两式相减，
得，
化简得，即，
所以该双曲线的离心率．故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式和；
（2）若，求数列前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，
解得，，
所以，；
（2）由（1）知，
所以
.
16. 如图,已知在三棱锥中,平面,,,为线段上一点，，为的中点，．
（1）试确定点的位置；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）由平面，，得直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，得，则，
设，则，
于是，，
由，得，解得，
所以点在线段上且.
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量，则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知点是抛物线：y2=2pxp>0上的一点，点，是上异于点的不同的两点．
（1）求的标准方程；
（2）若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值．
解：（1）因为点是抛物线：上的一点，
所以，解得，
所以的标准方程为；
（2）显然直线、的斜率存在且，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，，
所以，解得，
同理可得，
所以，
即直线的斜率为定值，该定值为．
18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上．
（1）求和的通项公式；
（2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和．
解：（1）因为，
所以当时，
，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
因为点在函数的图象上，
所以，即，又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以；
（2）因为是所有的正偶数，又，
所以，
所以
.
19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，．
（1）求的标准方程；
（2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程；
（3）记直线与直线的交点为，求的最小值．
解：（1）由题意知，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意知直线的方程为，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由，得，
所以，解得，
所以，，
所以，
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，所以或或或，
所以直线的方程为或或或；
（3）由题意知直线的方程为，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由，得，
所以，解得，
所以，，
设，因为，Ax1,y1，在同一条直线上，
所以，
又，，Bx2,y2在同一条直线上，所以，
所以，
所以，所以点在直线上，
所以．