2024~2025学年安徽省江南十校高二上12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年安徽省江南十校高二上12月联考数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名，考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
，
，
由题意，得，解得，即.
故选：C.
2. “且”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；
必要性：若方程表示椭圆，则，必有且，必要性成立，
因此，“且”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是直线和的公共点，
所以，且，
所以两点和都在同一条直线上，
故直线的方程是.
故选：A.
4. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知，
设中点为，
则，
所以，
故选：D.
5. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意直线的方向向量，，则，
，，所以点到直线的距离为
，
故选：B.
6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圆的方程知：圆心C0,1，半径，
，的几何意义是圆上的点与点2,1连线的斜率，
设过点2,1的圆的切线方程为：，即，
圆心C0,1到切线的距离，解得：，
，.故选：C.
7. 焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：F1,0，故，，
过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点，
如图,由抛物线定义可知，
由∽得，，又，故，
令，则，故，
所以，故，
即为的中点，由∽得，
又，得，则，
将代入中，，由图可知，取正值，
则点，
由∽得，，
又，故，则，
将代入中，，由图可知，取负值，
即，由对称性可知，
所以，
中，令，解得，故，
故⊥轴，
于是所求三角形的面积；
方法二：F1,0，故，，
过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点，
如图,由抛物线定义可知，
由∽得，，
又，故，
令，则，故，
所以，故，
即为的中点，由∽得，
又，得，则，
将代入中，，由图可知，取正值，
则点，
由∽得，，
又，故，则，
将代入中，，由图可知，取负值，
即，由对称性可知，
所以，
中，令，解得，故，
则，
又，故.
故选：B.
8. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，
过作于，则，
因为，，所以，
因为，所以，即为线段的中点，
因为为的中点，所以，
所以，，
设，
则，，，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
所以，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中真命题为（ ）
A. 过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条
B. 已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条
C. 过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条
D. 过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条
【答案】BCD
【解析】对于A：设过点与坐标轴相交的直线方程为：，则
，即，又 ，即
当时可得：，解得：或
当时可得：，即，此时，方程也有两组解，故共有4组解，即过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有4条，A错误
对于B：因为，以为圆心，分别以2，3为半径作圆，则圆与圆相外切，
它们的3条公切线即为满足条件的直线，所以B正确；
对于C：因为，当时，，所以在抛物线的外部，
显然过与抛物线相切的直线有两条，
过与轴平行时，与抛物线也只有一个交点，故共有3条直线，所以C正确，
对于D：
设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支相交于，
当直线斜率不存在时，直线的方程为则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，
消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，
过双曲线的右焦点作垂直实轴的直线，被双曲线右支截得的弦（通径）长为，
又双曲线的实轴长，
所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为5的直线有2条，共有3条，所以D正确；
故选：BCD
10. 已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（ ）
A. 当，，时，的最小值为
B. 当，，时，三棱锥的体积为3
C. 当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是
D. 当，且时，则的轨迹总长度为
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，，即，故点在上，
将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图：
连接交于，此时，，三点共线，取到最小值即，
即，A正确；
对于B，由于，时，则为的中点，
以为空间直角坐标原点，以，，分别为，，轴建系，如图
则，
所以，
所以，
是平面的一个法向量，，
则点到平面的距离为，
所以，B错误；
对于C，当时，点与点重合，
此时经过三点截正方体所得截面是矩形，
其面积；
当时，点与点重合，
经过三点截正方体所得截面是三角形，
其面积，
当时，设经过三点截正方体所得截面是梯形，
梯形的面积随的增大而减小，故截面面积的取值范围是，C错误；
对于D，当时，可得四点共面，
所以点的轨迹在内（包括边界），
由选项B知，，是平面的一个法向量，
设点在平面的内的投影为，
因为，所以为的中心，
所以点到平面的距离为，
若，则，
即点落在以为圆心，为半径的圆上（如上右图），
点到三边的距离为，
此时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，
其轨迹长度为，即D正确；
故选：AD.
11. 过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于两点（异于点），则（ ）
A. 过点与相切的直线方程为
B. 若点，关于轴对称，则为定值
C. 若，则直线经过定点
D. 分别以，，为切点作抛物线的三条切线，，，若，两点的横坐标相等，则
【答案】ABD
【解析】因为点在抛物线上，所以，所以，
所以抛物线的方程为.
对于A，设过点的切线方程为，
联立，得，
所以，所以，
所以切线方程为，故A正确；
对于B，由题意设，，则
，
又因为，
于为定值，故B正确；
对于C，设，，由题意可知，直线斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为，
联立，得，所以，，，
所以，，
所以，
所以，所以直线的方程为，
所以直线恒过定点，故C错误；
对于D，设，，以为切点的切线方程为，
则，
令，得，
所以切线方程为，
同理可得以为切点的切线方程为：，
以为切点的切线方程为，
联立与的方程可得，
即点的横坐标为，由题意，
则切线的斜率，
又直线的斜率，即，
所以，故D正确.
故选：A B D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的焦点坐标是______.
【答案】
【解析】由题意知化简为，所以焦点坐标为.
故答案为：
13. 蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为_____________.
【答案】
【解析】设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：
则是椭圆的长半轴长，等于椭圆的短半轴长，则，
又，则
故答案为：.
14. 如图，在正方体中，，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为_____________.
【答案】
【解析】以为空间直角坐标原点，分别以为，，轴建系如图，
设，，
设，则，
①当或时，；
②当且时，令，（当且仅当取等号），令，函数在为增函数，故.故，所以.
综上：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）求的最大值.
解：（1）中点坐标为，，
故中垂线为，即，
与联立，解得圆心点坐标为，
圆的半径，故圆
（2）法一：设中点坐标为，，故点在为直径的圆上，
设中点，，，则
，所以，
以为直径的圆的方程：，
故，
当且仅当三点共线时取等号，故.
法二：①当直线的斜率不存在时，中点坐标，
；
②当直线斜率存在时，设直线：代入整理得：
，
设，则，，
，
，
因为求的最大值，可令，代入上式可得：
，
当且仅当，即时取等号.
易求，故.
16. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，.
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值.
解：（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把
代入方程，可得，
又，
即，又，解得，，
双曲线的方程为：.
（2）设直线的方程为：，联立方程，
化简得，
设，则，，结合直线的方程得，
即中点坐标为.
于是，（倾斜角，或）
当或时，，直线方程为：，令得，此时，
于是，令，
则，
由知，当时，，
故的最小值为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.
（1）试确定点的位置，使得平面，并证明；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）取为三等分点，且，过作，
则，所以为平行四边形，所以，
又，，
所以平面.
（2）由题意平面底面，平面底面，，
平面，所以，所以直线与平面所成角的平面角为，在中，由，得.
设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则， ，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
由，取，可得，
易求平面法向量，设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为 .
18. 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线，与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，和，四点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：；
（3）设直线，的倾斜角互补，求证：.
解：（1）椭圆的离心率，令椭圆的半焦距为c，
则，椭圆，又点在上，
于是，
解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）若斜率不存在或为0，由对称性知：；
若斜率存在且不为0，设中点为，，
则，，两式相减得，
，直线的斜率分别为，于是，
设中点为，直线的斜率为，同理，
则，
而点与都在直线，则有点与重合，
即，
所以.
（3）由（2）知，，
同理，
依题意，直线斜率存在，设直线，
由
消去得，
设，
则，，
，
由直线的倾斜角互补，则的斜率为，同理，
因此，所以.
19. 设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为.
（1）设，为空间中任意取定的一点，求证：；
（2）若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值；
（3）如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：.
解：（1）由题意得，故，
，故；
（2）设，则，因为是共线的三个不同点，故，
所以，，
，即，
，故，因为是共线的三个不同点，故
所以，，，
故.
（3）设，
因为和三点共线，，参照（1）证明可得：
①，
又因为三点共线，所以存在，使得，代入①式可得：
②，
同理，利用，可以找到实数和，使得
③，
④，
联立②③消去，联立②④消去，可得：
，，
又因，和中任意两个向量互不共线，
故有，
由得，由得，
又，故，即，
所以.得证.