2024届高考安徽省江南十校联考高三数学试卷(含答案)

这是一份2024届高考安徽省江南十校联考高三数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，满足，.若，则实数( )
A.B.C.3D.-3
4．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为( )
A.B.C.D.
5．酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定:机动车驾驶人每血液中酒精含量达到为酒后驾车，及以上为醉酒驾车，若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为(精确到0.001.参考数据:，)( )
小时小时小时小时
6．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．已知圆，点.过原点的直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，，，则使得恒成立的实数M的最小值为( )
A.1B.C.D.2
二、多项选择题
9．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名，在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数：中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）：整个箱体的高度为四分位距：位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI箱线图.AQI值越小，空气质量越好：AQI值超过200，说明污染严重.则( )
A.该地区2023年5月有严重污染天气
B.该地区2023年6月的值比5月的值集中
C.该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中
D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月
10．已知抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点P(原点除外)反射，则反射光线平行于x轴.经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于B，C两点，经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于Q;抛物线E在点P处的切线l与x，y轴分别交于点M，N，则下列说法成立的是( )
A.B.
C.D.
11．已知点S，A，B，C均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．从0，2，4，6中任意取1个数字，从1，3，5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为____________.
13．若函数为偶函数，是奇函数，且，则____________.
14．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线的右焦点F的直线在第一、第二象限交E的两渐近线分别于M，N两点，且.若，则双曲线E的离心率为____________.
四、解答题
15．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A;
（2）若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针旋转，，旋转后相交于点D(如图所示)，且，求AD.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，.
（1）求证:平面平面ABCD;
（2）若二面角的大小为，点E在棱PD上，且，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
17．某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4用样本估计总体.
（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）;
（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品;如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元;整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.
附:若随机变量Z服从正态分布，则，，.
18．已知矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF所在直线为x轴，EG所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系.直线HF，BC上的动点R，S满足，.
（1）求直线ER与直线GS交点P的轨迹方程;
（2）当时，过点R的直线m(与x轴不重合)和点P的轨迹交于M，N两点，过点N作直线的垂线，垂足为点Q.设直线MQ与x轴交于点K，求面积的最大值.
19．已知函数，，是的导函数.
（1）证明:在上有唯一零点;
（2）设函数.
①当时，求函数的单调区间;
②当时，讨论函数零点的个数.
参考答案
1．答案：C
解析：由得，由得，所以.
2．答案：A
解析：，所以.
3．答案：B
解析：由于，，所以，，又因为，所以，解得.
4．答案：B
解析：将函数的图像向右平移个单位长度后得到的图象，则，因为是偶函数，所以，，即，，又，令，可得.
5．答案：C
解析：由已知得:，所以即，所以.
6．答案：B
解析：由得，
所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点;
②若，则，
即，
由，即，
得或.
综上:或或.
7．答案：D
解析：设AB的中点为点P，则，由垂径定理知，则可得点P的轨迹E为以OC为直径的圆(圆C内部的圆弧)，
其方程为，则可得点到轨迹E上点P的距离取值范围为，从而的取值范围为.
8．答案：C
解析：当时，，
当时，，
所以，即，
所以，
则，，为等比数列，，
即时，，
所以，得.
9．答案：ACD
解析：对于A选项可以从图2所示中5月份有AQI值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断);对于B，C选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的值比6月的值集中;对于D选项，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月.
10．答案：BCD
解析：对于A，B选项，设点，而，而，，，则A选项错误，又，，则B选项正确;对于C选项，如下图所示，过点P作x轴的平行线RH，与抛物线E的准线KH交于点H，又题意所给抛物线的光学性质可得，又，所以，从而;对于D选项，因为，所以，即PM为的角平分线，又由抛物线定义知，结合，可得菱形MFPH，而y轴经过线段FH中点，从而PM与y轴的交点即为点N，所以.
11．答案：BC
解析：方法一:如图，设三棱锥的外接球球心为O，的中心为，连接，，延长交BC于D，连接SD，则D是BC中点，所以，又，所以平面SAD，又因为平面ABC，所以平面平面ABC，过S作AD的垂线，垂足为G，则平面ABC，在中，，设，，过O作SG的垂线，垂足为E.若A、在SG的同侧，则在中有，在中有，联立得或，所以三棱锥的体积为或;若A，O在SG的异侧，同理可解得或，与矛盾(舍去).故选BC.
方法二：设三棱锥的外接球球心为O，连接AO并延长交大圆于F，过S作AD的垂线，垂直为G，可证得面ABC.
①S在直线AF的上方，设，，则，
所以，，
可得，
.
②若点S在直线AF的下方，则，，
所以，，
可得，
，故选BC.
12．答案：
解析：若0在，则三位数有;若0不在，则三位数有.所以没有重复数字的三位数有66个，其中偶数的个数是个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是.
13．答案：-3
解析：由为偶函数，得，
由是奇函数，得，即，
由，得，
相加得:，
用代换x得，
从而，
故，
所以4是的一个周期，
故结合(*)式得.
14．答案：
解析：如图，设，，因为，易知，，所以;又，所以，在直角中，利用勾股定理可得，所以，求得(负值舍去)，也即，所以可得离心率为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
又因为，
所以，
由于，所以，即，
又，则，因此.
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由于，
由正弦定理得.
于是，在中，由余弦定理得：
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:由余弦定理得，
所以，，
因此，，
又因为，，平面PAB，
所以面PAB，
又因为平面ABCD，
故平面平面ABCD，
（2）由于，，
所以二面角的平面角为，即，
在平面PAB内过点B作AB的垂线，交AP于F，
由平面平面ABCD，得平面ABCD，
以B为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面PBC的法向量为，由于，，
则，即，令，则.
所以，
设直线CE与平面PBC所成角为，
，
，
因此直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.
17．答案：（1）5件
（2）89330元
解析：（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数和，得产品的尺寸误差，，因此估计这批产品的合格率为.因此样本的不合格品率为，所以估计100件产品中有件不合格品.
（2）方法一:设“抽检的第1件产品不合格”，“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为.
因此.
设100箱产品通过检验的箱数为Z，则.
所以100箱利润，
因此平均利润（元）.
设整箱产品的利润为随机变量，则，，所以.
设100箱该产品的利润为随机变量X，则，
所以（元）.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设点，，，
由得，即，
由得，即，
当时，直线.①
直线.②
由①②消去参数得即;
当时，得交点;
综上:直线ER与直线GS交点P的轨迹方程:(不含点).
（2）当时，点，过点R的直线m可设为，
代入得，
即，
设，，
则，，
由题得，
则直线，
所以令，
得，
又因为，代入上式得:
.
所以直线MQ过定点，
由于，
而，
令，
，
当且仅当，也即等号成立，
此时.
所以面积的最大值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①的递增区间是，;递减区间是；②一个零点0
解析：（1），
由得，，
令，则，
所以为R上的增函数，
又，
若，由于且，
若，由于且，
综上:存在唯一零点，使得，
即在上有唯一零点.
（2），
①由（1）知有唯一零点且为增函数，所以的根为，.又，则，
所以由得或;由得，
所以函数的递增区间是，;递减区间是.
②由得0是函数的一个零点.
(i)若，由①同理可得.
当时，，则单调递增当时，，则单调递减当时，，则单调递增又因为所以仅有一个零点0;
(ii)若，则，即则，所以时，单调递增.
所以仅有一个零点0;
(iii)若，则，所以当时，，则单调递增当时，，则单调递减当时，，则单调递增.
所以，因为，所以当时，当时，，
所以仅有一个零点0.
综上:当时，函数仅有一个零点0.