2023~2024学年广东省广州市越秀区高二上期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省广州市越秀区高二上期末考试数学试卷（解析版），共19页。
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列直线中，倾斜角小于的直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设所求直线的倾斜角为，
则，其斜率为.
对于A选项，直线的斜率为，不合乎要求；
对于B选项，直线的斜率为，不合乎要求；
对于C选项，直线的倾斜角为，不合乎要求；
对于D选项，直线斜率为，合乎要求.
故选：D.
2. 已知数列满足，（），则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】因为，（），
所以.
故选：B.
3. 如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，
.
故选：A.
4. 若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A. 25B. 16C. 5D. 4
【答案】C
【解析】双曲线的焦点为，
因为椭圆（）与双曲线的焦点相同，
所以，解得.
故选：C.
5. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为空间三点、、，则，，
所以，，，，
所以，，
因为，
则，
所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.
故选：D.
6. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（参考数据：）
A. 6天B. 15天C. 18天D. 21天
【答案】C
【解析】设第轮感染的人数为，
则数列是首项，公比的等比数列，
由，
解得，
两边取对数可得，，
得，
故需要的天数约为.
故选：C.
7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，
则，故，
因为的准线为，所以，，
所以，解得，
故抛物线C的方程为.
故选：B.
8. 高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】A
【解析】如图，设高8m和4m的两根旗杆分别为，观测点为点，
则，故，
所以，
所以，
如图，在平面中，以点的中点为原点建立平面直角坐标系，
则，
设Px,y，
则，
化简得，为圆，
所以地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为圆.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知双曲线C的方程为，则（ ）
A. 双曲线C的焦点坐标为，
B. 双曲线C的渐近线方程为
C. 双曲线C的离心率为
D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A：由双曲线，则，即，
所以双曲线的焦点坐标为，故A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于C：双曲线C的离心率，故C正确；
对于D：双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知圆：，直线：（），则（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 直线l被圆C截得的最长弦长为10
C. 当时，直线l被圆C截得的弦长最短
D. 当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4
【答案】AB
【解析】对于A，直线的方程变形为：，
令，解得，
所以直线l恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心，半径，
当直线过圆心时，弦长最长为，故B正确；
对于C，当时，弦长最短，
此时，解得，故C错误；
对于D，当时，直线：，
此时圆心到直线的距离，
而，
所以当时，圆C上有4个点到直线l距离等于4，故D错误.
故选：AB.
11. 已知公差不为等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】设等差数列的公差为，则，其前项和为，，，
则当时，，当时，，只需，
可得，所以，，则，
所以，，故选：BC.
12. 已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成角的大小为
B. 点到直线的距离为
C. 直线与平面间的距离为
D. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】将正四面体放入正方体中，
以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，

因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，，，
因为点分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为
所以，
设，
则，
所以，
所以，
对于A，，
则，
所以直线与所成角的余弦值为，
又直线与所成角的范围为，
所以直线与所成角的大小为，故A正确；
对于B，，
设直线所成的角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，故B正确；
对于C，设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线平面，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，故C错误；
对于D，因为平面，平面，所以，
则，
即，解得，
则，
设的重心为，则，
故，
则，所以，
又平面，
所以平面，
又因为点为等边三角形的重心，
所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
则三棱锥外接球的球心在直线上，
设三棱锥外接球的半径为，
则，即，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知各项均为正数的等比数列满足，则的公比为______.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，对任意的，，则，
因为，则，可得，
因为，解得，因此，数列的公比为.
故答案为：.
14. 已知直线与互相平行，则这两条直线间的距离是______.
【答案】
【解析】因为直线与平行，则，解得，
所以，这两条平行直线的方程分别为、，
故这两条平行间的距离为.故答案为：.
15. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽______米．
【答案】
【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，
，代入，得，
故水面宽为．
故答案为：
16. 在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为______，点到直线的距离的最小值为______.
【答案】；
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
则A0,0,0、、、，
因为点是侧面上的动点，设点，
设平面的法向量为m=x,y,z，，，
则，取，可得，且，
因为平面，则，即，
可得，分别取线段、的中点、，
所以，点的轨迹为线段，
故点的轨迹长为，
，由，可得，
，
所以，点到直线的距离为
，
因为函数在上为增函数，
所以，当时，取最小值，且.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的前n项和公式为（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）当时，，
当时，，
显然时，，满足要求，
综上，；
（2），
则，
所以为等差数列，
故；
18. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若经过点1,4的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．
解：（1）令得与轴的交点为，
令，即，解得，或，可得
与轴的交点为，，
设圆C的方程为，
所以，解得，
所以圆C的方程为；
（2）圆C的方程为，圆心为，半径为，
当直线l的斜率不存在时，可得方程为，
被圆C截得的弦长为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆C截得的弦长为，解得，
直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为，或.
19. 如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面ABD夹角的余弦值．
解：（1）由题意知，则，
故，又，且平面，
故平面，而平面，
故平面平面；
（2）作，垂足为E，在平面内过点E作，交于F，连接，
则即为平面与平面ABD夹角或其补角，

由题意知，，
故，，
又在中，，
则，
则，
又平面，平面，故，
则，
故，即，
在中，,
故平面与平面ABD夹角的余弦值为．
20. 在平面直角坐标系中，动圆C经过定点，且与定直线l：相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．
解：（1）设点与直线l：相切的切点为，则，即动点C到定点和定直线l：的距离相等，点C轨迹且以为焦点，以直线l：为准线的抛物线，，故动圆圆心C的轨迹方程是；
（2）由题意，可知直线斜率不为0，
设直线的方程为：，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程组，得，则，所以，
则，所以，，
所以直线AP经过原点O．
21. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
解：（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故,
又平面，平面,所以平面；
连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点，
M是的中点，在中，有，平面，平面,
所以平面，且平面，平面,,
所以平面平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设，，
则，又M是的中点，
故,，因为，
所以，解得，设，因点P为线段上一点，
则，即，
故，所以，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
即，设直线与平面所成角为，
则
当时，
设，，所以，
当时，所以，
当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线与椭圆分别相交于、两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，求椭圆的方程．
解：（1）因为，且，可得，，
因为，由勾股定理可得，即，
可得，故该椭圆的离心率为.
（2）设Ax1,y1、Bx2,y2、，
由，得，所以，所以
则，即，
由于、在椭圆上，则，，①
由，得，即，
由在椭圆上，则，即，
即，②
将①代入②得：，③
若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点为，设直线的方程为，
联立可得，
，
所以，
其中，
解得，
所以，直线方程为，
又，④
将④代入③得：，经检验满足，
所以椭圆的方程为.