2024-2025学年天津市红桥区九年级上学期期末考试 数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年天津市红桥区九年级上学期期末考试 数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A. 小星定点投篮1次，不一定能投中B. 小星定点投篮1次，一定可以投中
C. 小星定点投篮10次，一定投中4次D. 小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
4. 方程的两个根为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
∴或
解得：
故选：B．
5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是．
故选：A
6. 抛物线的对称轴为（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】，
∴对称轴为直线：，
故选：B．
7. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
，
故选：A．
8. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，

直线与相切，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9. 若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
则对称轴，
∵，且，
∴，
故选：C．
10. 如图，要测量一个残缺圆形工件的半径，解决方案如下：在圆形工件的圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线，与相交于点D，与相交于点C，若测得，则该圆形工件的半径为（ ）
A. 50cmB. 35cmC. 25cmD. 20cm
【答案】C
【解析】如图所示，连接，根据题意可知，
∵，
∴．
根据勾股定理得，
，
解得．
故选：C．
11. 如图，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，交于点F．当点E落在边上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】以点A为中心逆时针旋转得到，
，
A、B、C都无法得出，
是等边三角形，
，
，
故选：D．
12. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论：
①；
②；
③；
④若方程的两根分别为，则．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，
∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：，
∴，
∵抛物线与y轴的交点C在点之间，
∴，抛物线的开口向上，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标，
∵直线过点0,1和，如图，
∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④正确；
故选B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球概率是______．
【答案】
【解析】袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球和3个蓝球，
从袋子中随机取出1个球，它是蓝球的概率是：，
故答案为：．
14. 已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为______．
【答案】
【解析】∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
15. 若抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则，
解得，，
故答案为：．
16. 如图，四边形是的内接四边形，AB是的直径，若，则的度数为____．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵是直径，
，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
故答案为：．
17. 当时，二次函数的最大值为______．
【答案】10
【解析】∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，，，
∴当时，二次函数，此时最大，
故答案为：10．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C．
（1）的大小等于 （度）；
（2）若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】解：（1）∵为的直径，
∴；
（2）如图，取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O．延长与网格线相交于点G；连接与相交于点P，则点P即为所求．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解一元二次方程．
解：原方程化为．
可得．
．
方程有两个不等的实数根．有．
即．
20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球的标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和小于．
解：（1）根据题意，所得的结果列表如下：
共有种等可能的结果．
两次取出小球的标号相同的情况有种，
两次取出的小球的标号相同的概率；
（2）从表中可以看出，两次取出的小球的标号的和小于的情况有10种，
两次取出的小球的标号的和小于的概率．
21. 已知的半径为5，四边形内接于，．
（1）如图①，若，求弦和的长；
（2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小．
解：（1）如图，连接．
，
．
为的直径．
．
的半径为5，
．
又，
在中，．
在中，由，
解得．
（2）如图，连接．
，
．
．
．
在中，．
，
∴是等边三角形，
．
．
22. 如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若，求的大小．
解：（1）连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
（2）连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C．
①当点B的横坐标为1时，求树的高度；
②求树的高度的最大值．
解：（1）由点在抛物线上，得，解得．
由，得该抛物线的顶点坐标为
（2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为,
，直线的解析式为,
点的横坐标为1，
点的横坐标为1.
将代入,
的坐标为点的坐标为
答：这棵树的高度是2．
②点B在直线上，且直线的解析式为
设B点坐标为，则C的坐标为
∴，
当时，树的高度的最大值为．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得矩形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F，记旋转角为，其中．
（1）填空：如图①，当时，与相交于点G，点F的坐标为 ，点G的坐标为 ；
（2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点E，F的坐标；
（3）连接，M为线段的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（1）如图，过点F作轴于点M，
∵，即，
∴，
∴，，
由旋转的性质得，
∵点，
∴，
∴，，
∴，
∴点F的坐标为，
∵，
∴在中，，，
∴，
∴点G的坐标为，
故答案为：，；
（2）∵点，点，
∴，，
由旋转的性质得，，
∵是矩形，
∴，
∴在中，，
∴点E的坐标为，
如图，过点F作轴于点N，
∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，，，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
点F的坐标为；
（3）取中点，连接，，，
由旋转的性质得，，
∵是矩形，∴，
在中，，
∵M为线段的中点，的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∵在中，，当三点共线时取等号，
∴，∴．
25. 抛物线（b，为常数）顶点为P，其与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点，O为原点．
（1）若抛物线经过点M，
①当点A的坐标为时，求点B的坐标；
②连接，当时，求b的值；
（2）若，连接，，当取得最小值时，求b的值．
解：（1）①根据题意，得：，解得，
该抛物线的解析式为：．
由，得，∴点的坐标为．
②根据题意，得该抛物线的解析式为：，其中，
又，
可得顶点，
过点作轴，垂足为，
可得，，
，
∴为等腰直角三角形，
，
则，
或，
解得或．

（2）当时，，
顶点的坐标为，
由，得，
解得，
点在点的左侧，
点的坐标为，
∴将点向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点，
连接，
∵将点P向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点，
∴四边形为平行四边形，
∴，
作点关于轴的对称点，
∴，
∴，
当点共线时，取得最小值，
设直线的解析式为
，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
解得，
此时点的坐标为，
，
解得：．
第一次
第二次
1,0
2,0
0,1
2,1
0,2
0,3
2,3