专题05 解三角形(10类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15035" 题型01利用正（余）弦定理解三角形 PAGEREF _Tc15035 \h 1
\l "_Tc25360" 题型02三角形解的个数 PAGEREF _Tc25360 \h 4
\l "_Tc31337" 题型03判断三角形形状 PAGEREF _Tc31337 \h 7
\l "_Tc13383" 题型04 三角形面积（定值） PAGEREF _Tc13383 \h 10
\l "_Tc13343" 题型05 三角形面积（最值或范围） PAGEREF _Tc13343 \h 12
\l "_Tc25775" 题型06 三角形边长 PAGEREF _Tc25775 \h 16
\l "_Tc22893" 题型07 三角形边的代数和问题 PAGEREF _Tc22893 \h 19
\l "_Tc25559" 题型08 三角形周长（最值或范围） PAGEREF _Tc25559 \h 23
\l "_Tc22233" 题型09 三角形中线 PAGEREF _Tc22233 \h 27
\l "_Tc8834" 题型10 三角形角平分线 PAGEREF _Tc8834 \h 30
题型01利用正（余）弦定理解三角形
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（ ）
A．6或B．6C．D．3
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,
故或，
故选：A
【典例1-2】（2024·北京延庆·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 ，的面积为 ．
【答案】 1 /
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为，在中，由余弦定理可得：，
所以，解得：；
所以，由三角形面积公式可得：，
故答案为：；.
【变式1-1】（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.
【详解】在中，因为，
由余弦定理得
因为，所以
设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.
故选：B.
【变式1-2】（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， .
【答案】 33/133
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形
【分析】在中，运用正弦定理求得，运用余弦定理求得即可.
【详解】由正弦定理，有，所以，
由余弦定理，有，
解得.
故答案为：，.
【变式1-3】（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理求出，由同角三角函数的平方关系求出，最后由三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理可得：，
解得：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
题型02三角形解的个数
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（ ）
A．①④B．②③C．④⑤D．②④⑤
【答案】D
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】利用三角形的图形性质来判断唯一解的充要条件解题即可.
【详解】

根据已知，，可知三角形边上的高，
所以要使得存在且唯一确定的解，则或，
故有②④⑤满足，
故选：D.
【典例1-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为 .
【答案】
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.
【详解】有两解，，.
故答案为：.
【变式1-1】（23-24高一下·北京·期中）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.
【详解】由正弦定理可得，
若满足条件的三角形有且只有一个，则或，
所以或，
可得或.
故选：D.
【变式1-2】（2023·北京朝阳·一模）在中，，，．
（1）若，则 ；
（2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形
【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；
（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.
【详解】（1），，
，，
由余弦定理，，即，
解得.
（2）因为,,
所以当时，方程有两解，
即，
取即可满足条件（答案不唯一）
故答案为：；6.
【变式1-3】（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号 .
【答案】②（或③，答案不唯一）
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.
【详解】对于①，若，则，这与三角形内角和定理矛盾，不合题意；
对于②，若，则，
所以，此时，存在且唯一，符合题意；
对于③，若，则，因为，所以，
所以为锐角，此时，存在且唯一，符合题意.
故答案为：②（或③，答案不唯一）.
题型03判断三角形形状
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状
【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可；
【详解】由可得，
又，所以，
由和正弦定理可得，即，
所以，所以，所以的形状为等边三角形，
故选：D.
【典例1-2】（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是 ．
①；②；③；④.
【答案】②④
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.
【详解】对于①，若，由余弦定理可知，
即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误；
对于②，因为，则，
由正弦定理得，设，，，，
可得为最大边，为三角形最大角，
根据余弦定理得，
则为锐角，可得一定是锐角三角形，故②正确；
对于③，因为，
则，整理可得，
由正弦定理可得，可得为直角，故③错误；
对于④，因为由于，
则，
故，
由于，故，
故，，均为锐角，为锐角三角形，故④正确．
故答案为：②④．
【变式1-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、逆用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得，由及诱导公式可得，结合为三角形的内角可得，即可得结果.
【详解】，
由正弦定理得，
则，又，
可得，
为三角形的内角，
，
所以一定是等腰三角形.
故选：.
【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 .
【答案】等腰或直角三角形
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得.
【详解】在中，及正弦定理得，
而，则，
于是，则或，而，因此或，
所以为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
【变式1-3】（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 .
【答案】直角三角形
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状
【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解.
【详解】由正弦定理以及，可得，
所以
，
化简可得：，
因为，，所以，，则，
因为，所以，则的形状是直角三角形；
故答案为：直角三角形
题型04 三角形面积（定值）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式来求得正确答案.
【详解】由余弦定理得，
由两边平方得，
所以，所以.
故选：C
【典例1-2】（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1） ；（2）的面积为 .
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）在中，应用正弦定理即可；（2）由即可求得.
【详解】解：（1）因为在中，，，，
所以，
于是在中，由正弦定理可知，，
所以；
（2）.
故答案为： ；
【变式1-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，角A，B，C的对边分别是，点为边BC上的一点，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，，由余弦定理得，
即，整理得，而，解得，
又，显然是中点，所以的面积.
故选：A
【变式1-2】（23-24高一下·江苏常州·期中）在中，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得，
即，解得（舍去），
所以.
故选：A.
【变式1-3】（24-25高三上·北京丰台·期中）在中，，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】应用正弦定理、倍角正弦公式得，再由余弦定理及倍角余弦公式求得，进而得，且，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】由，结合题设有，
又，即，
所以，在三角形中，必有为锐角，
所以，故，且，
故△ABC的面积为.
故答案为：.
题型05 三角形面积（最值或范围）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】三角形面积公式及其应用、条件等式求最值
【分析】利用等面积法建立边的等量关系，再利用基本不等式求的最小值即可求解.
【详解】
如图，由已知，，且，
的面积，
又，
则有，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【典例1-2】（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值.
【详解】因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
则，
即三角形的面积的最大值是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值.
【变式1-1】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值．
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
∵，∴，
∵，当且仅当时取等号，因此，
∴面积，
∴当时，的面积取得最大值．
故选：C．
【变式1-2】（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出，由题设两边同时平方计算，再由基本不等式和三角形面积公式求解即可.
【详解】因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，设边上的中线为，
则，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
【变式1-3】（24-25高二上·湖南·期中）在中，，点在上，满足，，.则的面积为
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】设，在中和中，分别用余弦定理表示出，由等式解出，面积公式求的面积.
【详解】设，则，．
在中，．
在中， ，
解得，故，
所以．
故答案为：.
题型06 三角形边长
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，当且仅当时等号成立.
，
.
.
故选：B
【典例1-2】（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用
【分析】设设，用正弦定理将边长全部用表示，，，再用余弦定理，借助三角恒等变换，化为三角函数，求最值即可.
【详解】如图，

设，则
．，，.
由于AC边的中线，，
用余弦定理，知道，
.
,则.
故答案为：.
【变式1-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【详解】由，得，，
由正弦定理可得，即，
所以，所以或（舍去），所以，
由正弦定理得,，
而，，所以，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：B
【变式1-2】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理，求解的范围，判断选项.
【详解】由，则，
所以，故，
由为钝角三角形，则，
即，得，故，
故的取值范围为，
故选：A
【变式1-3】（23-24高一下·天津河西·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理得到，再由三角形是锐角三角形求出的范围，即可求出的范围，从而得解.
【详解】锐角中，，，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，解得，
所以，所以．
故选：D．
题型07 三角形边的代数和问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形
【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得.
【详解】在锐角中，，因为，，，
所以，，解得，
所以，，
而，
所以
可得，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，
所以，即.
故选：A.
【典例1-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的最大值为 ．
【答案】.
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、余弦定理边角互化的应用
【分析】根据余弦定理可得，将表达式化简并代入计算由辅助角公式可求得其最大值.
【详解】由根据余弦定理可得，
即，
所以
（其中,）,
,
当取最大值时，的最大值为.
故答案为：.
【变式1-1】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理及三角函数的性质即可得解.
【详解】由，
得，所以，
所以，又，所以，
由正弦定理得，
由，得，
所以，所以，
所以.
故选：B.
【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【详解】在中，由可得，
由正弦定理得：
又为锐角三角形，所以，解得，
令，则，
因为在时单调递增，
所以，则.
故选：C
【变式1-3】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形
【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
题型08 三角形周长（最值或范围）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题.
【详解】，
，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，则，
即：，
所以，又，
∴，即，
故的周长的取值范围是.
故选：D.
【典例1-2】（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.
【详解】在锐角中，，，，则，
由正弦定理， 得， ，
所，
由，得，而，则，
因此，所以周长的取值范围为.
故答案为：
【变式1-1】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式
【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，由于，故，则，
由正弦定理得，
故，
又，则，所以，则，
故△ABC周长的最大值为.
故选：D.
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，因为，
所以，即，
因为，所以，解得
因为的面积等于，则，得，
在中，由余弦定理得
的周长为，
当且仅当时等号成立，
综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为．
故答案为：.
【变式1-3】（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 .
【答案】/
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】根据正弦定理边角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面积法可得，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】，
，
即，
，
，
.
，得，
由，得，当且仅当时，等号成立.
又的周长，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
题型09 三角形中线
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由是边上的中线，得
.
所以，中线长.
故选：A
【典例1-2】（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的运算律
【分析】根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式化简求值即可求，利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
由余弦定理可得，
因为是的中点，所以，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
【变式1-1】（24-25高三上·江西·期中）在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律
【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得，再由及向量数量积运算律求得，最后应用面积公式求面积.
【详解】由，得，
即，因为，所以，
因为，所以，
由，两边平方，
所以，则.
故答案为：
【变式1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积
【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可.
【详解】
因为边BC的中线，，所以，，
，
又，
所以，，
.
故答案为：.
题型10 三角形角平分线
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解.
【详解】解：由正弦定理可得得，

由余弦定理可得，
由于所以，
，
由于，所以，
由于，，
由余弦定理可得，
，
，，
，，
，
故选：B
【典例1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是的角平分线，D在BC边上，，则a的值为 ．
【答案】/
【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值．
【详解】因为，所以由正弦定理得，即，
故，由，可得．
因为AD是的角平分线，D在BC边上，可得，
所以由余弦定理可得，，
因为，所以由角平分线定理可得，
即，
整理可得，所以由余弦定理可得．
故答案为：.
【变式1-1】（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值．
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
即，
在中，，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，因为，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
在中，，①
在中，，②
因为，所以，
由①②可得，，
解得，，
所以，由余弦定理可得，.
故选：A
【变式1-2】（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用
【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值.
【详解】在中，记所对的边为，
因为，
所以，
即 ，所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以.
故选：D
【变式1-3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，点在边上，是内角的角平分线，且，则面积的最小值是 ．
【答案】
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由角平分线可得面积线段可得，的关系，再由基本不等式可得的最小值，进而求出该三角形面积的最小值．
【详解】因为，
由正弦定理可得,
即，
所以，即，
因为，则，所以，
而，则，
因为是内角的角平分线，所以，
因为，即，，
可得，
因为，当且仅当时，等号成立，即，
所以，
所以的面积，当且仅当时取等号，
所以该三角形的面积的最小值为．
故答案为：．
一、单选题
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在中，，则的面积为（ ）
A．6B．8C．24D．48
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.
【详解】设，根据余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，则为直角三角形，
则.
故选：C.
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】首先利用基本不等式，将等式转化为不等式，再根据三角函数的性质以及等号成立的条件，转化为，再利用正弦定理化边为角，即可求解.
【详解】由题可得，
，，当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用基本不等式求得，进而得，求得角，从而解决问题.
3．（2024·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】因为，，
则设
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即，
.
故选：A.
4．（2024·山西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、余弦定理解三角形
【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变化公式化简可得，代入计算即可得角的大小.
【详解】因为，由余弦定理得，
所以，又，所以，
因为，
所以，
即，
又，所以，
所以或（舍），
所以，所以.
故选：B.
5．（2024·江西九江·二模）已知在四边形中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】在中，由，且，可得，
由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D.
6．（2024·四川乐山·三模）在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】设，由勾股定理求出，由余弦定理求出可得，再由可得答案.
【详解】设，则，
，
由余弦定理得，
，解得，，
所以，，
.
故选：C.
7．（2024·全国·模拟预测）在中，，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】设，在中和中，利用余弦定理可得，，代入变形后利用基本不等式，即可求得最大值.
【详解】
已知在中，，，
所以，，设，
在中，，
在中，，
则
，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
8．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，即，由余弦定理得，
则，由的面积为，得，解得，
由，得，又，因此，
令AC边上的高为，则，所以.
故选：B
9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形
【分析】由代入化简得，由正弦定理得，代入化简即可，根据检验即可选出正确选项.
【详解】在中，，
所以，
因为，由正弦定理可得，
所以，即，所以或2π3，即或，
当时，，而，所以不符合舍去，即.
故选：A
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知的角对应的边分别为的平分线交边于点，若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值．
【详解】
，因为的平分线交边于点，且，
所以，
，，
而，所以，
化简得，即，
则，
当且仅当时取等号，即最小值为．
故选：C．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，得，即，
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
而，则，所以角的最大值为.
故选：A
12．（2024·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求csx(型)函数的值域、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】联立题干所给式子以及余弦定理可得，在把代入题干可表示出，在根据的范围求解。
【详解】中，
由余弦定理可得：
，整理可得，
又，则，
，，则，
可得，则，即，
故选：C
13．（2024·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、平面向量基本定理的应用
【分析】首先利用正弦定理求得，再利用余弦定理列方程求得，进而求角，从而利用可得的长度.
【详解】由的外接圆半径，得，
由和得，
又，解得，所以.
因为中，是边的中点，所以,
于是
.
故选：D.
二、填空题
14．（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，，，
由余弦定理得，
解得，
所以的面积为.
故答案为：
15．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ．
【答案】 8 /
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据正余弦定理边角互化可得，进而根据三角形面积公式可得，即可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得，即可求得答案.
【详解】由和正弦定理可得，
故,
，
，故,
当且仅当，即时取等号，
，故，
此时周长为，
故答案为：8，
16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ．
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】结合三角形的面积公式可得，进而分析可得，再根据正弦定理求解即可.
【详解】由题意，，
则，则或，
当时，由于，则，
又，所以，不符合题意；
当时，由于，则，又，
在中，由正弦定理得，，
则，解得.
故答案为：.
17．（2024·陕西榆林·三模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、等差中项的应用、等比中项的应用
【详解】由题，
由正弦定理可得： ③
由正弦定理，故，
由余弦定理：
代入得：
所以，故.
故答案为：.
18．（2024·四川南充·一模）已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】求csx（型）函数的最值、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解.
【详解】连接，由余弦定理得，
，
即，
即，
又四边形的面积
，
则
，
即，即，
当且仅当时，等号成立，
所以平面四边形面积的最大值为.
故答案为：.
19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知中内角的对边分别为，若，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】利用正弦定理边化角，再利用基本不等式，结合正弦函数的有界性求解即得.
【详解】在中，
由及正弦定理，得，即，
当且仅当时取等号，而，因此，且，
所以.
故答案为：
20．（2024·江西·模拟预测）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、．若．则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】利用两角和与差的正弦展开式以及二倍角公式，将条件等式变形，然后利用正弦定理可得，代入，最后利用基本不等式可求出最小值．
【详解】因为，，所以
，
于是，
所以由，得，
由正弦定理得：，于是，
，
因为，所以，，
当且仅当时，“=”成立，
故答案为：．
①
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
；
；

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
eq \\ac(○,1)若A为锐角时:
eq \\ac(○,2)若A为直角或钝角时:
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点
①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
②sinA=csB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形
③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形
④cs2A=cs2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
⑤⇒⇒△ABC为直角三角形
⑥⇒
或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形
或⇒
⑦⇒
且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形
且⇒
①；
②（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
①；
②（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
③基本不等式
④正弦定理化角
正（余）定理
①通过正余弦定理，把边转化为角。
②利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
③对单变量（单角）求最值。
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：