专题10 圆锥曲线综合问题(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31599" 题型01根据定义求圆锥曲线方程 PAGEREF _Tc31599 \h 1
\l "_Tc30456" 题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值 PAGEREF _Tc30456 \h 4
\l "_Tc4272" 题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题 PAGEREF _Tc4272 \h 8
\l "_Tc16198" 题型04 椭圆（双曲线）离心率问题 PAGEREF _Tc16198 \h 12
\l "_Tc7734" 题型05 双曲线渐近线问题 PAGEREF _Tc7734 \h 17
\l "_Tc26491" 题型06 根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数 PAGEREF _Tc26491 \h 19
\l "_Tc9950" 题型07 抛物线定义的应用 PAGEREF _Tc9950 \h 22
\l "_Tc28366" 题型08 抛物线焦点弦问题 PAGEREF _Tc28366 \h 25
\l "_Tc15779" 题型09圆锥曲线中点弦问题 PAGEREF _Tc15779 \h 27
题型01根据定义求圆锥曲线方程
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆
【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求．
【详解】连接，
圆的圆心坐标为，半径为4．
因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，
所以，所以点的轨迹方程为．
故选：A．
【典例1-2】（24-25高三上·北京顺义·期末）已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围.
【详解】因为，故在双曲线的右支上，
而半焦距，实半轴长为，
故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为，
而直线与双曲线右支有公共点，故，
故选：D.
【变式1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用椭圆定义求方程
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】由题意，点Px,y到两个定点的距离之和等于，
根据椭圆的定义可知，点Px,y的轨迹为焦点为的椭圆，
且，，即，则，
所以动点的轨迹方程为.
故选：A.
【变式1-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，
所以动点到定点的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是.
故选：B.
【变式1-3】（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
【答案】或
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案.
【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，则，即，所以；
当时，满足条件.
综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，.
故答案为：或
题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高一上·广东·阶段练习）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值.
【详解】双曲线中，如图所示：
，，，设左、右焦点为，，
，，
，
，三点共线且在之间时取等号，
，则，共线且在之间时取等号，
所以.
故选：D
【典例1-2】（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等轴双曲线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解.
【详解】双曲线化为标准方程为，
由定义知①，
又因为，由勾股定理可知，②，
①式平方得③，
联立②③得，则，
则.
故答案为：
【变式1-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得.
【详解】如图，取椭圆右焦点，则，
则由椭圆定义可知，
则，
当且仅当、、三点共线，且在之间时取等，
故的最大值为.
故选：A.
【变式1-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
【详解】
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，
故选：C
【变式1-3】（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值.
【详解】在椭圆中，，，则，即点、，
如图，为椭圆上任意一点，则，
又因为为圆上任意一点，
.
当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．
所以的最小值为.
故答案为：.
题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得，
故选：D
【典例1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知点是曲线（其中，为常数）上一点，设，是直线上任意两个不同的点，且.给出下列三个结论：
①当时，方程表示椭圆：
②当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个：
③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个.
则所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【知识点】由方程研究曲线的性质、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】当时可表示圆判断①；设点，再应用点到直线的距离结合对称性判断②③.
【详解】方程中当时可表示圆，故①错误；
在②③中：椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称，
设点，则点到直线的距离为
.
对②：时，
（1）若为直角顶点，如图，则，，满足为等腰直角三角形的点有四个，
（2）若不是直角顶点，如图，则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个，
故时，使得是等腰直角三角形的点有6个，②正确；
对③：时，
（1）若为直角顶点，则，，满足为等腰直角三角形的点有四个.
（2）若不是直角顶点，如图，则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有四个.
故时，使得是等腰直角三角形的点有8个，③正确.
故答案为：②③.
【变式1-1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.
【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点,
由双曲线的对称性不妨设，
则①，，
因为，所以，
由勾股定理得②，
①②联立可得，，
所以，
故选：B
【变式1-2】（2023·北京西城·二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
【答案】 / （答案不唯一）
【知识点】三角函数定义的其他应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据条件求出点的轨迹方程，联立方程后求点的坐标，即可求解面积和角的取值.
【详解】由点可知，，所以点在圆，
且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，
联立，解得：或，
则的面积；
当时，，，，
当时，，，，
则其中的一个取值是.
故答案为：；（答案不唯一）
【变式1-3】（24-25高二上·北京·期中）已知点，是椭圆C：的两个焦点，点M在椭圆C上，则的周长为 .
【答案】18
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距
【分析】根据椭圆的定义求出以及的长，从而得到的周长.
【详解】

因为椭圆，所以,
由椭圆定义可得，，
所以的周长为.
故答案为：18.
题型04 椭圆（双曲线）离心率问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·山东淄博·一模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值.
【典例1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围.
【详解】
从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小.
若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得，
则只需，即，
，
所以，则，所以，
所以，即，所以，
又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆，双曲线．设椭圆M的两个焦点分别为，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】结合椭圆定义求得椭圆离心率，由双曲线的渐近线方程求得双曲线的离心率，相比即得．
【详解】椭圆中，且，
则，椭圆长轴长为，
所以椭圆离心率为，
双曲线的渐近线方程为，故，即，双曲线的半焦距为，
所以双曲线的离心率为，
所以，
故选：A．
【变式1-2】（24-25高二上·北京丰台·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假．
【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，
所以，，
所以，且，
则，所以A正确．
故选：A．
【变式1-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C：的左、右焦点分别为、，直线过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3:1，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，，，，根据椭圆的定义可得，进而得出为等腰直角三角形，从而求得离心率.
【详解】，不妨设，，
由点作轴，同时也过点向轴引垂线，
，
，
设，，
由，
，，
所以，
所以，则点为椭圆的短轴端点，为等腰三角形，
，，
，为直角三角形，
，为等腰直角三角形，
，
,即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.
题型05 双曲线渐近线问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.
【详解】双曲线的渐近线为，的渐近线为，
由题可知，
所以的离心率.
故选：C.
【典例1-2】（2024·北京平谷·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为
【答案】 −2
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解
【分析】根据题意将点代入双曲线方程可求得，再由双曲线定义可得，从而可求解.
【详解】由题意将代入双曲线方程得，解得，
所以双曲线方程为，又因为点在双曲线左支上，
所以；
所以渐近线方程为.
故答案为：−2；.
【变式1-1】（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线
【分析】设双曲线的右焦点Fc,0，求出点和的坐标，利用中点坐标公式列式计算得关系，进而可得渐近线方程.
【详解】设双曲线的右焦点Fc,0，过第一象限的渐近线方程为，
当时，，即，又，
因为M是线段的中点，所以，得，
所以，即，
所以C的渐近线方程为.
故选：C.

【变式1-2】（2024·北京海淀·三模）已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先求出双曲线的基本量，故可求离心率和渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上，
故可设双曲线方程为：，则即，
故即，故离心率为，渐近线方程为，
故答案为：；.
【变式1-3】（2024·北京西城·一模）双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ．
【答案】
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.
【详解】由，故其渐近线方程为；
令，由题意可得，即有，解得，
故，即.
故答案为：；.

题型06 根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的必要不充分条件
【分析】根据“”与“方程表示椭圆”的互相推出关系判断出属于何种条件.
【详解】当时，取，此时，故方程表示圆；
当方程表示椭圆时，则，
解得或，
此时或是的真子集，
所以或可推出；
综上可知，“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件，
故选：B.
【典例1-2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为 ；若为椭圆，则的所有可能取值为 .
【答案】 3（答案不唯一）
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得；
【详解】若为双曲线，则，解得或，
又，所以的一个取值可能为3；
若为椭圆，则，解得且，
又，所以的所有可能取值为；
故答案为：3（答案不唯一）；.
【变式1-1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得.
【详解】因为方程表示椭圆，
则，解得，则实数的取值范围是.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.
【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得.
故选：C.
【变式1-3】（24-25高二上·山东枣庄）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
【答案】D
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的顶点坐标、求双曲线的焦点坐标、判断方程是否表示双曲线
【分析】根据即可判断A；根据双曲线的顶即可判断出B错误；分、两种情况，依次求出，即可判断C；根据双曲线的渐近线方程的求法即可判断D.
【详解】对于A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；
对于C项：当时，，
当时，，C错误；
对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确.
故选：D
题型07 抛物线定义的应用
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，分析出为等边三角形，求出，即可得解.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示：
因为，轴，则，
由抛物线的定义可得，所以为等边三角形，则，
抛物线的准线方程为，
设直线交轴于点，则，
易知，，则.
故选：B.
【典例1-2】（2023·四川凉山·二模）已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值.
【详解】
因为抛物线方程为，所以，
所以焦点，且抛物线准线方程为.
注意到的周长为，
因为，，所以,
所以.
因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于，
则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可，
由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时，
点到准线的距离加长度之和最小，
最小值为，
所以周长的最小值为.
故选：C.
【变式1-1】（2024·北京平谷·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出.
【详解】设，则，
由C：得，即，则，解得，
于是，即，则.
所以.
故选：A.
【变式1-2】（2023·北京房山·二模）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
【答案】A
【知识点】抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以圆与直线相切.
故选：A
【变式1-3】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为 ；点P到焦点的距离为 ．
【答案】 2
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点P到焦点的距离.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点的坐标为，
因为点在抛物线上，
由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以点P到焦点的距离为.
故答案为：；2.
题型08 抛物线焦点弦问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二上·北京东城·期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，
则.
故选：C.
【典例1-2】（2023·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、由弦长求参数
【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.
【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，
所以，即.
故答案为：
【变式1-1】（2023·北京·模拟预测）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】A
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由梯形中位线长度得到上底和下底长度之和，通过抛物线的定义，转化为到焦点的距离，然后得到的长度.
【详解】设中点为，则，过分别做准线的垂线，垂足分别为
因为为中点，则易知为梯形的中位线，而，
所以.
根据抛物线定义可知
所以.
故选：A.
【变式1-2】（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线与直线交于A，B两点，且.若抛物线C的焦点为F，则（ ）
A．B．7C．6D．5
【答案】B
【知识点】抛物线的焦半径公式、由弦长求参数
【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得，进而可得，根据抛物线定义求目标式的值.
【详解】由题设，，代入抛物线可得，
所以，，则，
则，可得（舍）或，故，
由抛物线定义知：.
故选：B
【变式1-3】（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ．
【答案】6
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案.
【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为，
设弦中点纵坐标为，
故．
故答案为：6
题型09圆锥曲线中点弦问题
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率、求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程.
【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到.
展开式子化简为.
根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标.
已知，把代入可得.
因为，即.
所以线段的中点所在的直线方程为.
故选：C.
【典例1-2】（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】先由题意判断得，再由点差法求得，由此得到，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程.
【详解】依题意，设，
若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，
因为A，B是抛物线上的两点，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
【变式1-1】（23-24高二上·北京·期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，即直线的斜率，
所以直线方程为，即
故选：B
【变式1-2】（2023·北京大兴·三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
【变式1-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率是 .
【答案】/0.5
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率
【分析】根据中点坐标公式及点差法求中点弦的斜率即可.
【详解】令，则，
又，作差得，整理得.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·北京西城·三模）若双曲线的离心率为，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】根据双曲线的离心率与、、关系求解即可.
【详解】由题意，双曲线的离心率，所以.
故选：C.
2．（2024·北京·三模）已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（ ）
A．B．C．1，2D．
【答案】A
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出的值及离心率.
【详解】依题意，双曲线化为：，
则，解得，双曲线的离心率.
故选：A
3．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【知识点】抛物线的焦半径公式
【分析】根据抛物线定义求得点的纵坐标，再求中点纵坐标即可.
【详解】抛物线的焦点，又，解得，
故线段的中点的纵坐标为.
故选：C.
4．（2024·北京朝阳·二模）已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据条件求得，然后解直角三角形即可得答案.
【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得，
由双曲线的定义字，
在中，，
在中，
即，可得.
故选：A.
5．（2024·北京西城·二模）已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】化简双曲线可得，
因为双曲线的焦点在轴上，所以，
所以的离心率为，
则，所以.
故选：C.
6．（2023·北京东城·二模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求椭圆的焦点、焦距
【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
所以，得，
故选：C
7．（2023·北京通州·三模）已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】因为，为的中点，
所以，，
所以，又， ，
所以，
所以.
故选：B.
8．（2023·北京·三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.
【详解】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，
∴．
故选: C.
二、填空题
9．（2024·北京·模拟预测）设点在抛物线上，已知.若，则 ；若，则直线斜率的最小值为 .
【答案】 3 1
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线方程求焦点或准线、已知两点求斜率
【分析】第一空：由两点间距离公式以及点坐标满足抛物线方程联立列式即可求解；第二空：将直线斜率表达式求出来，结合基本不等式即可得解.
【详解】第一空：若，则，
又，所以，注意到，
所以解得满足题意；
第二空：直线斜率为，若，
则由基本不等式得，等号成立当且仅当.
故答案为：3；1.
10．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.
【详解】易知关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，∴．
故答案为: 2.
11．（2024·北京延庆·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】根据双曲线的离心率化简变形即可求出渐近线的斜率得解.
【详解】因为，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
12．（2023·北京大兴·三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
13．（2023·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为 ；若，点到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标，再由抛物线定义求出M的纵坐标，代入抛物线得横坐标即可得解.
【详解】由可知焦点，准线方程为，
，
，即yM=2，
代入抛物线方程可得，，
又在第一象限，所以，
故点到直线的距离为.
故答案为：；
14．（24-25高二上·北京延庆·期末）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为 ，的值为 ．
【答案】 10
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】由条件先确定的纵坐标，代入抛物线方程可得的横坐标，由条件结合抛物线定义求的值.
【详解】由已知，，，
所以点的纵坐标为，代入抛物线方程，
可得，所以点的横坐标为，
所以的坐标为，
又抛物线的准线方程为x=−1，
且，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
则，，
由抛物线定义可得，，
所以的值为，
所以的值为10.
故答案为：，10.
15．（24-25高二上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
【答案】或
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求直线与双曲线的交点坐标
【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据判别式来判断交点个数.
【详解】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点.
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
综上所得，直线的斜率的所有可能值或.
1、椭圆定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
椭圆定义定义的集合语言表述
集合.
2、双曲线的定义：一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
双曲线定义集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离)

利用椭圆（双曲线）定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住与之和（差）为定值，可联系到利用基本不等式求的最值；
（2）利用定义或转化或变形，借助三角形性质求最值
常用技巧
（1）椭圆（双曲线）定义
（2）余弦定理（勾股定理）
（3）三角形面积、周长公式
（4）基本不等式（对勾函数）
常用技巧
（1）椭圆（双曲线）定义
（2）余弦定理（勾股定理）
（3）齐次不等式
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
(为点到准线的距离，为焦点).
抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
（1）若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴
上时，
（2）若为双曲线弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
若 为双曲线弦 (不平行 轴) 的中点, 则
（3）若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴 ) 的中点, 则
若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则