专题2　数列【练】-2025年高考数学大题精做（题型破局）附答案解析

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（核心考向：等差数列求和问题）
（24-25高三上·河南周口·期末）
1．记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
（核心考向：等差数列求和与不等式证明）
（2024·福建福州·模拟预测）
2．已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
（核心考向：等差数列、最值问题）
（2024·四川成都·二模）
3．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
（核心考向：等比数列基本问题）
（24-25高三上·广西·阶段练习）
4．已知数列满足：且，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
（核心考向：等差、等比数列的综合问题）
（2024·甘肃兰州·模拟预测）
5．已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求．
（核心考向：等差数列求和问题）
（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）
6．数列中，，，且，
(1)证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列的前n项和为，且满足，，求．
（核心考向：等差数列求和与不等式证明）
（2024高三·全国·专题练习）
7．是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前n项和为，求证：．
（核心考向：等差数列、最值问题）
（2024·辽宁·二模）
8．设等差数列的前n项和为，公差为d，且.若等差数列，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，且，求n的最大值.
（核心考向：等比数列基本问题）
（24-25高三上·河北保定·期末）
9．已知数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前n项和.
（核心考向：等差、等比数列的综合问题）
（24-25高三上·四川遂宁·期中）
10．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
（押题点：利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与关系求通项）
（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）
11．已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.
（押题点：由递推关系证明数列是等差数列、根据等比中项求等差数列的项、根据等差数列的单调性判断n使和取得最值）
（24-25高三上·山东·阶段练习）
12．记为数列的前项和，已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最大值．
（押题点：等差、等比数列综合考查.求等差、等比数列的通项公式，等差数列的和，确定数列中的最大（小）项）
（2024·重庆九龙坡·三模）
13．已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
（押题点：递推关系、分段数列、等差数列综合考查.利用定义求等差数列通项公式、等差数列基本量计算、利用an与关系求通项）
（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）
14．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且.
(1)若数列为等差数列，求；
(2)若，求数列通项公式及.
（押题点：等差数列、等比数列及最值问题综合考查.判断等差数列、写出等比数列通项公式、利用an与关系求通项、根据数列不等式成立求n的最值）
（24-25高三上·江苏镇江·期中）
15．已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
(3)求使得不等式成立的的最大值．
《专题2 数列 【练】--大题精做（题型破局）》参考答案：
1．(1)
(2)8872
【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解；
（2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】（1）由
则
设的公差为
则
则
所以数列的通项公式为.
（2）由题可知
，
.
2．(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.
（2）利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）数列中，当时，，即，
则
，而满足上式，
所以数列的通项公式是，．
（2）由（1）知，，则，
因此
，而，则，
所以．
3．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
4．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明，进而求得数列的通项公式.
（2）利用分组求和法来化简已知等式，从而求得的值.
【详解】（1）因为，，
所以，
又，所以，所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.
所以.
即，所以.
（2）由（1）知
.
.
又，故，
即，所以.
解得.
5．(1)
(2)
【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可；
（2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算.
【详解】（1）设的公差为，
由，得，则．
由成等比数列，得，则，
而是单调递增的等差数列，所以，所以．
解方程组得
所以的通项公式为．
（2）由，可得，所以．
故是以为首项，公比为的等比数列，
所以．
6．(1)证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列；
（2）由（1）利用累加法计算可得数列的通项公式；
（3）由（2）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，
（2）由（1）问知，
则，，…，
，，
所以，
所以；而符合该式，
故．
（3）由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
；
当时，，此时，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出公差，根据得到，两式相减得到，从而求出通项公式；
（2）由等差数列前项求和公式，变形得到，裂项相消法求和，得到结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
，
，两式作差得．
，
，解得，
．
（2）由（1）得，
，
．
，
．
8．(1)
(2)3
【分析】（1）根据题意，由可得，然后由列出方程，即可得到，再由等差数列的通项公式与前项和公式代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，由（1）中的结论可得，代入计算即可求解.
【详解】（1）因为，则，，，
由为等差数列，所以，即，化简可得，
因为，所以且，所以，
则，所以，
则.
（2）因为，则，由（1）可知，
则，
由可得，解得，且，
所以n的最大值为.
9．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由，得，证明即可，进而运用等比数列通项公式求解即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：由，得，
又因为，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，从而.
（2）由（1）可知，①
则②
①②得
即，
则.
10．(1)， ，，；
(2)
【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式；
（2）表示出数列的通项，然后利用错位相减法求该数列的前项和．
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
化简，得，
整理，得，
解得（舍去），或，
则，
故， ，，；
（2）因为，则根据错位相减法得
， ①
， ②
由①②得，
故.
11．(1)
(2)
【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项公式的方法求解作答即可；
(2)运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值.
【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式.
（2）由，
则
，
而，所以，即的最小值为.
12．(1)证明见解析.
(2)90.
【分析】（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明.
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再借助单调性及等差数列前项和公式求得答案.
【详解】（1）数列中，由，得，
当时，，
两式相减得，即，
因此，所以是等差数列.
（2）由（1）知数列的公差为，
由成等比数列，得，解得，
于是，由，得，
数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前9项为正，第10项为0，从第11项起为负，
所以数列前9项或前10项和最大，的最大值为.
13．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式；
（2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以；
（2）由（1）得，
则，
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，取得最大值.
14．(1)；
(2)；.
【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的特征列方程，求得，求得公差，进而求得.
（2）把代入，利用前项和与第项的关系可得，再按奇偶分类求出通项公式；借助并项求和法，结合等差数列的前项和公式按奇偶分类求出前项和.
【详解】（1）当时，，而，解得，
当时，，解得，
由数列为等差数列，得，则，解得，
则，公差为2，所以.
（2）当时，，
两式相减，得，而，则，
当时，，解得，
因此数列的奇数项是首项，公差为的等差数列， ；
偶数项是首项，公差为的等差数列，，
所以数列通项公式是；
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
所以.
15．(1)
(2)存在，
(3)4
【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得；
（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出；
（3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值.
【详解】（1）因为①，②，
②-①得，∴，而，∴，
∴成首项为，公比为的等比数列，∴．
（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，
∴
为常数，
∴，解得，
∴存在使成等差数列，且公差为．
（3）由（2）知，
∴，∴不等式，即，
令，则，
∴在上单调递减，注意到，，
∴时，，∴．