高考数学大题精做专题06数列中的最值问题(第二篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题06数列中的最值问题(第二篇)(原卷版+解析)，共20页。
专题06 数列中的最值问题
【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】
在等比数列中，公比，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．
【思路引导】
（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案
（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。
【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】
在等差数列中，已知.
（I）求数列的通项公式；
（II）记为数列的前项和，求的最小值.
【思路引导】
（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项
（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.
【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】
已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．
【思路引导】
（1）由，可得 ，两式相减可得，然后再验证是否满足上式即可得到结论．
（2）根据（1）中的通项公式求出，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．
【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】
已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.
（1）求；
（2）.设，仅当时，最大，求.
【思路引导】
（1）将等差数列的通项和求和全部用基本量表示，然后对整理，令的系数和常数项为，得到答案.（2）表示出通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差的范围，然后根据，得到的值，再求出的通项.
【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】
已知数列，，，且满足（且）
（1）求证：为等差数列；
（2）令，设数列的前项和为，求的最大值.
【思路引导】
(1)将式子变形得到，故得到数列是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到，代入表达式得到，设，，将此式和0比即可得到最大项.
【典例6】已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列．若也是等差数列，求非零常数；
（Ⅲ）求的最大值．
【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】
已知数列的前项和，数列满足.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.
【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 ，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.
【针对训练】
1. 【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】
已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.
2. 【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】
已知数列中，，，且，
（1）求；
（2）若，，当为何值时，取最小值？并求出最小值.
3. 已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值.
4. 【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】
已知等比数列中，，，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，若前的前项和，求的最大值.
5. 【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】
记数列的前n项和为，且.递增的等比数列满足，，，记数列的前n项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值.
6. 【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】
已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
7. 【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】
已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.
8. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】
已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求的取值范围.
类型
对应典例
利用二次函数的最值求数列的最值
典例1
利用导数工具求数列的最值
典例2
借助基本初等函数的单调性求最值
典例3
利用函数的性质求数列的最值
典例4
利用数列的单调性求数列的最值
典例5
利用基本不等式求数列的最值
典例6
利用不等式恒成立求数列中的最值
典例7
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第二篇 数列与不等式
专题06 数列中的最值问题
【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】
在等比数列中，公比，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．
【思路引导】
（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案
（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。
解：（1），可得，
由，即，①，由，可得，，
可得，即，②由①②解得舍去），，
则；
（2），可得，，
则，
可得或9时，取最大值18．则的值为8或9．
【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】
在等差数列中，已知.
（I）求数列的通项公式；
（II）记为数列的前项和，求的最小值.
【思路引导】
（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项
（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.
解：(Ⅰ)由得，由，得，
即数列的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，， ，
令，
,当；当
则在上单调递减，在上单调递增，
又，
当或时，，取到最小值，即的最小值为.
【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】
已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．
【思路引导】
（1）由，可得 ，两式相减可得，然后再验证是否满足上式即可得到结论．
（2）根据（1）中的通项公式求出，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．
解：（1）因为①，
所以 ②，
①②两式相减，得 ，
所以③．又当时，得，不满足上式．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以不成立，
当时，
，
由，得．令，则为增函数，
又．因此要使成立，只需，
故使成立的正整数的最小值为7．
【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】
已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.
（1）求；
（2）.设，仅当时，最大，求.
【思路引导】
（1）将等差数列的通项和求和全部用基本量表示，然后对整理，令的系数和常数项为，得到答案.（2）表示出通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差的范围，然后根据，得到的值，再求出的通项.
解：（1）设首项为，公差为，则
整理得：对任意的恒成立，
只须解得：.
（2）由题意可知，
数列的对称中心为 因为仅当时，最大，
所以 ，解得，
又因，所以,
【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】
已知数列，，，且满足（且）
（1）求证：为等差数列；
（2）令，设数列的前项和为，求的最大值.
【思路引导】
(1)将式子变形得到，故得到数列是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到，代入表达式得到，设，，将此式和0比即可得到最大项.
解：（1），则.
所以是公差为2的等差数列.
（2）.
当满足.则.
∴，
∴，
设，
∴，
∴∴当时，，
即，当时，，
即，∴，
则的最大值为
【典例6】已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列．若也是等差数列，求非零常数；
（Ⅲ）求的最大值．
解：(1)∵数列{an}是等差数列．∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，
由，解得或．
∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9．
∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．
∴．
(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴．
∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2·＝＋，解得 (c＝0舍去)．∴．
显然{bn}成等差数列，符合题意，∴．
(3)由（2）可得
，当且仅当，即时等号成立．
∴f(n)的最大值为．
【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】
已知数列的前项和，数列满足.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.
【思路引导】(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 ，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.
解：(Ⅰ) ，
当时，，，
化为，，即当时,，
令,可得,即.又,数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
,
可得，，
因为是自然数，所以的最大值为4.
【针对训练】
1. 【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】
已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.
【思路引导】
（1）利用基本元的思想将已知转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，根据等差数列前项和公式求得，再利用二次函数的性质求得的最大值.
解：（1）设数列的公比为，若，有，，而，故，
则，解得.
故数列的通项公式为.
（2）由，
则.
由二次函数的对称轴为，
故当或15时有最大值，其最大值为.
2. 【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】
已知数列中，，，且，
（1）求；
（2）若，，当为何值时，取最小值？并求出最小值.
【思路引导】
（1）由，得，两式作差得，由，计算得，满足，得等比数列，即可求出；
（2）由（1）得，满足，得是等差数列，计算出即可.
解：
（1）在数列中，①，②
①-②得：，.
且，在①式中，令，得，，
即，是以为首项，以2为公比的等比数列，.
（2）由（1）知，，且，
且，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，
.
时，最小，最小值为.
3. 已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值.
【思路引导】
（1）由题意得出，利用对数运算得出，然后计算出为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；
（2）求出和，利用分组求和法得出，然后分析数列为单调递增数列，可得出该数列的最小值为，由此可得出结果；
解：
（1）证明：由题意，
即，得，且，．
常数且，为非零常数，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）当时，，，.
.
，数列是递增数列，
因而最小值为；
4. 【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】
已知等比数列中，，，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，若前的前项和，求的最大值.
【思路引导】
(1)由是等比数列，令可列出方程求出，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出的通项公式，由错位相减法可求得，代入已知不等式即可得解.
解：（1）由是等比数列，令可得
或（舍去），故.
（2）由题，所以
又
两式相减得
易知单调递增，且，故的最大值为.
5. 【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】
记数列的前n项和为，且.递增的等比数列满足，，，记数列的前n项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值.
【思路引导】
（1）当时，解得；时，利用得到；再计算得到答案.
（2）计算，，故，则，计算得到答案.
解：
（1）当时，，解得；
当时，，，
两式相减，可得，故，故，.
则，，
记数列的公比为q，则，则或，
而数列递增，故舍去，故.
（2）依题意，，而，
故，则，因为，且，，
故满足的最大正整数n的值为6.
6. 【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】
已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
【思路引导】
（1）由题可得两式相减，
得 ，即，求出，即可得证；
（2）由（1）可知， 即 ，通过累加可得
则，而，令，讨论的符号可得的最大值，进而得到.
解：（1）
两式相减，得
∴即：
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可知， 即
也满足上式


令，则 ，



∴ 最大，即
7. 【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】
已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.
【思路引导】
（1）根据，求出公比，即可得解；
（2）对项数分奇偶讨论的取值范围，即可得到区间长度的最小值.
解：（1）由题意可知：，
即，
∴，即公比又，∴.
（2）由（1）可知.
当为偶数时，易知随增大而增大，
∴，根据勾型函数性质，此时.
当为奇数时，易知随增大而减小，
∴，根据勾型函数性质，此时.
又，∴.
故数列的“容值区间”长度的最小值为.
8. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】
已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求的取值范围.
【思路引导】
（1）利用，求得数列的通项公式.
（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.
解：（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，得
，即，即
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，所以
所以
所以
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，
所以，又，所以的取值范围为.
类型
对应典例
利用二次函数的最值求数列的最值
典例1
利用导数工具求数列的最值
典例2
借助基本初等函数的单调性求最值
典例3
利用函数的性质求数列的最值
典例4
利用数列的单调性求数列的最值
典例5
利用基本不等式求数列的最值
典例6
利用不等式恒成立求数列中的最值
典例7