中考数学三轮冲刺培优训练专题06二次函数（2份，原卷版+解析版）

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类型一、二次函数的图象与性质
1．（2023·湖南永州·校考一模）已知二次函数．
(1)把这个二次函数化成的形式；
(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(3)求二次函数与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)对称轴：直线，顶点为
(3)与x轴交点为
【分析】（1）根据配方法化为顶点式即可求解；
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点为
（3）解：由，
令，即
即
解得：，
∴二次函数图象与x轴交点为
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式，求对称轴，顶点坐标，求二次函数图象与轴的交点坐标，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2023·上海长宁·统考一模）已知关于的函数是二次函数．
(1)求的值并写出函数解析式；
(2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【答案】(1)2，
(2)，开口向上，顶点，对称轴：
【分析】（1）根据二次函数定义直接列式求解即可得到答案；
（2）将（1）中解析式配方结合函数性质即可得到答案；
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，
∴，
∴函数解析式为：；
（2）解：由（1）得，
，
∵，
∴开口向上，顶点，对称轴：．
【点睛】本题考查二次函数定义及二次函数的性质，解题的关键是根据定义列式求出t值及熟练掌握函数的性质．
3．（2023·上海徐汇·统考一模）已知二次函数．
(1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积．
【答案】(1)，开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为
(2)
【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；
（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出坐标即可求解．
【详解】（1）解：
∴该二次函数的顶点式为，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为；
（2）解：平移后的新抛物线的解析式为，得到顶点，
当时，由得：，，
即点，即，
当时，由
即点，
∴四边形的面积
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知二次函数．
(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标，并求出抛物线与x轴的两个交点A，B（点A在点B的左边）的坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的直接画出图象即可）；
(3)当时，求出函数y的取值范围；
(4)把线段先向上平移3个单位，再向右平移1个部位，得到线段．当抛物线与线段恰好只有一个交点时，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；，
(2)见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根据二次函数的图象和性质，即可求解；
（2）由（1）顶点坐标，点A，B的坐标画出图象，即可求解；
（3）根据二次函数的图象和性质，即可求解；
（4）根据题意分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
由，得，，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为，．
（2）解：图象如图所示；
（3）解：当时，；
当时，；
∵抛物线顶点为，
∴该函数的最大值为2，
结合图象，可知：当时，函数y的取值范围为．
（4）解：根据题意得：点，
当抛物线的顶点在线段上时，
，解得：，
如图，
此时当时，，当时，，
∴，无解；
如图，
此时，当时，，当时，，
∴，
解得：，
综上所述，t的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点A，且，
(1)若，
①点A到轴的距离为_____________________；
②已知点，，若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围；
(2)已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
【答案】(1)①8；②或；；
(2)，；
【分析】（1）①将代入解析式求出顶点坐标即可得到答案；②令解出方程的解，根据只有一个交点列方程即可得到答案；
（2）根据点A到轴的距离为4求出a，结合当时，总满足，分类讨论a的值列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：①将代入解析式可得，
，
∴，
∴点A到轴的距离为：8，
故答案为：8；
②当时，
，
解得：，，
∵抛物线与线段有且只有一个公共点，
，
∴或，
解得：或；
（2）解：∵点A到轴的距离为4，
∴，
解得或，，
当时，
，，
此时抛物线开口向下，在时y随x增大而增大，
∴点C在A点或其左侧即可符合当时，总满足，
将代入得，
，
∴，解得：，
∵，
∴；
当时，
，，
此时抛物线开口向上，在时y随x增大而增大，
∴点B在A点或其右侧即可符合当时，总满足，
将代入得，
，
∴，解得：，
∵，
∴不存在此类情况；
综上所述：，；
【点睛】本题考查二次函数性质，二次函数与不等式之间的关系，解题的关键是分类讨论开口问题．
6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）；（2）点不在这个二次函数的图象上，理由见解析．
【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式；
（2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．
【详解】解：（1）由顶点，可设关系式为：，
将点代入上式可得：，
解得：，
∴此二次函数的关系式为．
（2）点不在这个二次函数的图象上．
∵当时，，
∴点不在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知关于x的二次函数．
(1)当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；
(2)当时，直线与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；
(3)若抛物线与直线交于点A，求点A到x轴的最小值．
【答案】(1)顶点为：，对称轴：；
(2)
(3)7
【分析】（1）把代入得到，据此解答；
（2）把代入得到，联立，解方程组得到两图象的交点，再利用两点间的距离公式解答；
（3）联立，得到，据此得到当点A到x轴的最小值时，即的值最小，再结合平方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：把代入得
此时抛物线的顶点为：，对称轴：；
（2）当时，
联立
（3）联立
当点A到x轴的最小值时，即的值最小
当时，点A到x轴的最小值为7．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及解一元二次方程、配方法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（2023·河南安阳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）令，得，可得，再由，可得，利用待定系数法可得抛物线解析式，转化为顶点式，可得出顶点坐标；
（2）函数的最大值为，由可得，当时，解方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
把代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴当时，函数有最大值：；
∵当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴，
∵，
∴，
当时，，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，点A，B的对应点分别为．抛物线的顶点为E，则在x轴下方的抛物线C2上是否存在点F，使得的面积等于的面积．若存在，求出F点的坐标，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）把，代入解析式，解方程组即可；
（2）先根据抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，得出的坐标和抛物线的解析式，然后根据三角形的面积公式求出F的坐标．
【详解】（1）把代入，
得．
解得
∴抛物线C1的解析式的解析式为；
（2）存在，
∵抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，如图，
∴，
∴
∵抛物线为的解析式为
∴
∴的面积
∵的面积等于的面积，
∴
∴
∵点F在x轴下方，
∴
把代入得，
解得
∴F的坐标为或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，关键是根据图象的几何变换求出抛物线的解析式．
10．（2023·广东广州·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点．
(1)求与的数量关系；
(2)设拋物线的对称轴为直线，过作，垂足为，且．
①当时，求拋物线的最高点的纵坐标（用含的式子表示）；
②平移拋物线，当它与直线最多只有一个交点时，求平移的最短距离．
【答案】(1)
(2)①当时，抛物线在时取得最大值；当时，抛物线在时取得最大值；②
【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解；
（2）①由（1）得，通过求解其对称轴和顶点坐标求出其解析式为，再分别讨论当时，当时，进而根据二次函数最值的求法进行求解即可；
②先求出直线的解析式为，抛物线平移，直线不动，相当于抛物线不动，直线平移，再求直线平移后的解析式为，当平移后的拋物线与直线最多只有一个交点时，抛物线平移的距离达到最小时，意味着平移后的直线与抛物线有且仅有一个交点，联立，可得，进而求出，则抛物线平移的距离就是与两条直线间的距离，过点M作垂直于直线于N，A，B分别为与x轴，y轴的交点，通过证明，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）①由（1）得，
∴其对称轴为直线，顶点为，
∵过作，垂足为，且，
∴，
∴，
∴，
当时，
即时，抛物线在时取得最大值；
当时，
即时，抛物线在时取得最大值；
综上，当时，抛物线在时取得最大值；当时，抛物线在时取得最大值；
②∵点，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
抛物线平移，直线不动，相当于抛物线不动，直线平移，
设直线平移后的解析式为，
当平移后的拋物线与直线最多只有一个交点时，抛物线平移的距离达到最小时，意味着平移后的直线与抛物线有且仅有一个交点，
联立，可得，
此时，，
解得，
则抛物线平移的距离就是与两条直线间的距离，
∴M点为与y轴的交点，，
过点M作垂直于直线于N，A，B分别为与x轴，y轴的交点，
∴，
则，
∴，即，
解得，
即与两条直线间的距离为，
所以平移最短的距离为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，二次函数求最值，相似三角形的判定和性质，直线的平移等，准确理解题意熟练掌握知识点是解题的关键．
类型二、二次函数的平移问题
11．（2023·河北保定·统考一模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点和点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将抛物线向右平移，使得点移至点处，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据待定系数法，将点，代入中，解方程组即可得到答案；
（2）令，则，解得，得到即可得到答案．
【详解】（1）解：将点，代入中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，解得，
∴，
∴，即抛物线向右平移的距离为4．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
12．（2023·贵州遵义·统考一模）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式______；
(2)如图，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点在抛物线上，交拋物线于点．求点的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，即可求解；
（2）证明，则，设，则，则点，将点的坐标代入的解析式，即可求解；
【详解】（1）解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到
故抛物线的解析式为：；
（2）解：过点作轴的平行线，过点Q作于点，过点作于点，
，，
，
把代入，得，
∴点的坐标为：，
则，，则，
设，则，则点，
将点的坐标代入的解析式得
解得：（不合题意，舍去），，
∴点．
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，二次函数图象性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数图象性质是解题的关键．
13．（2023·广东佛山·统考一模）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点．
(1)求二次函数的表达式，并画出图象；
(2)二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？若相交，求出它们的交点坐标：
(3)若二次函数的图象经过平移后过原点，可以怎样平移？
【答案】(1)或，图象见解析
(2)相交，交点坐标为和
(3)可将二次函数的图象向左平移1个单位长度或者向右平移2个单位长度得到的二次函数的图象经过原点
【分析】（1）利用顶点式设所求的二次函数表达式，再代入求解即可得到函数表达式；利用描点法画出图象即可；
（2）两个函数联立方程组，判断方程的解的情况即可得出结论；
（3）利用二次函数与x轴的交点坐标和平移性质即可得到平移方案．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴此二次函数的表达式为，即；
当时，，则抛物线与y轴交于，又抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线还经过点；
当时，由得，，则抛物线与x轴交于和，
画出该二次函数图象如图：
（2）解：由得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与一次函数的图象相交；
解方程得：，
当时，；当时，，
所以交点坐标为和；
（3）解：∵抛物线与x轴交于和，
∴可将二次函数的图象向左平移1个单位长度或者向右平移2个单位长度得到的二次函数的图象经过原点．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式、用描点法画二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数图象的平移等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用时解答的关键．
14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为．若，求抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出原抛物线顶点D的坐标，再求出，得到，设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，则，，抛物线的解析式为，即可求出；进一步求出，再由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵原抛物线解析式为，
∴，原抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，
∴，，抛物线的解析式为，
∴；
在中，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去）；
综上所述，或，
∴抛物线的表达式为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象平移的特点是解题的关键．
15．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知抛物线L：经过点和，与x轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式：
(2)将抛物线L平移，得到抛物线，且点A经过平移后得到的对应点为．要使是以为斜边的等腰直角三角形，求满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把点和代入，求出b和c的值，即可求出表达式；
（2）根据题意，画出图形，再进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，分别求出的坐标，分析函数的平移方式，即可求解．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，解得，
∴抛物线L的函数表达式为：．
（2）解：把代入得：，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴，
把代入得，
∴，
①当点在上方时：
过点作轴的平行线交y轴于点P，过点B作y轴的平行线，交于点Q，
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
设点，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线L向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
∵抛物线L的函数表达式为：，
∴抛物线的函数表达式为：，
②当点在下方时：
同理可得：
设点，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线L向下平移3个单位长度，向右平移4个单位长度得到，
∴抛物线的函数表达式为：，
综上：抛物线的函数表达式或．
【点睛】本题主要主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．
16．（2023·河北衡水·校考二模）如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线于点A，交抛物线于点B．抛物线与分别与y轴交于点C，D．
(1)求抛物线的对称轴和点A的横坐标，并求线段的长；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上，则 （填“”“”或“”）；
(3)若点，求将抛物线平移到抛物线的最短距离．
【答案】(1)的对称轴为，点A的横坐标为，
(2)
(3)最短距离为
【分析】（1）根据，可求得对称轴为，再由点A与点T关于直线对称，即可求得点A的横坐标，根据函数的对称性可求解；
（2）先根据对称性可求出A点的横坐标和B点的横坐标，可知；
（3）根据点C坐标求出抛物线的解析式，再根据交点求出的解析式，根据两个抛物线的顶点坐标求出平移后的最短距离．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
T的横坐标为1，点A与点T关于直线对称，
，
解得：，
点A的横坐标为，
抛物线的对称轴为，的对称轴为，
线段．
（2）点A与点T关于直线对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得
，
解得：，
的横坐标为，
点B与点T关于直线对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得

解得：，
的横坐标为，
点在抛物线上，在直线的下方，点在抛物线上，在直线的上方，
．
（3）将代入，得，
，
T的横坐标为1，
点T的坐标为．
将代入中，得，
抛物线：，其顶点坐标为，
抛物线：，其顶点坐标为，
将抛物线平移到抛物线的最短距离为
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决本题的关键是掌握二次函数图像的对称性和图像上点的坐标特征以及二次函数图像的顶点坐标．
17．（2023·安徽合肥·校考一模）把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
(1)动点能否在抛物线上？请说明理由．
(2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
【答案】(1)不在，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的增减性即可判断．
【详解】（1），
把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线：，即，
抛物线的函数关系式为：．
动点不在抛物线上，理由如下：
抛物线的函数关系式为：，
函数的最小值为，
，
动点不在抛物线上；
（2）∵抛物线的函数关系式为：，
∴对称轴为，
∵二次项系数为，
∴图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵点，都在抛物线上，且，
∴．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
18．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若是抛物线上位于第四象限上的点，求点到直线距离的最大值．
(3)已知，，线段以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向上平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据经过点，对称轴为直线，分别列方程解出即可；
（2）连接，，，过点作轴交于点，设， ，表示出的面积，并求出最大值，然后根据面积求点到直线距离的最大值即可；
（3）秒后，，，抛物线的解析式为．
若抛物线与线段有两个交点，则点在抛物线上（或右侧），且点在抛物线上（或左侧），分类讨论列方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，连接，，，过点作轴交于点．
∵抛物线的解析式为，
∴，，∴．
设，易得直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，的面积最大，最大值为，
此时点到的距离最大，最大距离为．
（3）解：秒后，，，抛物线的解析式为．
若抛物线与线段有两个交点，则点在抛物线上（或右侧），且点在抛物线上（或左侧），
当点恰好在抛物线上时，则，
∴，∴，（舍去）．
当点恰好在抛物线上时，则，解得或7（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、求最大距离、图像的平移等，熟悉二次函数的知识点是解题关键．
19．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求此抛物线的表达式及点的坐标；
(2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．
【答案】(1)，点的坐标是
(2)6
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．
【详解】（1）解：把和代入
，解得
∴抛物线的表达式为
∴当时，
∴点的坐标是
（2）
设平移后的抛物线表达式为
把代入得
解得
∵，
∴
【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．
①如果，求四边形的面积；
②如果点E在直线上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)①，②或．
【分析】（1）根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）①根据，求出直线解析式，根据平移性质求出点E的坐标，再求四边形面积即可；②根据点E在直线上，求出点E的坐标，利用，得出，求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），点C的坐标为，
根据对称性可知点B坐标为，代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为．
（2）①解：抛物线的对称轴为直线，
所以顶点A的坐标为，与y轴交于点D的坐标为，
设的解析式为，把A，C代入得，
，
解得，
的解析式为，
因为，点D的坐标为，
所以的解析式为，
将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，
所以点E的纵坐标为，代入，
解得，，点E的坐标为，
设与x轴交于点G，则点G的坐标为，同时G也是平移后抛物线与x轴的交点，
，
，
四边形的面积为；
②设的解析式为，把D，C代入得，
，
解得，
的解析式为，
点E的纵坐标为，代入，
解得，，点E的坐标为，
当时，，
因为点E的坐标为，点D的坐标为，
所以，
点Q在平移后抛物线的对称轴上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式，根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标．
类型三、二次函数的对称轴与最值
21．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出m的取值范围；
(2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②或
(2)，理由见解析
【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；
（2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，点，
把点代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
②令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时， m的取值范围为或；
（2）解：，理由如下：
把点代入得：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线．
(1)当抛物线过点时，求抛物线的表达式：
(2)抛物线上任意不同两点都满足：当时，；当时，，试判断点在不在此抛物线上；
(3)抛物线上有两点，当时，恒成立，试求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)在
(3)
【分析】（1）将代入，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，求出对称轴，再根据题意，得到对称轴为直线，求出的值，进而得到抛物线的解析式，再进行判断即可；
（3）根据对称性求出点的对称点，根据时，恒成立，得到抛物线开口向下，即，且 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：将代入 得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴；
（2）解：∵ ，当时，，
∴抛物线与x轴交点坐标为，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵当时，；当时，，
∴抛物线对称轴为，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
将代入得：，
∴点在抛物线上．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点关于对称轴对称的点 ，
∵当时，恒成立，
∴抛物线开口向下，即，且 ，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的性质．利用抛物线的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
23．（2023·上海杨浦·统考一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线___________；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据抛物线关于其对称轴对称即可解答；
（2）由直线解析式可求出、，进而可利用待定系数法求出抛物线的表达式，再改为顶点式，即得出其顶点坐标．
【详解】（1）∵，
∴点A和点B的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：；
（2）∵点A、B在直线上，
∴，，
∴、．
∵点A和点B在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴顶点坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出抛物线的表达式，将二次函数一般式改为顶点式，一次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
24．（2023·北京顺义·北京市顺义区仁和中学校考一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2
【分析】（1）由对称轴是直线x＝，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．
25．（2023·天津西青·校考模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）的顶点为P，与x轴的一个交点为，与y轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点P的坐标：
(2)直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，请写出MG的长w关于m的函数关系式；
(3)当m取何值时，w取得最大值，并求出此时点M，G的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，取得最大值，
【分析】（1）待定系数法求出解析式，转化为顶点式求出顶点坐标．
（2）求出直线的解析式，用含的式子表示出的坐标，再列出关系式即可；
（3）转化为二次函数求值，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线，与x轴的一个交点为，与y轴相交于点，
∴，解得：，
∴，
∴顶点的坐标为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
∴，在的下方；
∴；
（3）解：∵，，
∴当时，取得最大值：；
此时：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
26．（2023·广东汕头·校联考一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点A，抛物线恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)求直线的解析式；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点A坐标代入，求职m的值 即可；
（2）因为直线经过A、B和点，所以经过点的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，根据题意得出，由抛物线与y轴交点的纵坐标为q,即可得出，从而得出q的最大值．
【详解】（1）直线经过点，
，解得，
∴直线为；
（2）直线与抛物线都经过点都在直线上，
所以直线与抛物线不可能有三个交点．且B、C两点的横坐标相同，
抛物线只能经过A、C两点，
把代入得，
解得；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与y轴的交点的纵坐标为q，
∴当时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质．
27．（2023·浙江温州·校考一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点在该抛物线上，将该抛物线，两点之间（包括，两点）的部分记为图像，设点的横坐标为．
(1)当时，
①图像对应的函数的值随的增大而 （填“增大”或“减小”），自变量的取值范围为 ；
②图像最高点的坐标为 ．
(2)当时，若图像与轴只有一个交点，求的取值范围．
(3)当时，设图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，直接写出与之间的函数关系式．
【答案】(1)①增大，；②
(2)或
(3)
【分析】（1）令，求出函数表达式并化为顶点式，根据,坐标和函数的对称轴解答①②即可．
（2）先判断函数与轴有交点时的取值范围；求出点、坐标，根据函数图像分点在点下方和点在点上方两种情况讨论；上方点的坐标大于0，下方点的坐标小于等于0．
（3）结合二次函数图像的对称性，分点在点的左边；点、重合；点在点右边三种情况讨论；当对称轴在点、两侧时由点、的纵坐标决定，当对称轴在点、之间时由点、的纵坐标较小的值和函数顶点的纵坐标决定．
【详解】（1）解：①当时，抛物线的表达式为，
即，
其对称轴是直线，顶点坐标为
点坐标为，点坐标为．
∴①函数的值随的增大而增大，自变量的取值范围为；
故答案为：增大；．
②函数的对称轴为，
当时，，
即点的坐标为 ，
故答案为：．
（2）当时，，
则点的坐标为，
所以，点的坐标为，
∵，
则，
即点在点的上方，
故当且时，符合题意，
即且，
解得，
当抛物线顶点落在轴上时，
此时，
解得：，
此时抛物线对称轴为直线，点横坐标为，符合题意，
综上，或．
（3）设抛物线的顶点为，则点，
由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为， ，
①当时，由（2）知，，
而，
故图像的点和点分别是最高和最低点，
则；
②当时，此时点、分别是的最高和最低点，
则；
③当时，此时点、分别是的最高和最低点，
则；
④当时，此时点、分别是的最高和最低点，
则；
∴综上所述 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质和图像特征，确定图像上点的位置关系再分类讨论是解题的关键．
28．（2023·河北·统考模拟预测）如图，直线与，轴分别交于点，，顶点为的抛物线过点．
(1)直接写出点，的坐标及的值；
(2)若函数在时有最大值为，求的值；
(3)当时，连接，过点作的垂线交轴于点．设 的面积为．直接写出关于的函数关系式．
【答案】(1)点，点，；
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点，点，将点坐标代入解析式可求的值；
（2）分，两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）过点作轴于，证明)得出进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：直线与，轴分别交于点，，
令，解得，则点，
令，解得，则点，
抛物线过点，
；
（2），
对称轴为直线，
当，时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：，
当，时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得：，
综上所述，
（3）当时，则，
如图所示，过点作轴于，
，
点坐标为，，
，，
，轴，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．（2023·浙江舟山·统考一模）已知二次函数．
(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
(3)已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
【答案】(1)，当时，；
(2)2或8；
(3)见解析．
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图象，结合图象可求解；
（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；
（3）由，得，容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，
当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
（2）当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：,
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，的值为2或8；
（3）证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以 ，得证．
【点睛】本题查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键．
30．（2023·安徽淮北·校联考一模）已知关于x的二次函数（m是常数）．
(1)若该二次函数的图像经过点，
①求m的值；②若该二次函数的图像与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求的面积；
(2)若该二次函数的图像与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；
【答案】(1)①；②
(2)2
【分析】（1）①直接利用待定系数法求解，再由二次函数的定义即可得出结果；
②先求出二次函数与x轴的交点，然后求面积即可；
（2）先确定纵坐标的解析式，然后化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：①关于x的二次函数的图像经过点，
，
整理得，
解得，，
，
，
；
②，
该二次函数表达式为，
当时，
即，
解得，，
点B在点C的左侧，
点B坐标为，点C坐标为，
的面积；
（2）当时，，
点P的纵坐标为，
又∵，
，
抛物线开口向下，
时，y有最大值2，
点P纵坐标的最大值为2．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括待定系数法确定解析式，与坐标轴的交点，一般式化为顶点式等，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
类型四、二次函数与方程、不等式问题
31．（2023·河南周口·一模）已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧）．
(1)抛物线对称轴为 ，点坐标为 ；
(2)当时，不等式的解集为 ；
(3)已知点，连接所得的线段与该抛物线有交点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用抛物线对称轴公式直接确定抛物线的对称轴即可；令，则，求解即可；
（2）将原不等式化为，结合二次函数图像确定答案即可；
（3）结合题意作出函数图像，当抛物线过点、点时，代入求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，
令，则，
解得或，
∵点在点左侧，
∴．
故答案为：，；
（2）不等式可化为：，
由函数和不等式的关系得：或，
故答案为：或；
（3）如下图，
当抛物线过点时，可有，
解得，
当抛物线过点时，，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与坐标轴交点、二次函数与不等式等知识，理解题意，综合运用相关知识是解题关键．
32．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点B，点B为二次函数图象的顶点．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)结合图象直接写出不等式的解集；
(3)点M为二次函数图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）把点代入，可求出b的值，可得到一次函数的解析式，再求出二次函数的对称轴为直线，可得点B的坐标，再把点A，B的坐标代入二次函数的解析式，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）根据题意可得点M的坐标为，点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，可得或，当点M位于一次函数的图象上时，由（1）得：或1，再结合图象，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点B的坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为；
（3）解：∵点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为，
∵点M向右平移1个单位长度得到点N，
∴点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，有
，
解得：或，
当点M位于一次函数的图象上时，
由（1）得：或1，
结合图象得：若线段与一次函数图象有交点，点M横坐标m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
33．（2023·广东深圳·校联考一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值；______，______，______；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集为______．
【答案】(1)，3，4
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解：由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，
解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；
当时，；
∴，，，
故答案为：，3，4；
（2）解：通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）解：要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满足条件，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
34．（2023·广西河池·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）顶点为A．
(1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ；
(2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)抛物线（m的常数）的对称轴为直线．，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有．求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)抛物线的解析式为，当时，函数值y随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）将代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令即可求得答案；
（2）运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（3）由题意，连线的中垂线与轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】（1）当时，，
∴顶点A，
令，得，
∴抛物线与y轴交点的坐标为，
故答案为：，；
（2）∵点在第一象限，且，
∴，且，
解得：，
∴抛物线的解析式为，当时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵的对称轴为直线．，为抛物线上任意两点，
∵，，都有．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握性质是解题的关键．
35．（2023·广东深圳·校考模拟预测）小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（I）列表（完成以下表格）．
（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答： ．
（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．
（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线的解析式；
②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
【答案】（I）表格见解析；（II）图象见解析；（Ⅲ）（1）x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变；（2）或；（3）①；②0或．
【分析】（I）将值代入函数式求出对应的函数值，据此填表即可得到答案；
（II）先描点，再连线即可得到函数图象；
（Ⅲ）（1）通过观察函数图象，即可得到答案；
（2）作出直线的图象，结合图象即可得到不等式的解集；
（3）①先求出函数与x轴和y轴的交点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
②先根据直线与函数有三个交点，得到，再根据直线向上平移，且直线与有且只有一个交点时，满足条件，求出m的值即可得到答案．
【详解】解：（I）表格如下所示：
（II）根据（I）中的表格描点，函数图像如下所示：

（Ⅲ）（1）通过观察可知，将函数在x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变，即可得到函数的图象，
故答案为：x轴下方的图象关于x轴对称，在x轴上方的图象不变；
（2）如图，在直角坐标系中画出直线的图象，
观察图象可知，，即函数在直线上方时的图象，
直线与函数的图象交于点E，F，，，
不等式的解集是或，
故答案为：或；
（3）①函数的图象与x轴交于A，B两点，
令，则，
解得：，，
B位于A的右侧，
，，
函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为；
②I.当直线经过点B时，如下图，直线与函数有三个交点，
满足条件，
II观察图象可知，平移后的直线与函数的图象恰好有3个交点，直线只能向上平移，
当时，函数，
设平移后的直线解析式为，
此时直线与有且只有一个交点，
只有一个解，，
即有两个相等实数根，
，
，
综上所述，将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，此时m的值为0或．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，二次函数的图象，函数图象交点确定不等式解集等知识，准确画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
36．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴相交于B、C两点（C点在B点的右侧）．
(1)判断点是否在抛物线上，并说明理由；
(2)若点A到x轴的距离为5，求a的值；
(3)若线段的长小于等于4，求a的取值范围．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据抛物线的解析式，计算当时，，即可判断点在抛物上；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，根据题意，即可得到关于a的方程，解方程即可求出答案；
（3）由题意求出用a表示的点B、C的坐标及的长，再根据已知条件求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
∵当时，，
∴点在抛物线上．
（2）解：，
又∵点A到x轴的距离为5，
∴当时，，解之得，
当时，，解之得，
或．
（3）解：，
∴当时，即，整理得：，
，
，
当即或时，，
，
、，
，
若线段的长小于等于4，则，
，
若，则不等式一定成立；
若，则，
，
，
，
，
综上所述，a的取值范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质、函数与方程的关系及解一元二次方程是解决问题的关键．
37．（2023·广东佛山·校联考一模）已知抛物线解析式（是常数）．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
(2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标是
【分析】（1）根据抛物线与轴只有一个公共点，则抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根，由此利用判别式求解即可；
（2）先求出，则，根据二次函数的性质求出当时，的值最大，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴只有一个公共点，即方程有两个相等的实数根，
∴
解得：；
（2）解：∵为该抛物线上一点
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴
∴点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
38．（2023·山东青岛·统考一模）已知二次函数
(1)求证：二次函数的图像与x轴总有两个交点
(2)若二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)证明方程的判别式大于零即可．
(2)先求得方程的两个根，根据二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，判定方程的一个根大于2，一个根小于1，建立不等式求解即可．
【详解】（1）∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴二次函数的图像与x轴总有两个交点．
（2）∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴的根为，
∵二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，
∴方程的一个根大于2，一个根小于1，
∵，
∴
解得．
故m的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与x轴的交点的意义，根的判别式，求根公式，解不等式组是解题的关键．
39．（2023·山西吕梁·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点，顶点为B．
(1)时，时，求抛物线的顶点B的坐标；
(2)求抛物线与轴的另一个公共点的坐标用含a，c的式子表示；
(3)若直线经过点B且与抛物线交于另一点，求当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可．
（2）把A点坐标代入抛物线可得，利用两根之积即可求出答案．
（3）根据点和都在抛物线上可求出b的值，从而得到和顶点B的坐标，再结合C点坐标可联立方程求出函数解析式，即可求出答案．
【详解】（1）解：把，代入抛物线得：，
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：把代入抛物线得：，
∴，
则抛物线，
∵两根之积，
∴，
∵，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为．
（3）解：∵点在抛物线上，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
由抛物线可得顶点B的坐标为，
把C点坐标代入直线解析式得：，
把B点坐标代入得：，
联立①、②并求解得：、或、，
∵，
∴，，
∴抛物线解析式为，如图所示
A、B、C点的坐标分别为、、，
∴当时，的最小值是，无最大值，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数的交点问题，灵活运用数形结合是解题关键．
40．（2023·广东深圳·校联考一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数中，当时，；当时，．
(1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
(4)若方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）把，；，代入求解即可；
（2）由，得出，再根据函数的图象写出函数的性质；
（3）根据图象得出不等式的解集；
（4）根据题意画出图象，再根据有四个不相等的实数根，得出结果．
【详解】（1）解：在函数中，当时，；当时，，
，
解得，
这个函数的表达式为；
（2）解：，
，
函数过点和，
函数过点和，
该函数图象如图所示，
性质：当时，的值随的增大而增大；
（3）解：由函数的图象可得，不等式的解集为：；
（4）解：由得，
作出的图象，
由图象可知，要使方程有四个不相等的实数根，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的画法，由图象写出不等式的解集，解题的关键是熟练掌握函数的图象和性质并正确画出图象．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…
…
15
8
0
0
3
15
…
…
15
8
0
0
3
15
…
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…
…
15
8
3
0
0
3
8
15
…
…
15
8
3
0
1
0
3
8
15
…