中考数学三轮冲刺培优训练专题07二次函数的应用（2份，原卷版+解析版）

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类型一、二次函数的应用：销售问题
1．（2023·广西南宁·校考一模）某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量y（瓶）与每瓶清洁剂的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34瓶；当销售单价为25元时，销售量为30瓶．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为w元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该清洁剂销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是192元．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.
【详解】（1）解：设与的关系式为，由题意，得，图象过点与，
把与代入，
得：，
解得：，
∴y与之间的函数关系式为，
∵每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，
∴；
（2）解：由题意可得：
，
此时当时，最大，
又由（1）可知：，
当时，随的增大而增大，
即当时，（元，
答：该清洁剂销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是192元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
2．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量件与售价元的相关信息如下：
(1)试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 (填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个函数解析式为 ．
(2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
【答案】(1)一次函数；
(2)售价定为元时，月销售利润达到最大
【分析】（1）由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元，所以这个函数是一次函数，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2） 设利润为，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元，所以这个函数是一次函数，
设其解析式为，
根据题意，得
解得
∴，
故答案为：一次函数；；
（2）设利润为，则，
∵获利不得高于进价的，
，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，最大，
答：售价定为元时，月销售利润达到最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
3．（2023·广东茂名·统考一模）我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】(1)y与x的函数关系式为；
(2)每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，再根据待定系数法求解即可；
（2）根据月利润=每件商品的利润×月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意得，，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每个月可获得的利润为w，
根据题意得，，
整理得，，
∵，
∴该抛物线开口向下，w有最大值，
当时，w有最大值，最大值为1800元．
∴每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
4．（2023·河南周口·校联考一模）受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此时机，某足球生产厂商推出了一款成本为50元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于，经调查，该产品的日销量 （个与售价（元之间满足一次函数关系．关于日销量与售价的几组对应值如下：
(1)求日销量y（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)①请写出每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式；
②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)①；②当时，利润w最大，最大利润为14900元
【分析】（1）根据一次函数过，，可求出函数关系式；
（2）①根据题意求出总利润与的函数关系式即可；②依据函数的增减性和自变量的取值范围即可得到结论．
【详解】（1）解：设关系式为，把，，代入得：
，
解得，
故与的之间的函数关系式为，
的取值范围为：；
（2）①，
即每天销售总利润（元）与售价（元）之间的函数关系式为；
②，
，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
，
当时，利润最大，最大利润为14900元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．
5．（2023·黑龙江大庆·校考一模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过50万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图像是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
(1)直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式 ， （不必写出自变量的取值范围）；
(2)求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过80万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
【答案】(1)
(2)，年产量为25万件时毛利润最大，最大毛利润为250万元
(3)今年最多可获得毛利润240万元
【分析】（1）结合图像，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；
（2）根据“毛利润=销售额﹣生产费用”可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）令，解方程求得x的值，然后根据函数图像结合y的取值范围，求得x的取值范围，最后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：图①可得函数经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得：，
故y与x之间的关系式为．
图②可得：函数经过点，
设，
则，解得：，
故z与x之间的关系式为．
故答案为：．
（2）解：
∵，
∴当x＝25时，W有最大值250，
∴年产量为25万件时毛利润最大，最大毛利润为250万元．
（3）解：令，得，解得：（负值舍去），
由图像可知，当时，，
由，的性质可知，
当时，W随x的增大而增大，
故当x＝20时，W有最大值240．
答：今年最多可获得毛利润240万元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的图像和性质等知识点，根据二次函数图像获取所需信息是解答本题的关键．
6．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量q（千克）的数据，如下表：
(1)观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；
(2)为了研究这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足的形式，请求出p关于x关于的函数表达式．
(3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？
【答案】(1)一次函数，
(2)
(3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．
【分析】（1）根据供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间的数量关系可得到答案；
（2）利用待定系数法求出函数表达式即可；
（3）根据供给量与需求量相等得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：观察表中的数据，可发现供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是，
故答案为：一次函数，
（2）由表格可知当时，，当时，，
∴
解得，
∴p关于x关于的函数表达式是．
（3）当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键．
7．（2023·湖北孝感·校考一模）中考临近，某中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买A、B两种食材共，A食材的价格为每千克5元，当B食材购买量不大于时，B食材的价格为每千克9元，当B食材购买量大于时，每增加，B食材的价格降低元．设购买B种食材（x为10的整数倍）．
(1)若，购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？
(2)若，且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，购买的总费用最少，最少总费用是多少元？
(3)若购买A食材不超过，购买B食材超过，商家获得的最大销售额为4000元，求m的值．
【答案】(1)购买A种食材，购买B种食材
(2)购买A种食材200千克时，购买的总费用最少，最少总费用是4200元
(3)100
【分析】（1）设购买B种食材，则购买A种食材，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据总费用等于A，B两种食材费用之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）令（2）中解析式，则解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：设购买B种食材，则购买A种食材，根据题意得：
，
解得：，
所以，
答：购买A种食材，购买B种食材；
（2）解：当时，购买B种食材的价格为每千克，
设购买的总费用为w元，根据题意得：
，
整理得：，
∴该函数图象的对称轴为直线，
∵购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，
∴，解得：，
∵且x为10的整数倍，
∴且x为10的整数倍，
∵，
∴该函数图象向下，
∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小，
∴当时，w有最小值，最小值为，此时，
∴购买A种食材200千克时，购买的总费用最少，最少总费用是4200元；
（3）解：由题意，结合（2）得：
令，
解得：，
∵购买B食材超过300千克，
∴应舍去，只取，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数和一元一次方程以及一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．
8．（2023·广东佛山·统考一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶套
(2)售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大
【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据题意，列出方程，即可；
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：该超市定制了这款垃圾桶套．
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，
∴，
，
∵且，
∴当时，有最大值，
答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．
【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．
9．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系．
(1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式；
(2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元
(3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元
【答案】(1)
(2)23元
(3)25元；250元
【详解】（1）解：（1）设每周销量（件）与销售单价（元）之间的关系式为
则解得：
（件）与销售单价（元）之间的关系式为：
故答案为：
（2）解：根据题意可得
整理，得，解得，
利润不高于，
舍去
答：该玩具的售价为23元．
故答案为：23元．
（3）根据题意得：，
随着的减小而增大
当时，取最大值且元
答：最大利润为250元．
故答案为：250元
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像和性质、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系数法求一次函数．解题过程中需要注意通过因式分解实现降次求得的取值是否符合题意以及是否能熟练掌握顶点式二次函数的解析式．
10．（2023·陕西西安·模拟预测）一食品店平均每天可卖出个某种甜点，卖出个甜点的利润是元，经调查发现，零售单价每下降元，每天可多卖出个甜点，为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降元．
(1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出______个甜点，利润是______元；
(2)在不考虑其它因素的条件下，当定为多少元时，才能使该店每天获得的利润是元，并且卖出的甜点更多；
(3)若使该店每天获取的利润最大，应定为多少元？并求出此时的最大利润．
【答案】(1)，
(2)元
(3)当应定为元时，该店每天获取的利润最大，最大利润为元
【分析】（1）根据题意先求出每天可卖出的甜点数，再根据利润单个甜点利润销售量求出对应的利润即可；
（2）根据利润单个甜点利润销售量列出方程求解即可；
（3）设每天的利润为W，根据利润单个甜点利润销售量列出W与x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：个，
∴零售单价下降元后，该店平均每天可卖出个甜点，
∴此时的利润是元，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，
整理得：，即，
解得或，
∵要使且卖出的甜点更多，
∴降价越多，即，
∴当定为元时，才能使该店每天获得的利润是元，并且卖出的甜点更多，
（3）解：设每天的利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴当应定为元时，该店每天获取的利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
类型二、二次函数的应用：分段问题
11．（2023·河北保定·校考模拟预测）东东在网上销售一种成本为30元件的恤衫，销售过程中的其他各种费用（不再含恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为（元件），销售量为（百件），当时，与之间满足一次函数关系，且当时，，有关销售量（百件）与销售价格（元件）的相关信息如表：
(1)求当时，与的函数关系式；
(2)求销售这种恤衫的纯利润百元与销售价格元件的函数关系式；
销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2) ；价格定为80元件时，获得的利润最大，最大利润是10000元
【分析】（1）把代入得，设与的函数关系式为：，把，；，，代入解方程组即可得到结论；
（2）①根据的范围分类讨论，由“总利润单件利润销售量”可得函数解析式；②结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．
【详解】（1）解：把代入得，
设与的函数关系式为：，
当时，，当时，，
，
解得：，
与的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）①当时，；
当时，；
销售这种恤衫的纯利润（百元）与销售价格（元件）的函数关系式为；
②当时，，
，
当时，取得最大值70（百元）；
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，（百元）（元），
答：销售价格定为80元件时，获得的利润最大，最大利润是10000元．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
12．（2023·湖北咸宁·校联考一模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售（件）与销售价（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
(1)直接写出日销售（件）与销售价（元/件）之间的函数关系式；
(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；
(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?
【答案】(1)；
(2)3人．
(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分两种情况解答：①当时；②当时，依据：总利润=单件利润×销售量-工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
【详解】（1）解：（1）当时，设y与x的函数解析式为，由图象可得：，解得：．
∴；
当时，设y与x的函数解析式为，由图象得：
，解得：．
∴．
综上所述：y=．
（2）设人数为a，当时，，
则，
解得：．
答：该店员工人数为3．
（3）设每件服装的价格为元时，每天获得的利润为元．
当时
当时，最大值．
当时

当时，最大值＝171．
∵
∴最大值
答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
13．（2023·湖北孝感·统考一模）某商场销售的一种商品的进价为元/件，连续销售天后，统计发现：在这天内，该商品每天的销售价格（元/件）与时间（第天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量（件）与时间（第天）之间满足一次函数关系．
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)设销售该商品的日利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出在这天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
(3)在这天内，日利润不低于元的共有多少天？请直接写出结果．
【答案】(1)
(2)，当时，w最大，；
(3)日利润不低于元的共有天；
【分析】（1）根据函数图像利用待定系数法可直接得到答案；
（2）根据利润利润单价数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案；
（3）根据利润不低于原列不等式即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
①当时，设函数解析式为：，
由图像可得，函数经过，，将点代入解析式得，
，
解得：，
∴，
②当时，此时，
综上所述可得，；
（2）解：由题意可得，
① 当时，
，
∵，，
∴当时，w最大，
，
② 当时，
，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，w最大，
∴，
综上所述：，当时，w最大，；
（3）解：根据题意可得，
，解得：，且t为整数，，解得： ，且t为整数，
∴，
综上所述：日利润不低于元的共有天；
【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题及不等式解决销售利润问题，解题的关键是求出利润w与t的函数关系式．
14．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
15．（2023·四川·校联考模拟预测）2022年全球疫情肆虐，医用物质紧缺，一线的抗议人员奋不顾身，用血肉之躯为我们开辟一条安全的道路，直至11月，全国各地相继宣布解封，各行各业纷纷复工投入上产，“阳光医疗器械厂”立即投入生产，下图表是12月份前5天的防护服售价y（元/套），和销量t（套）的关系表：
由于物价部门发现这种乱象，从第5天开始工厂对外调整价格为28元一套，据统计第6天以后防护服销量t（套）和第x天的关系出现：（，且x为整数）．
(1)直接写出销量t与第x天（前4天）满足的关系式：并且求出第6天以后第几天的销量最大，最大值为多少；
(2)若成本价为22元，该工厂这些天（按20天计）出售防护服得到的利润W（元）与x的函数关系式：直接写出第几天的利润的最大．
【答案】(1)，第6天以后第20天的销量最大，最大值为500套
(2)第20天的利润的最大，最大值3000元．
【分析】（1）前4天销量每天增加20套，故属于一次函数，用待定系数法求解即可；第6天以后销量最值直接求 最大值即可；
（2）表示出20天的利润W（元）与x的函数关系式再求最值即可，注意分两种情况讨论即可．
【详解】（1）∵由表格可知，前4天销量每天增加20套，
∴销量t与第x天（前4天）满足的一次函数关系，设
由表格可知和在上
∴，解得
∴销量t与第x天（前4天）满足的；
∵的对称轴为直线，而
∴当时，t随x的增大而增大
∴当时，t最大，最大值，
即第6天以后第20天的销量最大，最大值为500套；
（2）当时销售价格
∴
对称轴为直线，而
∴当时，随x的增大而增大
∴当时，最大，最大值元，
当时，
对称轴为直线，而
∴当时，随x的增大而增大
∴当时，最大，最大值，
综上所述，第20天的利润的最大，最大值3000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及分段函数的知识，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用，难度较大．
16．（2023·辽宁阜新·校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的售价不超过元，每天可销售件；若每件文具售价超过元，每提高元，每天的销量就会减少件，但每件文具售价不得高于元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成本）元，设每件文具的售价为（元），文具连锁店每件利润为元，文具连锁店每天销售这种文具的纯收入为（元）．（注：纯收入＝销售额﹣成本﹣其他费用）
(1)根据题意，填写下表：
(2)经调查，该文具店每天销售这种文具的每件收入为（元）与零售价（元/件）满足一次函数关系，其图象如图，求出与之间的函数关系式；
(3)如果这种文具每件的售价不超过元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天销售这种文具的纯收入最高？最高纯收入为多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元
【分析】（1）根据表中文具的销售量和售价的变化情况填空即可；
（2）利用表中的对应值确定一次函数解析式即可；
（3）分和两种情况，根据“纯收入=（售价进价）×销售量每天固定成本”可得函数解析式，当时，利用一次函数的增减性求解；当时将二次函数配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解；综合以上两种情况下的最值，从而得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，当时，销售量为300件，
当时，销售量为（件），
补全表格如图：
（2）解：与之间的函数关系式为，
把点和代入上式得
，
解得，
即与之间的函数关系式为；
（3）解：时，，
解得，
所以文具的进价为元，每件利润，
当每件文具售价不超过元，即时，；
当每件文具售价超过元，即时，；
①当时，中随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值；
②当时，，
，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值；
答：当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此正确列出函数解析式，还要熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
17．（2023·江西南昌·统考一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)，其中
(2)280件
(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）首先可判断出购买的数量小于400而大于200，则由数量单价=付款额，列出关于x的一元二次方程即可求解；
（3）分及两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．
【详解】（1）解：由图知，当时，线段过点及，
设过这两点的线段解析式为：，
则有：，
解得：，
即，其中；
（2）解：由图知，当x=200时，所付款为：（元），当x=400时，所付款为：（元），而，则购买数量位于200与400之间；
由题意得：，
即，
解得：，（舍去），
即此次批发量为280件；
（3）解：当时，
即，
当时，w有最大值，且最大值为3125；
当时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当时，利润最大，且最大利润为：（元）
由于，
所以当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系式是关键，注意数形结合．
18．（2023·江苏扬州·校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)见解析
(2)y＝
(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元
【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；
（2）根据图像写出分段函数即可；
（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
∴，
解得，
即z＝2x+8，
当时，销售量，
则将表格中的最后一列补充完整如下表：
（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，
设y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝-x+19（0＜x≤20），
当20＜x≤30时，y＝9，
∴y关于x的函数关系式为y＝；
（3）由题意知，当0＜x≤20时，
w＝＝﹣x2+24x+112＝，
∴此时当x＝12时，w有最大值为256，
当20＜x≤30时，
w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此时当x＝30时，w有最大值为272，
综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键．
19．（2023·浙江杭州·模拟预测）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
(2)社区至少要准备2700元购书款．
【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；
（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当时，当时及当时，进而问题可分类求解即可．
【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：
，解得：；
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：
①当时，则有：，
∵12＞0，
∴当m=30时，w有最小值，即为；
②当时，则有：，
∵-1＜0，对称轴为直线，
∴当时，w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w有最小值，即为；
③当时，此时科技类图书的单价为（元），则有，
∵2＞0，
∴当m=51时，w有最小值，即为；
综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．
20．（2023·湖北武汉·校考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
【答案】(1)
(2)每件冰墩墩定价为58元
(3)
【分析】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得；
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解，注意以让利给顾客为依据对根作取舍；
（3）设销售总利润为w，由题意，得 ，根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围，根据抛物线的性质和最大利润为400万元即可求出a的值．
【详解】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得：；
（2）
解得，
∵尽量给客户优惠
∴每件冰墩墩定价为58元；
（3）设销售总利润为w，由题意，
得 ，
又∵，则
∵二次项系数，抛物线开口向下，
①若，则当时，，不符合题意，舍去
②若，即
当时，随的增大而增大，
∴时，最大，
此时
解得，（舍）
∴．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意得出y与x的关系式以及列出二元二次方程是解答本题的关键．
类型三、二次函数的应用：投球问题
21．（2023·河北沧州·校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
(2)请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
(3)此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
【答案】(1)
(2)小明的这次跳起投篮能投中
(3)他距运动员小明至少1.2米
【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，在根据顶点式带入求解．
（2）求当时的求函数值．
（3）求出时的x值．
【详解】（1）解：由题意及图形知：抛物线的顶点为：，过点，
设抛物线的解析式为：，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
所以小明的这次跳起投篮能投中．
（3）解：当时，，
解得：，
由题意知：，
，
，
所以他距运动员小明至少米．
【点睛】此题考查了二次函数的解析式求解及应用，解题的关键是熟练应用二次函数性质．
22．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次摸拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】(1)；
(2)最大高度未达到要求，理由见解析；
(3)米．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
23．（2023·江西南昌·统考一模）为增强学生身体素质，创设体育文化氛围，某校开展田径运动会，小贤同学报了投铅球比赛的项目，如图曲线AB就是他投出的铅球运动路线，呈抛物线形，出手点A离地面的高度为，铅球飞行的水平距离的长度为m．过作于点，以OB为轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)写出，两点的坐标；
(2)若抛物线的解析式为
①求的取值范围；
②若，求小贤同学投出的铅球运动路线（抛物线）的解析式．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据题意可直接得出结果；
（2）①根据对称轴在O、B之间可得：，由此确定的取值范围；
②利用待定系数法设该抛物线的表达式为，然后将点A代入求解即可；
【详解】（1）解：∵出手点A离地面的高度为，铅球飞行的水平距离的长度为m．
∴，．
（2）解：①∵，
∴．
②∵，
∴对称轴：直线．
故该抛物线与轴的另一个交点为．
∴设．
将代入上式子得．
∴．
∴．
故小贤同学投出的铅球运动路线的解析式为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握用待定系数法确定函数解析式及求方程的解是解题关键．
24．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴；
(2)小球在斜坡上的落点为，求点的坐标；
(3)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】(1)；
(2)
(3)小球能飞过这棵，理由见解析
(4)
【分析】（1）把点代入，求出b的值，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）联立得：，即可求解；
（3）把分别代入，和，即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
（3）解：小球能飞过这棵，理由如下：
当时，
对于，，
对于，，
，
∴小球能飞过这棵树；
（4）解：根据题意得：小球在飞行的过程中离斜坡的距离为
，
∵，
∴小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
25．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度与球和点的水平距离的函数的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点的点处，球距地面的高度为，即，对方球门与点的水平距离为．
(1)当时，
①求与的关系式；
②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离；
(2)防守队员丙站在距点正前方的点处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为，即，球门的高度为，即，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或
(2)
【分析】（1）依题意，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式，进而，根据对方球门与点的水平距离为，即可求解．
（2）设抛物线解析式为，依题意，当时，，当时，，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令，即，
解得：，
∵对方球门与点的水平距离为，
∴当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或；
（2）解：设抛物线解析式为，
依题意，当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（2023·浙江湖州·统考一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（m）与时间（s）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
【答案】(1)；
(2)不达标
(3)不能
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分别把和代入，求出t的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
即，
即该运动员铅垂高度的最大值为；
把点代入得：
，解得：，
∴满足的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴该运动员的成绩不达标；
（3）解：当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
∴该运动员从起跳到落地所用时间为，
∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，
∴该运动员从起跳到落地不能完成动作．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
27．（2023·北京西城·校考一模）奥运会主火炬手小王练习射箭点火．他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向米远、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为，且火炬塔垂直平分，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：），获得数据如表：
小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小芳的探究过程，请补充完整：
(1)k的值为_________；
(2)在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
(3)只要小王射出箭的轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入圣火台．请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：_______________（填“是”或者“否”）
(4)开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形范围内（包含边界），都可以顺利点燃主火炬．小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹（即向右平移原抛物线）．若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______________米．（结果请保留根号）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是
(4)
【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴小王可以将这支箭射入圣火台．
故答案为：是．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．
28．（2023·河南郑州·统考一模）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?
【答案】(1)①，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；②，本次训练的成绩为
(2)有提高，理由见解析
(3)a变大，b变大
【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；
（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；
（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式和结论可作出结论．
【详解】（1）解：①根据表格数据，当和时，y值相等，则直线是对称轴，
∴顶点坐标为，
由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，
故答案为：，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②设y与x近似满足的函数关系式为，
将，代入，得，解得，
∴y与x近似满足的函数关系式为；
令，由得，（负值舍去），
∴本次训练的成绩为；
（2）解：有提高，理由为：
对于函数，抛物线的顶点坐标为
令，由得，（负值舍去），
∵，，
∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，
即第二次训练成绩与第一次相比有提高；
（3）解：对于函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
由题意，，，着陆距离为（负值舍去），最大垂直高度为，
要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，
结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a变大，b变大．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．
29．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
(3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】(1)，
(2)小球M能飞过这棵树；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，把代入即可确定抛物线解析式；
（2）将分别代入两个函数求解，比较即可．
（3）设小球M在飞行的过程中离斜坡的高度为h米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出h关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，，
∵，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）小球M在飞行的过程中离斜坡的高度，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
30．（2023·河北沧州·校考一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
类型四、二次函数的应用：喷水问题
31．（2023·湖南永州·校考一模）一座桥如图，桥下水面宽度是10米，高是4米．如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【答案】(1)
(2)宽度须不超过5米
【分析】（1）先根据题意得到，然后把抛物线设成交点式进行求解即可；
（2）求出当时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，则，
解得，
∴要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的抛物线解析式是解题的关键．
32．（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为，宽为，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)若一艘高于水平面的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于，设它顶部最宽处为，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？
【答案】(1)
(2)不得超过m
【分析】（1）设，把顶点坐标为代入可得解析式；
（2）将代入解出x的值可得答案．
【详解】（1）设这条抛物线的函数关系式为，
由题意得顶点坐标为，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴这条抛物线的函数关系式为；
（2）当时，，
解得：，，
∵顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于，
∴，
解得，
∴d的值不得超过m，小船才能顺利通过．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题．
33．（2023·安徽滁州·校考一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)求高架桥两端的的距离；
(3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】（1）过点作于点，作 轴于点，在 中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解．
（3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作 轴于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
在 中，轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设抛物线对应的函数表达式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）令，
解得：，
∴，
∴（米）
（3）设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设矩形中，米，
则，代入，，
得，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
，
设总费用为，
∴
；
当时，取得最小值，
最小值为，
∴菱形广告牌所需的最低费用为元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
34．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)水面宽是，它能安全通过此桥
【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；
（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为米．
则，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，得
船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：米．
设此时水面宽为 ，
，
由（1）知：，
∴F纵坐标为，
把代入，得
，
解得：，，
∴，
．
船的速度不变，它能安全通过此桥．
答：该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是，它能安全通过此桥．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
35．（2023·北京西城·北京市第三十五中学校考一模）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)能实现；
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，代入求解析式即可；
（2）设“技”的坐标，表示“科”，列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴
∴
∴这条抛物线表示的二次函数为．
（2）能实现；．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，
则 “科”，
“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或(舍去)
【点睛】本题考查运用二次函数解决实际问题，建立适当的平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．
36．（2023·陕西咸阳·统考一模）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
(1)直接写出c＝ ；
(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
【答案】(1)5；
(2)10米；
(3)能安全通过，理由见解析．
【分析】（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解；
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得；
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、解一元二次方程、二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，能结合图形与实际列式求解．
37．（2023·河南信阳·统考一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
38．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为_______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）
【答案】(1)d，h
(2)见解析
(3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；
故答案为：d，h；
（2）解：描点，连线，画出图象如图：
；
（3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d3.3或d0.7，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
39．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面的宽为18米，拱顶离水面的距离为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形.
①如果限定矩形的长为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？
②若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高.
【答案】（1）此抛物线的解析式为y=-x2；（2）①要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；②矩形CDEF的高为米.
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．把已知坐标（9，-9）代入解析式求得a即可；
（2）①已知CD=12，把已知坐标代入函数关系式可求解；
②设DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-a2，根据L=EF+DE+CF求得L的值最大时a的值，代入DE=9-a2问题可解．
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2，
将点Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-，
此抛物线的解析式为y=-x2；
（2）①当x=6时，y=-×36=-4，
∵9-4=5，
∴矩形的高DE不能超过5米，才能使船通过拱桥；要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过5米；
②设DM=a米，则EF=CD=2DM=2a米，
当x=a时，y=-a2，
∴DE=FC=9-a2，
则L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，
∴当a=时，L取得最大值，矩形CDEF的高为米
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，根据已知条件得出L的函数关系式及其最值情况是解题关键．
40．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．
(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．
【答案】(1)3.99
(2)见解析
(3)是
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；
（3）在中，令，求得相应的值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过.
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值为3.99；
故答案为：3.99；
（2）解：如图，建立直角坐标系，
（3）解：将代入，得：
，解得：，
抛物线的表达式为；
在中，令，得：
，
车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，
该货车能安全通过；
故答案为：是．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
类型五、二次函数的应用：拱桥问题
41．（2023·江西吉安·校考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
(1)求出与之间的函数关系；
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)水柱的最大高度，的取值范围为．
【分析】（1）设与之间的函数关系为，代入，，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，则，求解方程取满足实际要求得值即可；
（3）．由题意可知：不变，即，且的位置不变，即，设，把代入解得，易知，当最小时，即时，代入水柱有最大高度为的值即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系为，
代入，，，得：
，解得：，
∴设与之间的函数关系为；
（2）令，则，即：；
∴，
∴（舍）或，
∴水柱落地点与雕塑的水平距离为；
（3）由在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，可知：
不变，即，且的位置不变，即，
设，
把代入得，，解得，把代入得，，解得,
∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，
∴，
当最小时，即时，即水柱有最大高度为，
∴水柱的最大高度，的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
42．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)；6m
(2)
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为6m；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
43．（2023·安徽蚌埠·统考一模）某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管，米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．
(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？
(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？
【答案】(1)
(2)她不会被水喷到；
(3)
【分析】（1）根据图像设抛物线解析式为，根据题意将点代入即可得到答案；
（2）计算当时y的值，与比较即可得到答案；
（3）根据题意中形状不变得到不变，对称轴是及过点代入顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由图像可得，
，，图像过，
∴ ，
解得：，
∴；
（2）解：当时，
，
∴她不会被水喷到；
（3）解：设解析式为，
由题意可得，
∵图像形状不变，仍在距离原点处达到最高，落水点与喷水管距离，
∴，，过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∴，
，
∴要升高米．
【点睛】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，解题的关键是根据图像及题意提取相关信息．
44．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
(1)求出满足条件的函数关系式；
(2)身高米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
【答案】(1)抛物线为：
(2)画图见解析，
【分析】（1）由表格信息先求解抛物线的对称轴，再求解得到坐标，再把代入求解即可；
（2）先画抛物线的实际图象，结合图象再求解抛物线与x轴的交点坐标，从而可得答案．
【详解】（1）解：由表格信息可得抛物线过，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴顶点坐标为：，
∴抛物线为：
把代入可得，，
解得：，
∴抛物线为：．
（2）如图，根据表格信息结合抛物线的对称性先描点，再连线画图如下：
当时，结合抛物线的对称性可得：或，
当时，则，
解得：，，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．
45．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】(1)见解析
(2)7.0
(3)游船没有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）把代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为，
将代入得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（舍去），
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米；
（3）解：当时，，
∴游船没有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
46．（2023·河北沧州·校考模拟预测）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
(1)建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
(2)不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
(3)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
【答案】(1)
(2)水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外
(3)调整后水管的最大长度米
【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，将代入得，求出的值即可；
(2)令，得，，解得(舍)或，可得直径至少为(米)；
(3)将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，设平移后的抛物线的解析式为∶，将代入得求出的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令求出即可．
【详解】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为∶．
（2）令，得，，
解得(舍)或，
(米)，
水池的直径至少要6米才能使珞出的水流不落到池外．
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，
设平移后的抛物线的解析式为∶，
将代入得，，
解得，
当时，．
调整后水管的最大长度米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
47．（2023·北京顺义·北京市顺义区仁和中学校考一模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求所画图象对应的函数表达式；
(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
(4)72米
【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；
（2）观察图象即可；
（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度．
【详解】（1）坐标系及图象如图所示．
（2）由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米．
（3）∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），
∴抛物线的对称轴为．
∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）．
设抛物线的函数表达式为．
把（1.0，4.2）代入，解得．
∴所画图象对应的函数表达式为．
（4）令，解得（舍），．
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米．
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴正方形护栏的边长至少为18米．
则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏．
【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．
48．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可；
（2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案；
（3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴可设上边缘抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得或，
∴；
∵上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴在上边缘抛物线上点的对称点为，
∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
对于上边缘抛物线，当时，则，
解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键．
49．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】(1)见解析
(2)①；②6.7米
(3)会，见解析
(4)游船有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）根据对应点画图象即可；
（2）①利用待定系数法求出二次函数的关系式；②把代入即可；
（3）根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论；
（4）把代入二次函数关系式得到得值，再与4.2比较即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：①由图象得，顶点，
设，
把代入可得，
；
②当时，，
解得或（舍去），（米），
答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米，
（3）解： ，
改变喷泉的推力后抛物线开口变大，
此时喷泉会喷到水池外面．
（4）解：当时，，
答：游船有被喷泉淋到的危险.
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
50．（2023·北京海淀·校考二模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】(1)作图见解析
(2)6.7
(3)游船有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）以左下角的点为原点，建立平面直角坐标系如图，然后描点，最后用平滑的曲线连接即可；
（2）根据图象中米时，估算值即可；
（3）由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，将代入，解得，可得二次函数顶点式，由平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米，可将代入二次函数解析式中求得的值，然后与比较大小，进而可得出结论．
【详解】（1）解：建立如图坐标系，描点后用平滑的曲线连接即可，
（2）解：米时，由图象可估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米
故答案为：6.7．
（3）解：由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设二次函数的解析式为
将代入，解得
∵平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米
∴将代入二次函数解析式中得米
∵
∴游船有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．
售价x(元)
…
销售量y(件)
…
销售单价x（元）
40
50
月销售量y（件）
100
80
售价x（元）
60
70
100
日销量y（个）
140
120
60
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量p（千克）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
供给量q（千克）
…
1.5
2
2.5
3
销售量百件
______
销售价格元件
售价x（元/件）
销售量（件）
100
第x天
1
2
3
4
5
销售价格y（元/套）
30
32
34
36
38
销量t（套）
100
120
140
160
180
文具的销售量（件）
…
___
___
…
每件文具售价（元）
…
…
文具的销售量（件）
…


…
每件文具售价（元）
…
…
x（天）
1
2
3
…
x
每天的销售量（千克）
10
12
14
…

x（天）
1
2
3
…
30
每天的销售量（千克）
10
12
14
…
68
售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
水平距离（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度（m）
（单位：）
（单位：）
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
0
2
6
10
3
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
…
（米）
0
1
2
3
4
…
（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8
/米
0
0.7
2
3
4
…
/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…