中考数学二轮培优题型训练压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算（2份，原卷版+解析版）

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（1）求证：AC＝CD；
（2）若BE＝4，CD＝8，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△AFO≌△CEB即可判断；
（2）根据S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，CECD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，AFAC，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS），
∴AF＝CE，
∴AC＝CD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CECD＝4，
设OC＝r，则OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8，
连接OD，如图，
在Rt△OEC中，OE＝4OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
84
π﹣16．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．
例2．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BCAB＝2，ACBC＝2，即得S△ABCBC•AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣22π﹣2．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BCAB＝2，ACBC＝2，
∴S△ABCBC•AC2×22，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣22π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
例3．（2023•武安市一模）如图、点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M、连接PM，与交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N．
（1）求证：△PEM≌△PDN；
（2）已知PD＝3，EM；
①通过计算比较线段PN和哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）先求证∠PEM＝∠PDN，∠EPM＝∠DPN，利用“ASA”即可证明△EPM≌△DPN；
（2）①利用勾股定理计算PN的长度，利用弧长公式计算的长度，比较大小，即可得出答案；
②利用阴影部分的面积＝S△PEM﹣S扇形PEF，进行计算，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵EM⊥PE，PD⊥BC，
∴∠PEM＝∠PDN＝90°，
∵PM⊥PN，∠EPD＝90°，
∴∠EPD＝∠MPN＝90°，
∴∠EPD﹣∠MPD＝∠MPN﹣∠MPD，
∴∠EPM＝∠DPN，
在△EPM和△DPN中，
，
∴△EPM≌△DPN（ASA）；
（2）解：①∵PD＝3，EM，△EPM≌△DPN，
∴DN＝EM，
∴PN23.46，
在Rt△PDN中，tan∠DPN，
∴∠DPN＝30°，
∴∠DPF＝90°﹣30°＝60°，
∴的长π≈3.14，
∴线段PN的长度更长；
②∵PD＝3，EM，∠DPN＝30°，△EPM≌△DPN，
∴PE＝PD＝3，∠EPM＝∠DPN＝30°，
∴阴影部分的面积＝S△PEM﹣S扇形PEF
3
π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长的计算公式，扇形面积的计算公式是解决问题的关键．
1．（2023•青山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点．
​（1）求证：∠BOD＝2∠BAC；
（2）若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
（2）根据扇形AOC的面积减去△AOC的面积，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BAC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∵CD＝AC＝4，
∴CD＝AC＝AD＝4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，S△ACD4，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形AOC，
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2023•黄浦区二模）已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且．
（1）求弦AB的长；
（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出△OPB是等边三角形，得到∠POB＝60°，由sin∠BOQ，求出BQ的长，由垂径定理即可求出AB的长；
（2）由得到∠BOC＝∠POB＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到∠OBC＝60°，因此∠OBC＝∠BOP，得到BC∥OP，推出△OBC的面积＝△PBC的面积，得到阴影的面积＝扇形OBC的面积，求出扇形OBC的面积即可．
【解答】解：（1）∵AB垂直平分PO，
∴OB＝BP，
∵OP＝OB，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠POB＝60°，
∵sin∠BOQ，
∴BQ＝2×sin60°，
∵OP⊥AB，
∴AB＝2BQ＝2；
（2）∵，
∴∠BOC＝∠POB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠OBC＝∠BOP，
∴BC∥OP，
∴△OBC的面积＝△PBC的面积，
∴阴影的面积＝扇形OBC的面积，
∵扇形OBC的面积π，
∴阴影的面积π．
【点评】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，扇形面积的计算，关键是由条件推出阴影的面积＝扇形OBC的面积．
3．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝8，弧BC的度数是60°．
（1）求线段OD的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
【分析】（1）过C作CE⊥AD于E，根据已知得到∠COD＝60°，根据直角三角形的性质得到CE，求得AC根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AD于E，
∵弧BC的度数是60°，
∴∠BOC＝60°，又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OC＝8，
∴OE＝4∴，
∴，
∵，OA＝OC＝8，
∴；
（2）．
【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
4．（2022秋•青山湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点F．
（1）求证：E、F、B在同一条直线上；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）如图所示，连接EF，BF，分别证明△EDF、△BCF都是等腰直角三角形，得到∠DFE＝∠BFC＝45°，则∠EFC＝135°，推出∠BFC+∠EFC＝180°，即可证明E、F、B在同一条直线上；
（2）根据S阴影＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形BCF）进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图所示，连接EF，BF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，
∴∠EDF＝90°，
由作图方法可知AE＝AB＝10，CF＝BC＝6，
∴DF＝CD﹣CF＝4＝AE﹣AD＝DE，
∴△EDF、△BCF都是等腰直角三角形，
∴∠DFE＝∠BFC＝45°，
∴∠EFC＝180°﹣∠DFE＝135°，
∴∠BFC+∠EFC＝180°，
∴E、F、B在同一条直线上；
（2）解：∵，，S矩形ABCD＝AB⋅AD＝6×8＝48，
∴S阴影＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形BCF）＝25π﹣（48﹣9π）＝34π﹣48．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求不规则图形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．
（1）求证：OE＝DE；
（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BD，证明△OBD是等边三角形，可得结论；
（2）根据S阴＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵的度数是60°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∵OD⊥BC，
∴OE＝DE；
（2）解：连接OC．
∵OD⊥BC，OC＝OB，
∴∠COE＝∠BOE＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OC＝2OE＝2，
∴CE，
∴S阴＝S扇形AOC+S△COE1．
【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD是等边三角形是关键．
6．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，．
（1）求证：AB＝CD．
（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．
（3）若CP：DP＝1：3，OP，AP，求阴影部分面积．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理即可证得结论；
（2）根据垂径定理得到OE＝OF，再根据角平分线的判定即可得到结论；
（3）根据相交弦定理求得CP，进而利用勾股定理求得OE，进一步求得半径，解直角三角形求得∠DOE＝60°，从而求得∠DOC＝120°，然后根据∴S阴影＝S扇形﹣S△COD求得即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴，即，
∴AB＝CD．
（2）证明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴点O在∠BPD的平分线上，
∴线段OP平分∠BPD；
（3）解：连接OC、OD，
∵CP：DP＝1：3，
∴设CP＝m，DP＝3m．则AB＝CD＝4m，
∵AP，
∴PB＝4m，
∵AP•PB＝CP•DP，
∴（4m）＝m•3m，
解得m，
∴CP，CD＝4，
∴DE＝CECD＝2，
∴PE，
∵OP2＝PE2+OE2OP，
∴OE2，
∴OD4，
∴sin∠DOE，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△COD4．
【点评】本题考查了扇形的面积，角平分线的性质，垂径定理，相交弦定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
7．（2023•武汉模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；
（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）作OM⊥AB于M，利用垂径定理得到AM＝BM，在Rt△OAC中计算出OMOA＝3，AMOM＝3，则AB＝2AM＝6，然后根据扇形面积公式，利用S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可；
（2）作直径AF，连接BF，进而得出BF＝DC，再利用三角形中位线的性质得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB＝120°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵CD＝6，
∴OA＝OC＝CD＝6，
作OM⊥AB于M，如图（1），则AM＝BM，
在Rt△OAM中，∠A＝30°，
∴OMOA＝3，AMOM＝3，
∴AB＝2AM＝6，
∴S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB
•63
＝12π﹣9；
（2）OECD，
证明：作直径AF，连接BF，如图（2），
∵∠AOB+∠COD＝180°，
而∠AOB+∠BOF＝180°，
∴∠BOF＝∠COD，
∴BF＝CD，
∵E是AB的中点，O是AF的中点，
∴OE为△ABF的中位线，
∴OEBF，
∴OECD．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
8．（2022•临沭县二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BEEM ；
（2）求证：；
（3）若AM，MB＝2，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到，根据题意得到，进一步得到；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝2，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】（1）解：结论：BEEM．
理由：∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BEEM，
故答案为：BEEM；
（2）证明：连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝2，
又∵BEEM，
∴BE＝2，
∵在Rt△AEM中，EM＝2，AM＝2，
∴tan∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝2，
又∵，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝2
又∵S扇形OCNπ，S△OCN•CNCN222，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCNπ﹣2．
解法二：得出∠EAB＝30°之后，可连接AN，可利用（2）中结论推出∠NAC＝30°从而得出∠NOC＝60°，进而直接算出阴影部分的面积．
【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
9．（2022•海陵区二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：2OE＝CD；
（2）若∠BAD+∠EOF＝150°，AD＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得BF＝CF，，则BD＝CD，再根据垂径定理得OE⊥AB，AE＝BE，则OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得BD＝2OE，即可得出结论；
（2）连接BO，CO，BD，根据三角形外角的性质以及∠BAD+∠EOF＝150°得∠BAD＝30°，由三角形的内角和定理得∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABO＝120°，则∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，可得△BOD是等边三角形，可得AO＝BO＝CO＝DOAD＝2，OEOA＝1，OF＝DFOD＝1，利用勾股定理求出BF，根据S阴影S⊙O+S△CDF﹣S△ABF即可得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC⊥AD，
∴BF＝CF，，
∴BD＝CD，
∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴AE＝BE，
∵AO＝DO，
∴OE是△ABD的中位线，
∴BD＝2OE，
∴2OE＝CD；
（2）解：如图，连接BO，CO，BD，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵∠EOF＝∠BAD+∠AEO，∠BAD+∠EOF＝150°，
∴∠BAD＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABO＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∵BC⊥AD，
∴OF＝DFOD，∠BFO＝90°，
∵，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∵AD＝4，
∴AO＝BO＝CO＝DOAD＝2，
∴OEOA＝1，OF＝DFOD＝1，
∴BF，AF＝OA+OF＝2+1＝3，
∴CF＝BF，
∴S阴影S⊙O+S△CDF﹣S△ABFπ×22132π，
∴阴影部分的面积为2π．
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．
10．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB，
∴阴影部分的面积S阴．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，
∴∠EOO1∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
11．（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）填空：∠CAB＝ 30 度；
（2）求OE的长；
（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．
【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，即可求得∠CAB＝30°；
（2）由∠CAB＝30°求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；
（3）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．
【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
∴∠CAB＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，
∴BCAB＝3，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OEBC；
（3）连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OEOAOF＝EF，
∵∠OEC＝∠FEA，
∴△COE≌△AFE（SAS），
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOCπ．
即可得阴影部分的面积为π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．
12．（2022•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为E，弦CF交直径AB于点G，连接DF，∠CDF＝75°，CD＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段GB，GF与围成的阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到DE＝CECD，由OEOAOD得到∠ODE＝30°．解直角三角形即可求得⊙O的半径；
（2）连结OF，过点F作FM⊥AB于点M，则OD＝OF＝2，∠OMF＝90°，由∠CDF＝75°，∠ODE＝30°，得到∠ODF＝∠OFD＝45°．即可求得∠DOF＝90°，从而求得∠C＝45°，∠DOE+∠FOM＝90°，进而求得∠CGE＝∠C＝45°＝∠MGF，得到MG＝MF．易证得△DOE≌△OFM．即可求得FM＝OE＝1＝MG，OM＝DE，进一步得到OG＝OM﹣GM1，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△OGF求得即可．
【解答】解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥CD
∴DE＝CECD．
∵CD平分AO，
∴OEOAOD．
∴∠ODE＝30°．
在Rt△CDE中，OD2，
∴⊙O的半径为2．
（2）连结OF，过点F作FM⊥AB于点M，则OD＝OF＝2，
∵∠CDF＝75°，∠ODE＝30°，
∴∠ODF＝45°．
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD＝45°．
∴∠DOF＝90°．
∴∠C＝45°，∠DOE+∠FOM＝90°．
∵∠CEG＝90°，
∴∠CGE＝∠C＝45°＝∠MGF．
∵∠OMF＝90°，
∴∠MFG＝∠MGF＝45°．
∴MG＝MF．
∵∠ODE+∠DOE＝90°，
∴∠FOM＝∠ODE＝30°，
在△DOE和△OFM中，
，
∴△DOE≌△OFM（AAS）．
∴FM＝OE＝1＝MG，OM＝DE，
∴OG＝OM﹣GM1，
∴S阴影＝S扇形BOF﹣S△OGF（1）×1．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定和性质，扇形的面积，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角函数即可求得∠AED＝30°；
（2）解直角三角形求得AB＝8，进而即可求得DB＝6；
（3）利用S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cs∠CAB，即cs60°
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠COD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD2，
∴S△OCDS△ACD，
∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCDπ．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
【分析】（1）解直角三角形求出AH，OH，根据S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH，求解即可．
（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小，解直角三角形求出OP，OD即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OHOA＝2，AHOH＝2，
∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH2×22π．
（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
设OP＝m，则PM＝2m，
∵PM2＝OM2+OP2，
∴4m2＝m2+22，
∴m，
∴PD＝OD+OP2．
【点评】本题考查扇形的面积公式，菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
15．（2021•高港区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝24°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝3，求阴影部分的面积；
（3）若AD•AB＝12，求AC的值．
【分析】（1）连接CD，利用三角形内角和定理求出∠ACD即可；
（2）证明△ACD是等边三角形，再利用分割法求出阴影部分的面积即可；
（3）作CH⊥AB于点H．证明△ACH∽△ABC，推出AC2＝AH•AB，可得结论．
【解答】解：（1）连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝66°，
∴∠ACD＝180°﹣2×66°＝48°，
∴的度数为48°；
（2）∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DBAB，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACD（）2．
（3）作CH⊥AB于点H．
∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ACB＝90°，
∴△ACH∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AH•AB，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
∵AD•AB＝12，
∴2AH•AB＝12，
∴AH•AB＝6，
∴AC2＝6，
∵AC＞0，
∴AC．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画⊙P，与OB交于点E，
（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．
（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接MN．证明△DPM≌△CPN（ASA），推出PM＝PN，可得结论．
（2）利用扇形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：连接MN．
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPD＝∠MPN，
∴∠DPM＝∠CPN，
∵DM⊥PD，PC⊥OA，
∴∠PDM＝∠PCN＝90°，
在△PDM和△PCN中，
，
∴△DPM≌△CPN（ASA），
∴PM＝PN，
∵∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
（2）解：∵∠DPE＝15°，
∴∠CPE＝90°﹣15°＝75°，
∴S扇形PEC．
【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是在为全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
17．（2022•柯城区二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BEEM ；
（2）求证：；
（3）若AM，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到，根据题意得到，进一步得到；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BEEM，
故答案为BEEM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BEEM，
∴BE，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM，
∴tan∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE，
又∵，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE
又∵S扇形OCN，S△OCNCNCN，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN．
【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
18．（2022•龙岗区模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE

．
【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
19．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BCcm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
【分析】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BFCD，即可求得BF的长；
②由S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE求得即可．
【解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BCcm．
∴tan∠ABC，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2cm，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1cm，
∴OD＝2OB＝2cm，
∴CD＝OD+OC＝3cm，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BFCDcm；
②解：连接OE，
∵OD＝2cm、OB＝1cm，
∴BDcm，
则DE＝2BD＝2cm，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE21＝（π）cm2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，第（1）问的关键在于证明∠BOD+∠D＝90°；第（2）问的①的关键在于证明∠DCE＝90°；②的关键在于明确S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE．
20．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cs30°OD的长度，即可算出S△BOD的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°•OD，
∴S△BOD，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD．
∴S阴影．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．