中考数学二轮培优题型训练压轴题23以圆的新定义为背景阅读材料压轴题（2份，原卷版+解析版）

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例1．（2023春•兴化市月考）如图，已知⊙O的半径为1，P是平面内一点．
（1）如图①，若OP＝2，过点P作⊙O的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，连接EF．则∠EPO＝ 30 °，EF＝ ．
（2）若点M、N是⊙O上两点，且存在∠MPN＝90°，则规定点P为⊙O的“直角点”．
①如图②，已知平面内有一点D，OD，试说明点D是⊙O的“直角点”．
②如图③，直线yx﹣2分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段AB上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标．
【分析】（1）由切线的性质得出∠PEO＝90°，由勾股定理求出OE，证明△PEF为等边三角形，得出EF＝PE；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE，DF，切点分别为E，F，证出∠FDE＝90°，则可得出结论；
②证出AB是圆的直径，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵PE为⊙O的切线，
∴PE⊥EO，
∴∠PEO＝90°，
∵OE＝1，OP＝2，
∴OEOP，PE，
∴∠EPO＝30°，
∵PE和PF为⊙O的两条切线，
∴PE＝PF，∠EPO＝∠FPO，
∴∠EPF＝2∠EPO＝60°，
∴△PEF为等边三角形，
∴EF＝PE．
故答案为：30，；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE，DF，切点分别为E，F，
在Rt△DEO中，OD，OE＝1，
∴∠EDO＝45°，
同理可得∠FDO＝45°，
∴∠FDE＝90°，
∴点D是⊙O的“直角点”；
②由①可知“直角点”在以O为圆心r为半径的圆上及圆内的所有点．
∵线段AB上的所有点都是圆的“直角点”，
∴AB是在该圆及圆的内部，
又∵半径最小，
∴AB是圆及圆的内部最长线段，
∴AB是圆的直径，
∵直线yx﹣2分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝3，
∴OB＝2，OA＝3，
由勾股定理得AB，
∴最小半径为，
∴圆心为AB的中点，其点的坐标为（，﹣1）．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了与圆有关的概念、新定义圆的“直角点”，直角三角形的性质、勾股定理、图形与点的坐标等知识，熟练掌握新定义直角点及直角三角形的性质是解题的关键．
例2．（2022秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过⊙T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为⊙T的“限角点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角点”是 ②③ ；（填写序号）
（2）如图2，⊙A的半径为，圆心为（0，2），直线l：yx+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个⊙A的“限角点”，求b的值．
（3）如图3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半径为，圆心D从原点O出发，以个单位/s的速度沿直线l：y＝x向上运动，若△EFG三边上存在⊙D的“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取值范围．
【分析】（1）根据定义可知当P为圆O的“限角点”时，1＜OP，再由两点间距离公式进行判断即可；
（2）由题意可知，当P为圆A的“限角点”时，AP≤2，设直线l上有且只有一个⊙O的“限角点”P（m，m+b），当PA＝2，此时AP⊥BC，利用tan∠OCB，先求出CP，再求AC，最后根据|b﹣2|，求出b的值即可；
（3）由题意可知移动后D点坐标为（t，t），设△EFG边上的点P是圆D的“限角点”，则PD≤2，在圆D移动的过程中，DF＝2时，△EFG边上开始出现⊙D的“限角点”，当圆D移动到E点在圆上时，△EFG边上最后一个⊙D的“限角点”消失，当圆D再次移动到点E在圆上时，DF，△EFG三边上又开始要出现⊙D的“限角点”；求出直线y＝x与直线EG的交点设为H（，），当DH＝2时，△EFG边上存在最后一个⊙D的“限角点”．
【解答】解：（1）∵⊙O半径为1，
∴当P为圆O的“限角点”时，1＜OP，
∵OP1＝1，OP2，OP3，OP4，
∴⊙O的“限角点”是 P2，P3，
故答案为：②③；
（2）∵⊙A的半径为，
∴当P为圆A的“限角点”时，AP≤2，
设直线l上有且只有一个⊙O的“限角点”P（m，m+b），
∴PA＝2，此时AP⊥BC，
令x＝0，则y＝b，
∴C（0，b），
令y＝0，则xb，
∴B（b，0），
∴tan∠OCB，
∴CP，
∴AC，
∴|b﹣2|，
∴b或b；
（3）∵圆心D从原点O出发，以个单位/s的速度沿直线l移动，
∴圆沿x轴正方向移动t个单位，沿y轴正方向移动t个单位，
∴移动后D点坐标为（t，t），
设△EFG边上的点P是圆D的“限角点”，
则PD≤2，
在圆D移动的过程中，当DF＝2时，（t﹣1）2+（t﹣2）2＝4，
解得t或t，
当t时，△EFG边上开始出现⊙D的“限角点”，
当圆D移动到E点在圆上时，DE，（t﹣2）2+（t﹣3）2＝2，
解得t或t，
∴t时，△EFG边上存在⊙D的“限角点”，
当圆D再次移动到点F在圆上时，DF，（t﹣2）2+（t﹣1）2＝2，
解得t或t，
当t时，△EFG三边上开始又要出现⊙D的“限角点”；
设直线EG的解析式为y＝kx+b，直线y＝x与直线EG的交点设为点H，
∴，
解得，
解得y＝﹣x+5，
联立方程组，
解得，
∴H（，），
当DH＝2时，2（t）2＝4，
解得t或t，
∴当t，△EFG边上存在⊙D的“限角点”，
∴t时，△EFG边上存在⊙D的“限角点”；
综上所述：t或t时，△EFG边上存在⊙D的“限角点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，理解定义，找到圆心与“限角点”的距离的取值范围，数形结合，分类讨论是解题的关键．
例3．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，若图形M上存在点Q，使得直线PQ经过第四象限，则称点P是图形M的“四象点”．
已知点A（﹣2，4），B（2，1）．
（1）在点P1（﹣4，﹣2），P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）中， P2，P3 是线段AB的四象点；
（2）已知点C（t，0），D（t+4，0），若等边△CDE（C，D，E顺时针排列）上的点均不是线段AB的四象点，求t的取值范围；
（3）已知以T（，0）为圆心且半径为2的⊙T，若线段AB上的点P是⊙T的四象点，请直接写出点P的横坐标xP的取值范围．
【分析】（1）利用“四象点”的定义逐一判断即可；
（2）依题意画出图形，当直线BO经过等边三角形的顶点E时，等边△CDE（C，D，E顺时针排列）上的点恰好均不是线段AB的四象点，求得直线BO的解析式，令y＝﹣2，解关于x的方程求得此时点E的坐标，依据题意结合图形即可求得结论；
（3）利用分类讨论的方法分两种情形解答：①设⊙T交x轴于点C，分别过点A，C作y轴的平行线，依据题意结合图形解答即可得出结论；②过点B作出⊙T的切线BG，作出⊙T的平行于x轴的一条切线FH，交线段AB于点F，依据题意结合图形解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P1（﹣4，﹣2）与点B（2，1）在直线yx上，
又直线yx经过原点，不经过第四象限，
∴点P1（﹣4，﹣2）不是线段AB的四象点；
∵点P2（﹣1，﹣2），B（2，1）在直线y＝x﹣1上，而直线y＝x﹣1经过第四象限，
∴P2（﹣1，﹣2）是线段AB的四象点；
∵P3（1，﹣2）在第四象限，与线段AB上的任意一点连接所得直线都经过第四象限，
∴P3（1，﹣2）是线段AB的四象点．
∴P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）是线段AB的四象点．
故答案为：P2，P3；
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图，
∵C（t，0），D（t+4，0），
∴CD＝4，
∵△CDE是等边三角形，
∴EC＝ED＝CD＝4．
∵EF⊥x轴，
∴CF＝FD＝2，
∴EF．
设直线BO的解析式为y＝kx，
∴2k＝1，
∴k．
∴直线BO的解析式为yx．
当直线BO经过等边三角形的顶点E时，等边△CDE（C，D，E顺时针排列）上的点恰好均不是线段AB的四象点，
令y＝﹣2，则x＝﹣2，
∴x＝﹣4，
∴点E（﹣4，﹣2），
∴C（﹣42，0）．
∴等边△CDE（C，D，E顺时针排列）上的点均不是线段AB的四象点，t的取值范围为t≤﹣42；
（3）①设⊙T交x轴于点C，分别过点A，C作y轴的平行线，分别交x轴于点D，C，过点C直线与AB交于点E，如图，
∵T（，0）为圆心且半径为2，
∴C（，0），D（﹣2，0）．
由图形可以看出当点P在线段AE上（不含点E）时，点P是⊙T的四象点，
∴点P的横坐标xP的取值范围为：﹣2≤＜xP；
②点B作出⊙T的切线BG，由图形可知，直线BG经过第四象限，
作出⊙T的平行于x轴的一条切线FH，切点为H，交线段AB于点F，
连接TH，则TH＝2，TH垂直于x轴，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y．
令y＝2，则2．
∴x．
∴F（，2）．
由图形可以看出当点P在线段FB上（不含点F）时，点P是⊙T的四象点，
∴点P的横坐标xP的取值范围为：xP≤2．
综上，点P的横坐标xP的取值范围为：﹣2≤＜xP或xP≤2．
【点评】本题主要考查了点的坐标的特征，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的性质，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
1．（2022秋•泗阳县期末）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC，⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做△ABC的切接圆．根据上述定义解决下列问题：
理解应用
（1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10．
①如图2，若点D在边BC上，CD，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D是△ABC的“切接圆”吗？请说明理由．
②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时，求⊙D的半径（直接写出答案）．
思维拓展
（2）如图4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上．试说明：以抛物线y4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．
【分析】（1）①过点D作DE⊥AC于点E，则△CDE∽△CBA，由此可得DE的长，根据“切接圆”的定义可得出结论；
②根据题意作出图形，过点D作DF⊥AB于点F，可证明△BDF∽△BCA，根据“切接圆”的性质可知，DE＝DC＝r，根据比例得出方程，求解即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，设点D的横坐标为m，可表达点D的坐标，进而可表达CD及点D到x轴的距离，根据“切接圆”的定义可得出结论．
【解答】（1）解：①是，理由如下：
∵BC＝10，CD，
∴BD，即圆D的半径为，
如图2，过点D作DE⊥AC于点E，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝DE：AB，即：10＝DE：6，
∴DE，
∴BD＝DE，即圆D是△ABC的“切接圆”；
②在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8；
当点D在AC上时，
∵AC⊥AB，
∴点A为切点，则r＝CD＝4；
当点D在BC上时，
如图3，过点D作DF⊥AB于点F，
∴∠BDF＝∠C，
∴△BDF∽△BCA，
∴BD：BC＝DF：AC，
根据“切接圆”的性质可设，DF＝DC＝r，
∴BD＝10﹣r，
∴（10﹣r）：10＝r：8，
解得r；
∴圆D的半径为；
综上，圆D的半径为或4；
（2）证明：根据题意作出图形，如图4所示，
∵AC＝BC＝10，AB＝12，∠AOB＝90°，
∴AO＝OB＝6，
∴OC＝8，即C（0，8）；
设点D的横坐标为m，
∴D（m，m2+4），
∴CD2＝m2+（m2+4﹣8）2＝（m2+4）2，即CDm2+4，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴DEm2+4，
∴CD＝DE，
根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．
【点评】本题是在圆背景下的新定义问题，主要考查相似三角形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征，切线的性质，两点间的距离公式等相关知识，理解“切接圆”的定义是解题关键．
2．（2022秋•平谷区期末）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，
（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 P1，P3 ；
（2）⊙O的圆心O（，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；
（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．
【分析】（1）分别求出所给的点关于y轴的对称点，再结合矩形进行判断即可；
（2）当圆上的点（﹣5，1）关于直线x＝t的对称点（2t+5，1）在AD上时，t＝﹣2，当圆上的点（﹣2，1）关于直线x＝t的对称点（2t+2，1）在BC上时，t＝1，则﹣2≤t≤1时，⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
（3）当圆O关于直线x＝t的对称圆O'与BC相切，同时圆O'经过A、D两点时，此时不存在4个交点；当圆心O'在AD边上时，O'（1，1），此时tm，圆O'与矩形有两个交点，当圆心O'（2，1），此时tm+1，圆O'与矩形有三个交点，则mtm+1时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；当圆心O'（3，1），此时tm，圆O'与矩形有三个交点，当圆心O'（4，1），此时tm+2，圆O'与矩形有两个交点，则mtm+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点．
【解答】解：（1）点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点分别为点（1，2）、（2，1）、（4，1），（3，﹣1），
∴P1（﹣1，2）的对称点与D点重合，P3（﹣4，1）的对称点在BC边上，
∴关联点是P1，P3，
故答案为：P1，P3；
（2）当圆上的点（﹣5，1）关于直线x＝t的对称点（2t+5，1）在AD上时，
∴2t+5＝1，解得t＝﹣2，
当圆上的点（﹣2，1）关于直线x＝t的对称点（2t+2，1）在BC上时，
∴2t+2＝4，解得t＝1，
∴﹣2≤t≤1时，⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
（3）∵AD＝2，
∴r最小值为1，
∴r≥1，
当圆O关于直线x＝t的对称圆O'与BC相切，同时圆O'经过A、D两点时，
过点O'作MN⊥AD，交于M，交BC于点N，连接O'D，
在Rt△MDO'中，MO'＝3﹣r，DO'＝r，DM＝1，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得r，
∴r≥1且r，
当r＝1时，当圆心O'在AD边上时，O'（1，1），此时tm，圆O'与矩形有两个交点，
当圆心O'（2，1），此时tm+1，圆O'与矩形有三个交点，
∴mtm+1时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
当圆心O'（3，1），此时tm，圆O'与矩形有三个交点，
当圆心O'（4，1），此时tm+2，圆O'与矩形有两个交点，
∴mtm+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
综上所述：mtm+1或mtm+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线的位置关系，弄清定义，将所求问题转化为已知圆关于直线x＝t对称的圆与矩形的交点问题是解题的关键．
3．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
【分析】（1）分别求出A、B点关于D点、E点、F点的对称点，在求出A点、B点关于O点的对称点，存在重合点的即为所求；
（2）①设K（k，0），分别求出A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），由题意可知点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，当圆G与圆H有交点时，点A与点T（0，t）关于⊙K双对合再由GH，可得2，求出t的值即可；
②分别求出A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），△ABC上的点的对称点在△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，当此区域与圆K有公共交点时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，画出图形，分别求解即可．
【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）；
当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）；
当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）；
当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；
（2）①设K（k，0），
∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，
∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴当圆G与圆H有交点，
∵GH，
∴2，
解得t；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，
∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，
∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图1时，k﹣（2k+1）1，解得k；
如图2时，2k+1﹣k1，解得k；
∴k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，
设直线EG的解析式为y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2k﹣3，
∴M（2k﹣3，0），
∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行，
∴∠KMN＝45°，
∴KMKN，
如图3时，k﹣（2k﹣3），解得k＝3，
如图4时，2k﹣3﹣k，解得k＝3，
∴k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
综上所述：k或k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄懂定义，根据定义能去确定对称点的轨迹，再结合两圆的位置关系数形结合解题是关键．
4．（2022秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．
（1）已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
①在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 P2，P3 是线段AB关于原点O的“伴随点”；
②如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；
（2）⊙E的圆心坐标为（1，n），半径为1，如果直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）①分别求出个点绕O点旋转后的对应点，旋转后的对应点在线段AB上的即为所求；
②由三角形全等可知D'（2，m），当D'在AC上时，m，当D'在AB上时，m＝1，则1≤m时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
（2）圆E上的点顺时针旋转90°后的对应点在以E'（﹣n，1），半径为1的圆上，由直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，可知当圆E'与直线y＝﹣x+2n有交点，过E'作E'G垂直直线y＝﹣x+2n交于点G，由E'G≤1，可知E'R，求出R（2n﹣1，1），则E'R＝|2n﹣1+n|，解得n．
【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（3，1），
∴AB∥x轴，
∵OP1顺时针旋转90°后，得到点（0，1），
∴P1不是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∵OP2顺时针旋转90°后，得到点（1，1），
∴P2是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∵OP3顺时针旋转90°后，得到点（2，1），
∴P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∴P2，P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；
故答案为：P2，P3；
②过点D作DP⊥x轴交于点P，过点D'作D'Q⊥x轴交于点Q，
∵∠DOD'＝90°，
∴∠DOP+∠D'OQ＝90°，
∵∠DOP+∠DOP＝90°，
∴∠D'OQ＝∠DOP，
∵DO＝D'O，
∴△DOP≌△OD'P（AAS），
∴DP＝OQ，OP＝D'Q，
∵D（m，2），
∴OQ＝DP＝2，D'Q＝OP＝|m|，
∵△ABC在第一象限，
∴D'（2，﹣m），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
当D'在AC上时，m，
当D'在AB上时，m＝﹣1，
∴m≤﹣1时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
（2）∵E（1，n）在直线x＝1上，圆E的半径为1，
将圆E绕点O逆时针旋转90°得到圆E'，
∴圆E关于原点的“伴随点”在圆E'的内部及其边界上，
∴E'（﹣n，1），
∴E'在直线y＝1上，
∵直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，
∴当圆E'与直线y＝﹣x+2n有交点，
过E'作E'G垂直直线y＝﹣x+2n交于点G，
∵y＝﹣x+2n与直线y＝﹣x平行，
∴∠GE'R＝45°，
∵E'G≤1，
∴E'R，
令y＝﹣x+2n＝1，解得x＝2n﹣1，
∴R（2n﹣1，1），
∴E'R＝|2n﹣1+n|，
解得n，
∴n时，直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握切线的性质，勾股定理，能够确定⊙E关于原点O的“伴随点”的轨迹是解题的关键．
5．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ 5 ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 P2，P4 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（1﹣2，0）；当TM＝3时，T（﹣2，0），则1﹣2t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），当NT＝3时，3，解得t或t（舍），则t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，
当ME＝2时，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），，
∴ON，OM＝1，
∴tan∠OMN，
∴∠OMN＝60°，
∴TM2，
此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），
当NT＝3时，3，解得t或t（舍），
∴t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1﹣2t≤﹣2或t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．
6．（2022秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°＜∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（，），P2（2，0），P3（2，1）中，⊙O的环绕点是 P1 ；
②直线y＝3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为2，圆心为（0，t），以（﹣m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN＝60°时，可证TP＝2TM、以T为圆心，TP为半径作⊙T．首先说明当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），利用这个结论解决问题．
②如图2中，设小圆交y轴的正半轴于F，求出两种特殊位置的b的值，结合图形根据对称性解决问题．
（2）如图3中，不妨设E（﹣m，m）（m＞0），则点E直线yx上，以E（﹣m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，
观察图象可知：以E（﹣m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与∠MON的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的t的值可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，
当∠MPN＝60°时，
∵PT平分∠MPN，
∴∠TPN＝∠MPT＝30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠TNP＝∠PMT＝90°，
∴TP＝2TM＝2，
以T为圆心，TP为半径作⊙T．
观察图象可知：当60°＜∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），
故答案为：P1；
②如图中，设小圆交y轴的正半轴于F，
当直线y＝3x+b经过点F时，b＝1，
当直线y＝3x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，
由题意B（0，b），A（，0），
所以OB＝b，OA，ABb，
∵OK＝2，AB×OKOA×OB，
∴b＝2，
观察图象可知，当1＜b＜2时，线段AB上存在⊙的环绕点，
根据对称怀可知：当﹣2b＜﹣1时，线段AB上存在⊙的环绕点，
综上所述，满足条件的b的值为1＜b＜2或﹣2b＜﹣1；
（2）如图中，不妨设E（﹣m，m）（m＞0），则点E直线yx上，
∵m＞0，
∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴；
∵E（﹣m，m）（m＞0），
∴OM＝m，EMm，
以E（﹣m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，
观察图象可知：以E（﹣m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，
当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，4为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD，
∵tan∠EOM，
∴∠EOM＝30°，
∵OM，ON是⊙E的切线，
∴∠EON＝∠EOM＝30°．
∴∠TOD＝30°，
∴OT＝2DT＝8，
∴T（0，8），
当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0.0）时，T（0，﹣4），
观察图象可知，当﹣4＜t＜8时，在图象上存在⊙T的环绕点．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识．解题的关键是理解题意，学会用转化思想，学会用特殊位置考虑问题．
7．（2022秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 P1，P3 ；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①分别求出P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），再根据定义判断即可；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当y＝t与圆有交点时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当a＞0时，a的最大值为，最小值为11，当a＜0时，a的最大值为，最小值为11，由此可求a的取值范围为1≤a或1≤a．
【解答】解：（1）①∵P1（6，0），A（3，0），
∴P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P1是线段AB的融合点；
∵P2（1，﹣2），B（5，0），
设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（a，0），
∴（a﹣1）2+4＝（5﹣a）2，
解得a，
∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P2不是线段AB的融合点；
∵P3（3，2），B（5，0），
设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（b，0），
∴（b﹣3）2+4＝（5﹣b）2，
解得b＝3，
∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），
∴P3是线段AB的融合点；
故答案为：P1，P3；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，
∵A（3，0），B（5，0），
∴AB＝2，
当y＝t与圆相切时，t＝2或t＝﹣2，
∴﹣2≤t≤2时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，
∵A（a，0），B（a+1，0），
∴AB＝A'B'＝1，
∵⊙O上有A'B'的融合点，
∴圆O与圆A'、B'有交点，
∴圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域，
当a＞0时，a的最大值为，最小值为11，
∴1≤a；
当a＜0时，a的最大值为，最小值为11，
∴1≤a；
综上所述：a的取值范围为1≤a或1≤a．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键．
8．（2022秋•北京期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．
（1）已知点A（0，4），B（4，4），
①在点M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是点O关于点A的“旋垂点”的是 M1，M3 ；
②若点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T（t，0）．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据“旋垂点”的定义判断即可；
②当∠AM1O＝90°，AM1＝M1O时，m＝﹣2，当∠BM2O＝90°，BM2＝M2O时，m＝4，即可求出m的取值范围；
（2）由题可知，Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，当D点与Q点重合时，TD＝4，t＝﹣2；当Q点与C点重合时，OT＝2，t＝﹣2，则﹣2t≤﹣2；当Q点与C点重合时，OT＝6，t＝6；当TQ⊥CD时，TQ＝2，t＝2﹣2，则2﹣2t≤6．
【解答】解：（1）①∵A（0，4），
∴OA＝4，
设点O关于点A的“旋垂点”是M，
∴AM＝OM＝2，
∵M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2），
∴AM1＝OM1＝2，AM2＝OM1＝2，AM3＝OM1＝2，
∴M1，M3是点O关于点A的“旋垂点”，
故答案为：M1，M3；
②∵点A（0，4），B（4，4），
∴AB∥x轴，
当∠AM1O＝90°，AM1＝M1O时，m＝﹣2，
当P点从A到B移动时，﹣2≤m≤0；
当∠BM2O＝90°，BM2＝M2O时，m＝4，
当P点从A到B移动时，2≤m≤4；
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4时，点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），
∵PQ，∠PQN＝90°，PQ＝QN，
∴PN＝2，
∵圆T的半径是，
∴TQ＝2或TQ＝4，
∴Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，
当D点与Q点重合时，TD＝4，
∴TO＝2，
∴t＝﹣2；
当Q点与C点重合时，OT＝2，
∴t＝﹣2，
∴﹣2t≤﹣2；
当Q点与C点重合时，OT＝6，
∴t＝6；
当TQ⊥CD时，TQ＝2，
∴OT＝22，
∴t＝2﹣2；
∴2﹣2t≤6；
∴t的取值范围为：﹣2t≤﹣2或2﹣2t≤6．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练等腰直角三角形的性质，圆的垂径定理，弄清定义，数形结合是解题的关键．
9．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转90°得到点Q，称点Q为弦MN的“中点对应点”．设⊙W是以W（﹣3，0）为圆心，半径为2的圆．
（1）已知弦MN长度为2，点Q为弦MN的“中点对应点”．
①如图1：当MN∥x轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段OQ的长度；
②当MN在圆上运动时，直接写出线段WQ的取值范围．
（2）已知点M（﹣5，0），点N为⊙W上的一动点，设直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．
【分析】（1）①连接WP，由垂径定理可得WP⊥MN，再由勾股定理求出OP的长即可求OQ；
②根据题意可得Q点在以E（0，3）为圆心，为半径的圆上，再求WQ的取值范围即可；
（2）由题意可得Q点在以G（0，4）为圆心，1为半径的圆上，再由线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，可知直线y＝x+b与圆G相切或相交，再由（4﹣b）2＝2，求出b＝4或b＝4，即可求出b的取值范围．
【解答】解：（1）①连接WP，
∵P是弦MN的中点，
∴WP⊥MN，
∵MN＝2，WN＝2，
∴PW，
∵MN∥x轴，W（﹣3，0），
∴OP＝2，
∵OP＝OQ，
∴OQ＝2；
②∵NM⊥WP，WP，
∴P点在以W为圆心，为半径的圆上，
∵OP顺时针旋转90°得到OQ，
∴Q点在以E（0，3）为圆心，为半径的圆上，
∴WE＝3，
∴3WQ≤3；
（2）∵P是MN的中点，
∴PW⊥MN，
∵MN＝2，
∴MP＝1，
∵M（﹣5，0），W（﹣3，0），
∴MW＝2，
∵∠MPW＝90°，
∴P点在以MW为圆心的圆上，
∵OP顺时针旋转90°得到OQ，
∴Q点在以G（0，4）为圆心，1为半径的圆上，
∵线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，
∴直线y＝x+b与圆G相切或相交，
∴（4﹣b）2＝2，
解得b＝4或b＝4，
∴3≤b≤4时，线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，能够确定Q点的轨迹是解题的关键．
10．（2022秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；
②若直线y＝kx（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①连接OP，根据垂径定理可知∠CPO＝90°，则可得P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，设圆心D（﹣1，0），由题意可知直线y＝kx（k≠0）与圆D相切，过点D作DF垂直直线y＝kx交于点F，先证明△EGO∽△EFD，得到，求出k；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，由题意可得直线y＝x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y＝x+b交于点F，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D（﹣2，0），由勾股定理可得（﹣2+b）2＝8，求出解得b＝22或b＝22（舍）；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D（2，0），由勾股定理可得（﹣b﹣2）2＝8，解得b＝22（舍）或b＝﹣22；即可求得﹣22≤b≤22时，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”．
【解答】解：（1）①连接OP，
∵P点是弦MN的中点，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P点在以CO为直径的圆上，
∵C（﹣2，0），
∴P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
∵点P1（0，0），P2（﹣1，1）在该圆上，
∴点P1（0，0），P2（﹣1，1）是关于MN的“折弦点”，
故答案为：P1，P2；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
设圆心D（﹣1，0），
∵直线y＝kx（k≠0）上只存在一个关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝kx（k≠0）与圆D相切，
过点D作DF垂直直线y＝kx交于点F，
∵直线y＝kx与x轴交于点E（，0），与y轴交于点G（0，），
∴DE＝﹣1，OF，OG，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，
∴△EGO∽△EFD，
∴，
∴，
解得k；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，
∵直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝x+b与圆D相交或相切，
过D点作DF垂直直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
当C点与A点重合时，b有最大值，此时D（﹣2，0），
∴（﹣2+b）2＝8，
解得b＝22或b＝22（舍）；
当C点与B点重合时，b有最小值，此时D（2，0），
∴（﹣b﹣2）2＝8，
解得b＝22（舍）或b＝﹣22；
∴﹣22≤b≤22时，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点P的轨迹是解题的关键．
11．（2022春•海淀区校级月考）△ABC中，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，若经过D、E的⊙M与△ABC有n个公共点（相切算一个公共点），则称⊙M为△ABC关于D、E的“中n点圆”．例如，图1中的圆是△ABC关于D、E的“中4点圆”．
（1）①如图1，则△ABC的“中n点圆”中n可以取的值为 2或3或4或5或6 （写所有可能的值）；
②在所给图1中画出一个“中3点圆”；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，6），点B（0，0），C（4，0），⊙M为△ABC的“中n点圆”．
①当a＝0，n＝4时，求圆心M纵坐标的取值范围．
②若n＝3时，圆心M总在△ABC外，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①根据“中n点圆”的定义即可得出答案；
②根据题意画出图形即可；
（2）①设M（1，y），求出以下五种特殊情况对应的y值：⊙M经过点A时，⊙M与AB相切于点D时，⊙M与AC相切时，当⊙M经过点B时，当⊙M经过点C时，即可得出答案；
②根据⊙M为△ABC的“中3点圆”，且点M在△ABC的外部，即可得出答案．
【解答】解：（1）①经过D、E两点的圆与△ABC的交点个数可能为2或3或4或5或6，
故答案为：2或3或4或5或6；
②如图1（a），圆经过A、D、E三点，图1（b），经过D、E的圆与BC相切，
均是△ABC关于D、E的“中3点圆”；
（2）①当a＝0，n＝4时，A（0，6），点B（0，0），C（4，0），⊙M为△ABC的“中4点圆”．
设M（1，y），
如图2（a），⊙M经过点A时，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，D（0，3），E（2，3），
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴圆心M在AE上，即M（1，），
如图2（b），⊙M与AB相切于点D时，M（1，3），
∴3＜y；
如图2（c），⊙M与AC相切时，过点M作MF⊥DE于F，连接EM，
则∠MEF+∠AED＝90°，∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠MEF＝∠EAD，
∴tan∠MEF＝tan∠EAD，
∴，即，
∴MF，
∴y＜3；
当⊙M经过点B时，如图2（d），
则M是OE的中点，
∴M（1，），
当⊙M经过点C时，如图2（e），
由勾股定理得：ME2＝EF2+MF2，MC2＝MG2+CG2，
∵ME＝MC，
∴EF2+MF2＝MG2+CG2，
∵EF＝1，MF＝3﹣y，MG＝﹣y，CG＝3，
∴12+（3﹣y）2＝（﹣y）2+32，
解得：y，
∴y；
综上所述，圆心M纵坐标y的取值范围为3＜y或y＜3或y．
②当n＝3时，⊙M为△ABC的“中3点圆”，
∵D（a，3），E（，3），
∴M（a+1，y），
∵且圆心M总在△ABC外，
∴当⊙M经过点A时，△ADE是钝角三角形，且∠ADE＞90°或∠AED＞90°，
∴a＜0或a＞4．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，新定义“中n点圆”，要求学生理解并运用新定义解决问题．
12．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 Q2，Q4 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点Q2，Q4满足条件．
（2）如图中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B）时，满足条件．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4），
∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，
∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q2（2，），作Q2F⊥x轴于点F，
∴OQ24＝OA，
∵tan∠Q2OF，
∴∠Q2OF＝60°，
∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x轴于点G，
则tan∠Q3OG，
∴∠Q3OG＝60°，
∴OQ34＝OA，
∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，
∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x轴于点H，
则tan∠Q4OH1，
∴∠Q4OH＝45°，
∵OQ44＝OA，
∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点；
综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4，
故答案为：Q2，Q4．
（2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5，
当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0，
解得：b＝﹣10，
∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上，
过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图，
则OT＝﹣b，OSb，
∴STb，
当OG＝5时，b取得最小值，
∵5×（b）＝﹣b×（b），
∴b＝﹣5，
∴﹣5b＜5．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J，
∴∠SGJ＝∠EMG，
∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，
∴GJ，SJ，
∴GI＝GJ+JI＝3，
∴MIGI，
∴OE＝IE+MI﹣OM，即xE＝t﹣3，
解得t，
如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝3，
∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，
解得t＝﹣3，
观察图象可知，﹣3t＜3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P是点M关于点N的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．
13．（2022秋•盐都区期中）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．
【理解应用】
（1）如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝ 3 ；
【定理证明】
（2）阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；
【变式探究】
（3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
（4）如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，则AD＝ 7或 ．
【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出PO＝4，再由所给的定义求出PB的长即可；
（2）在BC上截取CG＝AB，连接MC、MG、MB、MA，可证明△MAB≌△MCG（SAS），得到MB＝MG，再由垂径定理得到BD＝DG，则有AB+BD＝CG+DG＝CD，即可证明D是折弦ABC的中点；
（3）仿照（2）的方法，在BD上截取BG＝AB，连接MC、MA、MB、MG，证明△MAB≌△MGB（SAS），可得到AB+CD＝BG+DG＝BD；
（4）分两种情况讨论：当D点在上时，过D点作DG⊥AB交于点G，由BG+AC＝AG，求出AG（6+8）＝7，再由勾股定理求出AD＝7；当D点在上时，如图6，∠BAD＝45°，过点D作DH⊥AB交于G点，求出AG（8﹣6）＝1，再由勾股定理求出AD．
【解答】（1）解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴PA⊥AO，
∴∠PAO＝90°，
∵∠APO＝30°，AO＝2，
∴PO＝4，
∴PO+AO＝6，
∵B是折线段POA的中点，
∴PB＝3，
故答案为：3；
（2）证明：在BC上截取CG＝AB，连接MC、MG、MB、MA，
∵点M是的中点，
∴MA＝MC，
∵∠A＝∠C，
∴△MAB≌△MCG（SAS），
∴MB＝MG，
∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG＝CD，
∴D是折弦ABC的中点；
（3）解：BD＝AB+CD，理由如下：
在BD上截取BG＝AB，连接MC、MA、MB、MG，
∵点M是的中点，
∴AM＝CM，
∵∠ABM＝∠MBG，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
∵DM⊥BC，
∴CD＝DG，
∴AB+CD＝BG+DG＝BD；
（4）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝8，BC＝10，
∴AC＝6，
当D点在上时，如图5，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠DAC＝45°，
过D点作DG⊥AB交于点G，
∴BG+AC＝AG，
∴AG（6+8）＝7，
∴AD＝7；
当D点在上时，则D为的中点，如图6，∠BAD＝45°，
过点D作DH⊥AB交于G点，
∵AG+AC＝BG，
∴AH（8﹣6）＝1，
∴AD；
综上所述：AD的长为7或，
故答案为：7或．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．
14．（2022秋•慈溪市期中）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径AB＝10，的“幸运角”为90°．
①如图3，连结CD，求弦CD的长；
②当时，求CE的长．
【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明∠CPA＝∠DPB即可；
（2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可得出结论；
（3）①连接OC，OD，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设PC＝PE＝x，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∠CPD是的“幸运角”，理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“幸运角”；
（2）∵的度数为n，
∴∠CED，
∵CE⊥AB，
∴∠APE＝90°﹣∠CED＝90°．
∴∠BPD＝∠APE＝90°，
∴∠APC＝∠BPD＝90°．
∴的“幸运角”度数＝∠CPD＝180°﹣∠APC﹣∠BPD＝n．
∴的“幸运角”度数为n；
（3）①连接OC，OD，如图，
∵的“幸运角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD45°．
∴∠APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CDOC＝5；
②∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，则PD＝DE﹣PE＝7x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CEPC＝6或8．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
15．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），①点P（﹣2，0）的“对应点”Q的坐标为 （2，0） ；②若点P的“对应点”Q的坐标为（﹣1，3），则点P的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N（0，2），若P（m，0）（m＞1）为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M（a，b）在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）；②当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 4m2﹣16m+8 .（用含m的式子表示）
【分析】（1）①根据定义直接运算即可；
②先求出Q点关于N（1，1）的对称点为P'（3，﹣1），将P'绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P'作P'F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，可证明△POE≌△OP'F（AAS），再由全等的性质求出P点坐标即可；
（2）①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P'作P'E⊥EF交于点E，由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），根据三角形全等的性质求出P'（a+b，b+m﹣a），再由对称性求出Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，则G（0，m），由①可求出GP'，则P'在以G为圆心，为半径的圆上，设G点关于N点的对称点为H，则H（0，4﹣m），求得QH，则Q点在以H为圆心为半径的圆上，再根据两个相交圆的性质，分别求出PQ的最大值为PH，PQ的最小值为PH，最后求出乘积即可．
【解答】解：（1）①∵P（﹣2，0），
∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P'（0，﹣2），
∵点P'关于点N的对称点为Q，
∴Q（2，0）；
故答案为：（2，0）；
②∵Q的坐标为（﹣1，3），
∴Q点关于N（1，1）的对称点为P'（3，﹣1），
将P'绕M点顺时针旋转90°得到点P，
过P'作P'F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，
∵∠P'OP＝90°，
∴∠POE+∠FOP'＝90°，
∵∠EPO+∠EOP＝90°，
∴∠FOP'＝∠EPO，
∵OP＝OP'，
∴△POE≌△OP'F（AAS），
∴EO＝P'F＝1，PE＝OF＝3，
∴P（﹣1．﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）；
（2）①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P'作P'E⊥EF交于点E，
由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），
∴MF＝EP'，FP＝ME，
∵M（a，b），P（m，0），
∴EF＝b+m﹣a，EP'＝b，
∴P'（a+b，b+m﹣a），
∵点N（0，2），
∴Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，
∴G（0，m），
∵P'（a+b，b+m﹣a），
∴GP'，
∵M（a，b）在圆O上，
∴a2+b2＝1，
∴GP'，
∴P'在以G为圆心，为半径的圆上，
设G点关于N点的对称点为H，则H（0，4﹣m），
∴QH，
∴Q点在以H为圆心为半径的圆上，
∴PQ的最大值为PH，PQ的最小值为PH，
∴PQ长的最大值与最小值的积为（PH）（PH）＝2m2﹣8m+14，
故答案为：2m2﹣8m+14．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，两个相交圆的性质，图形旋转的性质，弄清定义，并能够判断出P'、Q点的运动轨迹是解题的关键．
16．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BCAB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明△ABD∽△CBA即可求解；
（2）①连接OA，证明∠CAD+∠OAD＝90°，可得OA⊥AC，再由OA是⊙O的半径，即可证明直线AC与⊙O相切；
②由△CAD∽△CBA，求出AC＝4，再由，设ADx，则AB＝2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB＝4；
（3）过点A作AE⊥BC交于E点，分两种情况讨论：①若△BAD∽△BCA，可求AB＝2，在Rt△ABE中，AEAB，则S△ABCAE•BC＝2；②若△CAD∽△CBA，可求AC＝2，在Rt△ABE中，设AE＝x，则BEx，CE＝4x，在Rt△AEC中，利用勾股定理可求x±1，再求S△ABC•AE•BC＝2±2．
【解答】（1）证明：∵AD是中线，
∴BDBCAB，
∴，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC是关于边BC的“优美三角形”；
（2）①证明：连接OA，
∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠OAB，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AC与⊙O相切；
②解：∵△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD•BC，
∴AC＝4，
∵，
设ADx，则AB＝2x，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即4x2+2x2＝24，
∴x＝2，
∴AB＝4；
（3）解：过点A作AE⊥BC交于E点，
①若△BAD∽△BCA，
∴AB2＝BD•BC，
∴AB＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AEAB，
∴S△ABCAE•BC＝2；
②若△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD•BC，
∴AC＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
设AE＝x，则BEx，
∴CE＝4x，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2，
∴x2+（4x）2＝8，
解得x±1，
∴S△ABC•AE•BC＝2±2；
综上所述：△ABC的面积为2或2±2．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定及性质，圆与切线的性质，勾股定理，弄清定义是解题的关键．
17．（2022秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，对于点P，直线l和⊙O，给出如下定义：
若点P关于直线l对称的点在⊙O上或⊙O的内部，则称点P为⊙O关于l的反射点．
（1）已知直线l为x＝3，
①在点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O关于l的反射点有 P1、P3 ；
②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的横坐标的最大值为 8 ．
（2）已知直线l的解析式为y＝kx+2（k≠0），
①当k＝﹣1时，若点P为直线x上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是 2t≤2 ；
②点B（2，2），C（，1），若线段BC的任意一点都为⊙O关于l的反射点，则k的取值范围是 ﹣4﹣2k ．
【分析】（1）①运用新定义：点P为⊙O关于l的反射点，即可推断出答案；
②先求得⊙O与x轴离直线x＝3较远的交点P′（﹣2，0），根据定义可得x＝8；
（2）①当k＝﹣1时，直线l的解析式为y＝﹣x+2，可得出直线x上的点关于直线l的对称点一定在直线y上，设P（，t），则t﹣（）x，故点P关于直线l的对称点为P′（2﹣t，），由当OP′＝2时，可得（2﹣t）2+（）2＝4，即可得出答案；
②分别求出k的最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）①如图1，点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）关于直线x＝3的对称点分别为P′1（2，0），P′2（2，1），P′3（1，1），
∵OP′1＝2，OP′22，OP′3，
∴点P′1在⊙O上，点P′2在⊙O外部，点P′3在⊙O内部，
∴点P1、P3是⊙O关于l的反射点，
故答案为：P1、P3；
②如图2，点P′（﹣2，0），点P（x，0）与点P′关于直线x＝3对称时，
∴3，
解得：x＝8，
∴点P的横坐标的最大值为8，
故答案为：8．
（2）①当k＝﹣1时，直线l的解析式为y＝﹣x+2，
∵点P为直线x上的动点，当x时，y2，
∴直线x直线l的交点坐标为（，），
过点（，）作直线y，
则直线y＝﹣x+2平分直线x与直线y的夹角，即直线x上的点关于直线l的对称点一定在直线y上，
∴设P（，t），点P关于直线l的对称点为P′（x，），
则t﹣（）x，
解得：x＝2﹣t，
∴点P关于直线l的对称点为P′（2﹣t，），
∵点P为⊙O关于l的反射点，
∴OP′≤2，
当OP′＝2时，（2﹣t）2+（）2＝4，
解得：t＝2±，
∴2t≤2，
故答案为：2t≤2；
②∵C（，1），
∴OC2，
∴点C在⊙O上，
把C（，1）代入y＝kx+2，得k+2＝1，
解得：k，此时k取得最大值，
如图4，∵点B′与点B关于直线y＝kx+2对称，
∴直线y＝kx+2是线段BB′的垂直平分线，
设B′（m，n），M（0，2），
则B′M＝BM＝2，OB′＝2，
∴m2+（n﹣2）2＝22，m2+n2＝22，
∴n＝1，
∴m2+1＝4，
解得：m（舍去）或m，
∴B′（，1）与B（2，2）的中点坐标为（，），
把（，）代入y＝kx+2，得k+2，
解得：k＝﹣2，此时k取得最小值，
∴k的取值范围是﹣2k，
故答案为：﹣2k．
【点评】本题是圆与一次函数综合题、考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，圆的有关知识、反射点的定义、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
18．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d（⊙T），直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．
【分析】①由定义可知d（点E）＝BE＝4；
②由题意可知d（线段EF）的最小值＝d（点E）＝4，当d（点F）＝4时，F（0，3）或（0，﹣3），分别求出相应的k的值，则可求﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（点E）＝d（点F）＝4，D点T在第二象限或第四象限，设T（x，﹣x+3），当T点在第二象限时，TC时，x＝2；当T点在第四象限时，TB时，x＝1；即可求x＞1或x＜2时满足题意．
【解答】解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），
∴d（点E）＝BE＝4；
②∵d（线段EF）取最小值，
∴d（线段EF）的最小值＝d（点E）＝4，
∴d（点F）≤4，
当d（点F）＝4时，F（0，3）或（0，﹣3），
当F（0，3）时，k＝﹣1，
当F（0，﹣3）时，k＝1，
∴﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（点E）＝d（点F）＝4，
∴D点T在第二象限或第四象限，
设T（x，﹣x+3），
当T点在第二象限时，TC时，x2+（﹣x+3+1）2，
解得x＝2或x＝2（舍）；
当T点在第四象限时，TB时，（x+1）2+（﹣x+3）2，
解得x＝1或x＝1（舍）；
∵d（⊙T），
∴x＞1或x＜2．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，正方形的性质，弄清定义，数形结合解题是关键．