2023年中考数学模拟试卷（广州卷）（2份，原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题(共30分)
1．的倒数是( )
A．B．C．D．17
【答案】A
【分析】根据倒数的定义，即可解答．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2．在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【详解】解：选项A：圆柱的主视图为矩形；
选项B：球的主视图为圆；
选项C：圆锥的主视图为三角形；
选项D：四面体的主视图为三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，主视图是指立体图从前往后看得到的平面图形，理解三种视图的意义是正确解答的前提．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是
D．甲．乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
【答案】D
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
【详解】解：为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，买张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是袋洗衣粉的质量，样本容量为，因此选项C不符合题意；
D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
5．如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得、，再根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解答本题的关键．
6．若正比例函数的图象经过点，则下列各点也在该正比例函数图象上的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点的坐标，利用正比例函数图象上点的坐标特征，可求出正比例函数解析式，代入各选项中点的横坐标，求出值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
A．当时，，选项A不符合题意；
B．当时，，选项B不符合题意；
C．当时，，选项C符合题意；
D．当时，，选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
8．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接 根据圆周角定理求出，，进而即可求解．
【详解】解：连接如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等．
9．某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需元；如果多购买5根跳绳，就可以享受批发价，总价是元，已知按零售价购买根跳绳与按批发价购买根跳绳付款相同，则班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据“按零售价购买根跳绳与按批发价购买根跳绳付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程有：
；
故选B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
10．已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向判断与的关系，由抛物线与轴交点坐标判断、、的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断、的关系及与、、的关系，由抛物线与轴的交点坐标判断的取值范围，进而对所得结论进行推断．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为


故正确．
抛物线与轴交于点


由知：，即

又抛物线与轴的交点在，之间含端点



故正确．
抛物线开口向下

又
令
关于的二次函数开口向下
若对于任意实数，总成立
故需判断与的数量关系
由以上分析知：

故正确．



关于的方程有两个不相等的实数根
故正确
故选：．
【点睛】主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟知顶点坐标以及根的判别式的特点与运用．
第Ⅱ卷
二、填空题(共18分)
11．将用科学记数法表示为______
【答案】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
12．在一个不透明盒子里有4个分别标有数字1，2，3，5的小球，它们除数字外其他均相同．先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为______
【答案】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有12种等可能结果，这两个球上的数字之和为奇数的情形种，
∴这两个球上的数字之和为奇数的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
13．已知xy＝2，x+y＝3，则x2﹣y2＝_____．
【答案】±3
【分析】根据(x﹣y)2＝(x+y)2﹣4xy，求出x﹣y的值，再运用平方差公式即可解答．
【详解】解：(x﹣y)2＝(x+y)2﹣4xy＝32﹣4×2＝1，
x﹣y＝±1，
∴x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)＝3×(±1)＝±3；
故答案为±3．
【点睛】本题考查完全平分公式、平方差公式，解决本题的关键是熟记(x﹣y)2＝(x+y)2﹣4xy．
14．如图，某人从山脚A处沿坡度的斜坡行走至M处，又继续沿斜坡走50米到达N处，则点M到N的垂直距离为__________米．
【答案】40
【分析】过点作，过点作，可得，解，求出的长即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
过点作，过点作，则：，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴米；
∴点M到N的垂直距离为40米；
故答案为：40．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形．
15．已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为________．
【答案】600π
【分析】直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长=30，底面半径r=20，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×20×30=600π．
故答案为600π．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，OC＝2，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，若双曲线经过点E，则k的值为_____．
【答案】
【分析】根据已知边长求出A，B，C三点坐标，求出直线OB，直线AC的解析式，再由BE∥AC，AE∥OB，根据平行时k值相等即可求解；
【详解】解：∵OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），C（0，2），A（3，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
设直线OB的解析式为y＝px，
∴y＝x，
设E（m，n），
BE∥AC，AE∥OB，
∴kBE＝﹣，kAE＝，
∴，
∴n＝1，m＝，
∴E（，1），
将点E（，1）代入y＝，
∴k＝；
故答案为；
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，两直线平行时k相等；能够熟练掌握一次函数平行时k值相等的性质是解题的关键．
三、解答题(共72分)
17．(4分)解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法求解可得．
【详解】解：②×2＋①，得
解得
将代入②，得
解得
所以，方程组的解：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组是解答此题的关键．
18．(4分)如图，点E在边上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，再证明，根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，、、、、．
19．(6分)某校九年级600名学生在“立定跳远提升”训练前后各参加了一次水平相同的测试．为了解训练效果，用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，制成如下表格：
(1)这50名学生的测试成绩中，训练前成绩的众数是_________分，训练后成绩的中位数是_________分；
(2)这50名学生经过训练后平均成绩提高了多少分?
(3)若测试成绩“9分”“10分”为优秀，请估计该校九年级600名学生经过训练后优秀的人数约有多少人?
【答案】(1)6，9
(2)训练后平均成绩提高了0.94分
(3)该校优秀的人数约有372人
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得到结论；
（2）分别求出训练前后的平均成绩，再比较即可；
（3）用训练后成绩为优秀的人的百分比乘600即可．
【详解】（1）训练前成绩人数最多的是6分，众数为6分，
训练后成绩第25名和第26名都是9分，中位数为9分；
故答案为：6，9；
（2）训练前的平均分（分）
训练后的平均分（分）
（分）
答：训练后平均成绩提高了0．94分；
（3）（人）
答．该校优秀的人数约有372人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，中位数，众数，平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用知识解决问题．
20．(6分)已知代数式．
(1)化简已知代数式；
(2)若a满足，求已知代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先算括号内的及进行因式分解，再把除法运算变为乘法运算，即可求得结果；
(2)由题意得，再把此式代入化简后的式子，即可求得结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由，得，
所以，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，代数式求值问题，准确计算是解决本题的关键．
21．(8分)如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形ADCF是菱形，证明见解析
【分析】（1）由 得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，结合，可证，根据全等三角形的性质即求解；
（2）由，，易得四边形ADCF是平行四边形，若，点D是AB的中点，可得，即得四边形ADCF是菱形．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴，
∴；
（2）解：当时，四边形ADCF是菱形．
证明如下：
由（1）知，，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵，
∴是直角三角形．
∵点D是AB的中点，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
22．(10分)某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题：
(1)请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）；
(2)过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？
【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为
(2)长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80
【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，进而求出反比例函数表达式，将B点坐标代入一次函数表达式求出b的值，进而求出一次函数表达式；
（2）作轴于M，先根据三角函数求出的值，进而求出高的值，将代入一次函数表达式即可求出长和宽．
【详解】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式：
∴反比例函数表达式为
代入一次函数表达式得：，解得，
∴一次函数表达式为
（2）如图，作轴于M，
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴
当时，
∴
∴
∵
∴把代入一次函数表达式得
∴，即长为60
∴
根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用三角函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键．
23．(10分)如图，是的直径，点D是直径上不与A，B重合的一点，过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使．
(1)求证：是的切线；
(2)当D是的中点时，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由垂直得，同圆半径相等推，再由已知条件推，等量代换的的角从而证出是的切线；
（2）由是的直径，得，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、切线的判断，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些定理性质，熟练应用相似三角形的判定是解决本题的关键．
24．(12分)在中，，点D、E都是直线上的点（点D在点E的左侧），．
(1)如图（1），当点D、E均在线段上时，点D关于直线的对称点为F，求证：．
(2)如图（1），在（1）的条件下，求证：．
(3)若线段时，求的长度．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)或
【分析】（1）由，可得，根据点D关于直线的对称点为F，可知垂直平分，从而可得，，即可证明结论；
（2）由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得，，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得结论；
（3）分两种情况讨论，由（2）的结论可求解．
【详解】（1）证明：，
，
点D关于直线的对称点为F，
垂直平分，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
在中，，
；
（3），，
，
当点D在线段上时，
，
，
，
，
，
，
当点D在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理及垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25．(12分)平面直角坐标系中，为坐标原点，函数交轴于、两点，交轴于点，连接、，，．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（）的条件下，为第一象限内一点，连接交于点，为上一点且，连接交于点，若，，，求S的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式得出点，进而解，得出，待定系数法求解析式即可求解；
（2）证明是直角三角形，且，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）连接，过点作于点，根据题意四点共圆，证明，根据，则，则是等腰直角三角形，，则是等腰直角三角形，设，根据得出，进而表示出，根据得出，根据，求得，则，代入（2）的解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵函数交轴于、两点，交轴于点，
当时，，
即点，
∴，
∵，，
∴，
∵．
∴，
∴
设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为：
（2）由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
依题意，，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图所示，连接，过点作于点，
∵
∴四点共圆，
又∵
∴是直径，
∴，
∴
又∵
∴，
∵
∴,
∴
∵，
∴，则是等腰直角三角形，，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，
则
∴，
∵
∴
∵，
整理得：
设，
∴，
∴
设，则，
在中，，
∴
∵
∴，,
∵,
∴,
∵,
解得：,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴,
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正切的定义，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明四点共圆是解题的关键．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
D
B
C
C
C
B
D
训练前
成绩（分）
6
7
8
9
10
人数（人）
16
8
9
9
8
训练后
成绩（分）
6
7
8
9
10
人数（人）
5
8
6
12
19