安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点A−1,0,1，B−1,2,2，C−3,0,4，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3B. AB//AC
C. |BC|=12D. csAB,AC=365
2.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k，)若l⊥α，则实数k=( )
A. 2 B. −10 C. −2 D. 10
3.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
4.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2 2，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN= 6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，则|BQ||BA|为( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
5.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
6.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n，且数列{an}的前n项和Sn.若Sn≥λ，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,2]D. (−∞,−1]
7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若椭圆C1的离心率e1=​22，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 62B. ​72C. 1+​2D. 3
8.数列an满足a1=0，a2=1，an=2+an−2,n⩾3,n为奇数,2×an−2,n⩾3,n为偶数,则数列an的前10项和为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面四个结论正确的是( )
A. A，B，C不共线，面ABC外任一点O，有OM=13OA+13OB+13OC，则M，A，B，C共面.
B. 有两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u=1,2,−2，v=−2,−4,−4，则α//β
C. 已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若x0)有共同的右焦点F，记曲线Ω为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M，N分别在曲线Ω中的双曲线和椭圆上，则△MNF周长的最小值等于_________．
14.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： Q(0,−3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.设该直线的斜率为k，若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则k2=________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3,PA=3,PB=PC=2，M是PD的中点．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求线段BM的长．
16.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线y=12x上，且过圆C上一点M(1,3)的切线方程为y=3x．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点M的直线l与圆交于另一点N，求∆CMN的最大值及此时的直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．
(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC．
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗?若能，求出CQCP的值;若不能，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M、N两点，求∆AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知数列A:a1,a2,⋯,a2m为2m个数1,2,⋯,2m的一个排列，其中m∈N∗，且m≥3.若在集合1,2,⋯,2m−1中至少有一个元素i使得|ai−ai+1|=m，则称数列A具有性质P．
(1)当m=3时，判断数列B:1,5,3,4,6,2和数列C:6,5,2,4,1,3是否具有性质P；
(2)若数列a2n−1和a2n(n=1,2,⋯,m)均为等差数列，且a1=1，a2m=2，证明：对于所有的偶数m，数列A:a1,a2,⋯,a2m不具有性质P；
(3)在所有由1,2,⋯,2m的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m(m≥3)，S>T．